c) la scelta dei problemi da svolgere `e libera, ma ne possono essere svolti al pi` u 5 da 15 punti

Testo completo

(1)Prova Finale di Tipo B e Prova di Accesso alla Laura Special Dip. Matematica - Università Roma Tre. Prof. U. Bessi, S. Gabelli, G. Gentile, M. Pontecorvo 22 giugno 2005. Istruzioni. a) La sufficienza viene raggiunta con un punteggio di almeno 20 punti in ciascuno dei due gruppi di esercizi e con un totale di almeno 51 punti; b) il punteggio massimo è 100; c) la scelta dei problemi da svolgere è libera, ma ne possono essere svolti al pi` u 5 da 15 punti; d) evitare di consegnare sullo stesso foglio esercizi di gruppi diversi. NON PARLARE pena il ritiro del compito..

(2) Gruppo 1 (analisi) 1.1 (15 punti.) Si consideri la funzione f (x) =. Z. 2x x. sin t dt. t2. 1) Determinare il dominio di f e dire se f è pari o dispari. 2) Calcolare limx→+∞ f (x) e limx→0+ f (x). 3) Dimostrare che f si può estendere con continuità a una funzione f˜ definita su tutto R. 4) Dimostrare che f˜ è Lipschitz. 1.2 (15 punti.) Calcolare l’integrale indefinito Z. dx . x3 (1 + x2 )3. Potrebbe essere utile applicare ripetutamene la sostituzione 1 = (1 + x2 ) − x2 . 1.3 (15 punti.) Studiare la funzione f (x) = (x log x − x)2 . Determinare in particolare il dominio di definizione, i limiti, gli eventuali punti di massimo o di minimo. Determinare quante soluzioni ha l’equazione 1 f (x) = . 2.

(3) 1.4 (15 punti.) Si consideri il sistema di equazioni differenziali nel piano x˙ = x (2y − |x|3 − 1) , y˙ = − (y − 4x2 |x|) (y − 1) . (i) Trovare una funzione H(x, y) che sia una costante del moto, e discuterne la regolarità. (ii) Trovare i punti d’equilibrio del sistema e discuterne la stabilità. (iii) Studiare qualitativamente il sistema. (iv) Determinare l’insieme dei dati iniziali che dànno origine a traiettorie periodiche. 1.5 (25 punti.) Per n = 1, 2, 3, . . . sia fn (x) =. x n + x2. e si consideri la serie di funzioni ∞ X. (−1)n fn (x).. n=1. 1) Determinare l’insieme dove la serie converge assolutamente. 2) Dimostrare che la serie converge puntualmente su tutto R. 3) Dimostrare che la serie converge uniformemente su tutto R. 1.6 (25 punti.) Dissertazione teorica. Il criterio di Leibnitz per le serie numeriche, con la relativa stima del resto..

(4) Gruppo 2 (geometria) 2.1 (15 punti.) In accordo con il teorema spettrale ridurre a forma diagonale tramite matrici ortogonali la seguente matrice simmetrica . √ − 3 − 3 5 7 √. 2.2 (15 punti.) Sia C = {f : [0, 1] → R | f è continua} lo spazio vettoriale reale delle funzioni continue sull’intervallo [0, 1] ⊂ R. Dimostrare che C non ha dimensione finita e che Z 1 hf, gi = f g dx 0. definisce un prodotto scalare su C. 2.3 (15 punti.) Dimostrare che - in dimensione 2 - il determinante 2 det : R2×R → R c a a c 7→ det , b d d b. è una forma bilineare antisimmetrica. Scrivere la sua matrice associata (rispetto alla base standard di R2 ). 2.4 (15 punti.) Sia Z[i] = {a + bi ; a, b ∈ Z} ⊆ C l’anello degli interi di Gauss.. Mostrare che l’anello quoziente. Z[i] (1 + i) è un campo finito di caratteristica 2 e determinarne il numero di elementi..

(5) 2.5 (25 punti.) L’identificazione standard della retta complessa C con il piano reale R2 data da φ: C −→ R2 z = x + iy 7→ (x, y). induce un’applicazione. ψ : C∗ → GL(2, R) tra il gruppo dei numeri complessi non-nulli C∗ = {0 6= α = a + ib ∈ C} e il gruppo di matrici invertibili GL(2, R) = {A ∈ M (2, R)|detA 6= 0} dato dalla seguente formula: x φ(α · z) = ψ(α) · y Dopo aver calcolato esplicitamente la matrice ψ(a + ib) ∈ GL(2, R) mostrare che: 1. ψ : C∗ → GL(2, R) è un morfismo di gruppi. 2. ψ è iniettivo ma non suriettivo.. 2.6 (25 punti.) Dissertazione teorica. Enunciare e dimostrare la formula di Grassmann vettoriale e proiettiva..

