Tutorato di Matematica Applicata
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica
Esercitazione 1 (22/10/2020)
1. Assegnate le matrici
L =
2 0 0 5 2 0 1 1 2
, M =
1/2 0 0
a 1/2 0
b c 1/2
con a, b e c numeri reali, calcolare il determinante di L, il prodotto A = LLT e se ne calcoli il determinante. Si determinino i valori dei parametri a, b e c che rendono la matrice M l’inversa di L e determinare inoltre l’inversa di A.
SOLUZIONE.
det(L) = 8, det(A) = det(LLT) = 64.
M `e l’inversa di L per a = −54, b = 38 e c = −14.
A−1 = MTM =
125
64 −2332 163
−2332 165 −18
3
16 −18 14
2. Si considerino le seguenti matrici
A =
α 1 0
1 3α 1
0 1 α
, B =
2β −1 β
−1 1 −1
β −1 2β
con α e β sono parametri reali. Determinare i valori di α che rendono invertibile la matrice A e, fissato α = 1, i valori di β che rendono B l’inversa di A. Per gli stessi valori dei parametri, determinare lo spettro di A e il raggio spettrale di A, B e di A2. Si calcoli infine la norma 1 e
∞ del vettore y = Ax, dove x = (2, i, 1 + i)T. SOLUZIONE.
A `e invertibile per tutti gli α 6= 0, ± q2
3. B `e l’inversa di A per β = 1.
σ(A) = {2−√
3, 1, 2+√
3}, ρ(A) = 2+√
3, ρ(B) = ρ(A−1) = 1/(2−√ 3)
y = (2 + i, 3 + 4i, 1 + 2i)T con ||y||1 = 5 + 2√
5, ||y||∞= 5.
1
3. Date le seguenti matrici
A =
0 −1 0
0 0 1
2 0 0
, C =
0 −γ −γ
0 1 γ
γ 0 0
,
dove γ `e un parametro reale. Si determinino i valori di γ che rendono C una matrice non singolare. Si consideri poi la matrice D = A + C e si stabilisca per quali valori del parametro la matrice D `e ortogonale. Fis- sato tale valore, si calcolino spettro e raggio spettrale di D. Motivando opportunamente la risposta, si indichino spettro e raggio spettrale di D−1.
SOLUZIONE.
C `e invertibile per ogni γ ∈ R r {0, 1}.
D = A + C `e ortogonale per γ = −1. Per tale valore del parametro si ha σ(D) = σ(D−1) = {−1, 1, 1} e ρ(D) = ρ(D−1) = 1