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(10) o ]®u O. c1 (x). hK[^f sO mKm]R. ¯tVYXAR)TWVYXYZ\[^]_X OoYO QcQSRf]_QSR x. x. ~[ M°OIM w\]IfKmiR?Xvm O [cX y M{z vX m O9n hiR?X o ]. −y˙ = y − 4x2 |x| (y − 1). fK[ mKh]uIR. H(x, y) = (y − 1) yx − x3 |x| + c2 (y),. o ]®u O c (y) ¯+VYXARTWVYXYZ\[^]_X OoYO QcQSRf]_QSR y M²±n VAR n cQ [SR?X o ]Q Oo V O O f s h O if fK[^]_XY[ O Om X O X o 2a O O O ] w\]_Xbm]awi x3 |x| = x|x|3 fK[<]_mKmK[ X H(x, y) = x (y − 1) y − |x|3 + c,. o ]®u O c D¯ VYXf³w\]IfKmiR?Xbm O R?hKY[cmKhiR?hK[SR M I] ff[SR?|]fiw O9n Qc[ O h O. c = 0d H(x, y) = x (y − 1) y − |x|3 .. O y VY[cX o [P]_mKm O XY[SR?|]. ~[cO [´R z£s O VYXvmK[ o k O y VY[cQc[cYhKO\[^]oYO fi]_X]+[ s VYXbsYmKs [ PO = (x, y) [cXµw9VY[fK[gR?XYXvVYOQcQSRU[cQO wR?| s ] u mKm]_O\hKoY[SR?O Q x˙ = 0 hKsY[^wis Y[ O x = M 0 ] VYh 2y − |x|3 − 1 = 0 dg| XbmKh y˙ = 0 hK[^wiYNP[ O y = 4|x|oY3O ] O y VYh oy = 1O O u O VYO [cX O[ªR\O u h x = 0O ] sYs s VYh O 1 = |x|3 d[sYM°OIs M xO = ±1 MNPO y = 1 fK[ Y o O O y = 4|x|3 fK[ R\u h x = O 0 Ww s [c| Qc[^wR y = 0 ] VYh M 7|x|3 = 1 d M[ °OIM x = ±x dYw\u]_X [cxXbu =w (1/7) 1/3 3 z Xjw\]_Xw9Qc∗VfK[^]_X O fK∗[ AR?XYX] 6 s VYXbWwmK [ o k[cO | y VYQc[c[^Qcw[cYR hKy[^]Y= y∗ = 4x∗ = 4/7 P1 = (0, 0), P4 = (1, 1),. P2 = (−1, 1), P5 = (−x∗ , y∗ ),. P3 = (0, 1), P6 = (x∗ , y∗ ),. o ]®u O x = (1/7)1/3 O y = 4/7 M ¨ R?m∗]VYX s VYXvm] o k O y ∗VY[cQc[cYhK[^] z = (x , y ) d?[cQvf[^fKm O |aR£Qc[cX O R?hK[cZ\Z®R?m]tw\]_hKhK[^f s ]_Xe oYO Xvm O d[cXVYXj[cXvm]_hKX] oYO Q s VYXvm] z0 dY¯ o R?0 m] 0o R 0. o ]®u O ¶ VY[cX o [GfK[ AR. z˙ = A(z0 ) (z − z0 ),. z = (x, y),. 2y − 4|x|3 − 1 2x 12x|x|(y − 1) 1 + 4|x|3 − 2y. A(z) =. . A(P1 ) =. . −1 0 , 0 1. A(P3 ) =. . 1 0 , 0 −1. . .. A(P2 ) =. . −3 −2 , 0 3. A(P4 ) =. . −3 2 , 0 3. iw O |]IfKO(mKhis Rw O ` [ s VYXvmK[ o O) k O y oYVYO Qc[cYhK[^] O P1 d P2O d P3 O P4 f]_Xs ] [cXfmiR?Y[cQO ]_[^ws QSORa|aO R?mKOhK[^s w QgfK[^M fKm |aRQc[cX hK[cZ\Z®R?m]w\]_hKhK[^f m]®u_R?Q^]_h w\]_X R?hKm h R?Q ]IfK[cmK[cuIR . s VYXbmK[ o ]_X oYO Xbm O. k O y VY[cQc[cYhK[^] ARVYXµR?Ve.

(11) } R YofKmiO R?YO [cQc[cmi· oYOO [o h O fmiR?O XbmK[ M s VYXvmK[ o o f mKV [^N ] o cQ Q w9VYhKs u [ Qc[cu QcQ^] o ~[c[c[ mKV [SR?|] hK[c|an RQSRO w9VYhKu_R O [Qc[cu AR H(x, y) = 0 QcVYX ]Q w9VYhKu. k O y VY[cQc[cYhK[^]. O QcQ^]. Γ0. fiR?hi· o [^fw9VfifiR o ] s ]QSR MªN = {(x, y) ∈ R2 : H(x, y) = 0} [ P5. O. P6. C1 = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}, C2 = {(x, y) ∈ R2 : y = |x|3 }, C2 = {(x, y) ∈ R2 : y = 1}.. ¡ R?Q O 9w VYhKu_R o [Qc[cu O QcQ^]¯w\]IfKmK[cmKVY[cmiR o R LIL ]_hKY[cm O s VYXvmK[ o k O y ¸ R?hwY[ o G[ w9VYhKu_RfVjw9VY[<[cQ<|]_m]a¯R_f[cXbm]_mK[^w\]+u O hf][ s VYXbmK[ o [cXVYXAR o [ch O \Z [^]_X O m O | s ]_hiR?Q O M TWh M QSR¹G[ n VYhiR LIM. VYO [cQc[cYhK[^])[cXfKmiR?Y[cOQ OO k y VY[cQc[cYhK[^]UR?Qc| X]. } O w9VYhKu Ojo [£Qc[cu O QcQ^]µf]_X][cXfK[ O |[£[cXvu_R?hK[SR?XvmK[ s&O h[cQ fK[^fKm O |aR M ¶ VY[cX o [f O fK[ 9 O n fiw MQcN [ O VYX o R?m]a[cXY[cZ\[SR?Q O (¯x, y¯) ∈ O Γ0 QSR+w\]_hKhK[^f s ]_X oYO Xvm O o mKhiR?[ O mKm]_hKs&[SOR+f[³fKu]_Q nO fKV M Γ0 VYQcQSRaw9VYhKuIR C1 fK[AR x˙ = 0 y˙ = y(1 − y) d y VY[cX [ y˙ > 0 h 0 < y < 1 N s&O O mKh O [cQAf O9n X] y o 3 o VY[ Qcx˙QSR(fw9[<VYhKhK[^wu_R\R uICR 2s&fKO [hAw\R ]_yX˙ f=[^fKm 3|x| O XYZ®R (yMN −VYQc1)QSR+d w9VYVYhK[cu_X R [ Cy˙ >fK[G0AR y˙h =y >0 O 1 dbx˙| =Xvx(1 − |x|3 ) d y VY[cX o [ x˙ > 0 s&O h 0 < x < 1 OtsO h x < −1 M 3 ]_XfK[ oYO hK[SR?|]Q Oo V O h O9n [^]_XY[³wY[cVf O . U1 = (x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 0, |x|3 ≤ y ≤ 1 , . U2 = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, |x|3 ≤ y ≤ 1 .. N [PAR P ∈ int(U ) O P ∈ int(U ) M³z X]_QcmKh O fKVYQcQSR TWh]_XbmK[ O hiR oYO9n Qc[v[cXf[ O |[ U O U 5 1 6 2 1 2 hK[^fVYQcmiR H(x, y) = 0 de| O XbmKh O H(P5 ) = −3x∗ |x∗|3 (y∗ − 1) O H(P6 ) = −H(P5 ) M .

(12) ` O M ¶ VY[cX o [ P O P f]_X]VYX < 1 fK[ AR H(P5 ) > 0 H(P6 ) < 0 s VY_] vX[^wm ] o y[ ∗|a=R_f4/7 O s o & s O s&O O 5 OIM 6 f c [ | ] Y V X Y V b X m ] < [ | c [ Y X c [ | ] h H dehK[^f mKmK[cu_R?| Xvm N w O9n Qc[ O X o ]w\]_| O TWVYXYZ\[^]_X Oo [ }eº R s VYX]u W (x, y) = H(x, y) − H(P ) s ]If 6 fO [SR?|] o c[ |]IfKmKhiR?h O w O P6 ¯VYX O s VYXvm] o k O y VY[cQc[cYhK[^]UfKmiR?Y[cQ OIsYM£s z XeTlR?mKmK[ W o (P6 ) =O 0 ˙ (x, y) = 0 [cX U2 f[{R (x, y) > 0 [cX U2 \ {P6 } d W Qc[^wR Oy o VY[cX }eº [ s [cQ m ]? e } º § Oh W o s M n O O 9 O n O o O |aR [ R VYX]u XAR?Q^] R?| Xvm O\oYd O fw O Qc[ X ]O w\]_| T~VYXYZ\s [^]_X o [ O R VYX]u W (x, y) = H(P5 ) − H(x, y) fK[»u wi R?Xw P5 ¯VYX VYXbm] k y VY[cQc[cYhK[^] I O M fmiR?Y} [cQ O O R?Qco mKh w9VYhKu Oo [QcO [cu O QcQ^] ΓE d EO 6= 0 dfK[ s ]Iff]_X]]_mKm O X O O h OasO hw\]_XvM mK [cXbVYM[cmi·ed y) ¯VYXAR)TWVYXYZ\[^]_X w\]_XvmK[cXbVAR VYmKn[cQc[cZ\Z®R?X eM ]+§ [cQ TlR?mKO m]awi O QSR)o TWVYXYs&Z\O [^]_X H(x, TWh QSR ¹³[ VYhiR o Xw O [»uoYO hfK[ [ ho w\]_hKh O O XYZ®RfK[ M s § ]Ifif]_X]O ]_mKm O oYX O O h OO TlO9R_n w9[cQc| O Xbm OjO sO h w\O ]_XvmK[cXbVYO [cmi· R y V QcQc[ OIM ¡ QcQSRw9O VYhKuIO R [OQc[cu QcQ^] OΓo0 QcQlO k [cXbm hKX] sQcQO h OO [^]_XY[ U1 OIUM 2 Q w9VYhKu f]_X]wY[cVf VYmKm Q R?QcmKh w9VYhKu [<Qc[cu QcQ^]fi]_X]R hKm [cQcQc[c|[cmiR?m. N X]mKhiR?[ O mKm]_hK[ O+s&O O hK[^] o [^w OUsO h o R?mK[D[cXYM[cZ\[SR?Qc[ªX 9O n cQ [ª[cXfK[ O |[ o ~[c]®u u O Uª[ A=R?XYint(U ) \ {P } U = int(U ) \ {P } 1. :<;@. 1. 5. 2. 2. >9<@BDCDEGFIHKJ. •. U1. O. U2 d. 6. « _] mK[SR?|]fKVYY[cm]wi O ∀x 6= 0 dQSRf O hK[ O X]_Xw\]_Xbu O h nO R_ffi]_QcVYmiR?| O Xbm O s ]_[^w ` R_ffKVY| O QSRT]_hK|aR oYO QcQSRf O hK[ O R?hK|]_XY[^wR M ]_[^wi<k O fmK[SR?|]w\]_XfK[ oYO hiR?X o ]VYXARf O hK[ O Rf O9n XY[R?Qcm O hKXY[ld s&O h f O | s Qc[ p wR?h O [»O u_O R?hKO [£wR?Q^w\]_Qc[ O w\]_XfK[ oYO hK[SR?|]µQSRf O hK[ O ]_mKm O XvVYmiRµf]_||aR?X o ]²Rw\] sYs [ Oo V O Q | XbmK[³w\]If w9VYmK[cuv[l x n+x2. −. x (n+1)+x2. =. x n2 +n(2x2 +1)+x2 +x4. ¼.

(13) }r O nO s VAR?Q O R y V O fm] s VYXbm] ` ]uPuv[SR s ]_[^w<k O ∀x ∈ R∗ QSR Of R hK[ Ow\]_\w Xv]_u Xvu h O h nXYO Z®R w\]_| VYO XbmK1/n 2 dYf O x = 0 QSRf O hK[ O` w\]IfKmiR?Xvm O | O Xbm O XbVYQcQSR M

(14)

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(26) ;. :7@BªC{EGFH ¥ [^fw9hK[cuP[SR?|]QlkÇR sYs Qc[^wR?Z\[^]_X O [cXVYXAR)T]_hK|aR s [cÈjw\]_|] o R &s O h [<wR?Q^w\]_Qc[l det = ϕ : R2 × R2 −→ R ((a, b), (c, d)) 7→ ad − bc. O O O O O O sYs OUoYO u O u O hK[ p wR?h O Q O mKh Os h]? s hK[ O mix h o <[ fiAf R_hf O VYXAR+TW]_hK|aRY[cQc[cX R?h d<QlkÇR Qc[^wR?Z\[^]_X LIM W¹gÉ L ϕ((a+c, b+d), (e, f )) = (a+c)f −(b+d)e = (af −be)+(cf −de) = ϕ((a, b), (e, f )) + ϕ((c, d), (e, f )). eM W ¹gÉ e M W ¹gÉ. Kf m O ff] s h]Pw O\o [c| O Xbm]Uw\]_XjQSRf]_||aRR oYO fKmKhiR ϕ(λ(a, b), (c, d)) = ϕ((λa, λb), (c, d)) = λad−λbc = λ(ad−bc) =. λϕ((a, b), (c, d)). Ê. R?XbmK[^fK[c|| O mKhK[^wRaf O. O p. ϕ(x, y) = −ϕ(y, x) Yu hK[ wY[SR?|]_Q^]Y ϕ((a, b), (c, d)) = ad − bc = −(cb − da) = −ϕ((c, d), (a, b)). ¡ h]uP[SR?|]QSR|aR?mKhK[^w O. M. R_ffi]vw9[SR?miRe. ϕ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 x2 − y1 y2 ⇒ M =. . 1 0. 0 −1. . ;^¬ >?:A@BDCDEGFIHKJ ¤ n XY[ O Q O | O Xbm]+R sYs R?hKm O X O Xvm O R?QcQlk [ oYO R?Q O(nO X O hiR?m] o R (1 + i) s VË O ff O h O fw9hK[cmKm] M X O QcQSR W T _ ] K h a | R (c + id)(1 + i), (c + id) ∈ Z[i] © O\o O O O sYs O n O Yo O O O o y o [cZ\[^]_X O [Sf R?O || ] s Qc[^w VAOR?Qco [ RQfKmK| V o [SXbR?mKh [O R R?hKm X ]_X]²RmiR?Q [ ?R Q d w hwR?X ]VYXARw\]_Xe. (a + ib) = (c + id)(1 + i) = (c − d) + i(c + d) ⇒ (c − d) = a ∧ (c + d) = b ⇒ O M³NPO y O o O d = (a+b)/2∧c = (a−b)/2 ]u d, c ∈ Z ⇔ (a−b)|2 ` f] oYo [^fTR?mKmiRedvw9[AAR_fKmiRX]_miR?h O wi O dvf O (a − b) 6 | ⇒ (a + ib)V =fmi(1R w\+]_X(a −[cZ\[^1)]_X +Xib)]_X d ]®u O 2|((a − 1) − b) M oYO O O ]Iff[SR?O\|oj]µ w\]_Xw9oQcV h w Z[i]/(1M + i) ` w\]IfKmK[cmKVY[cm] o R o V O f]_Qc[ O Q O | O XvmK[l ` y VY[cX [<[^f]_|]_hT]R Z2 {[0], [1]}. ;@. >9<@BDCDEGFIHKJ N [ s VË+TR_w9[cQc| O Xvm O wR?Q^w\]_QSR?h O d 9O n AV R n Qc[SR?X o ]UQ O)o V O R sYs Qc[^wR?Z\[^]_XY[ w O QSRa|aR?hKmKhK[^w O R_fif]vw9[SR?miRR ψ ` . a b. ¸. −b a. .

(27) LIMN [ o c[ |]IfKmKhiR TlR_w9[cQc| O Xbm O w O ψ[(a+ib)·(c+id)]Ì a −b·c b a d O w O ψ[k(a + ib)] = k · a −b w\]_X a, b, c, d, k ∈ R M b. −d c. . a. eM O Gh u O hK[ p wR?h O Qlk [cXY[ O mKmK[cuP[cmix w9[IAR_fKmiR»X]_miR?h O w O d?f O ψ(a+ib) = 1 0 ⇒ M O h²TR?hu O\oYO h O w O QlkÇR sYs Qc[^wR?Z\[^]_X O X]_X ` 0fVYhK[ O 1mKmK[cu_R a = 1, b = 0 |[DAR_fmiRjfw O9n Qc[ O h O VYXAR y VAR?Q^fK[SR_fK[D|aR?mKhK[^w O 2 × 2 w\]_X oYO m OhK|[cXAR?Xvm O X]_X oO f O | s [^] XbVYQcQ^]Í ⇒∈ GL(2, R) wi O X]_X ` X O QcQSRjTW]_hK|aR ab −b d R a 1 1 M 1. 0. ;½ >9<@BDCDEGFIHKJ O f O hw9[cZ\[^]m O ]_hK[^w\]. Î.

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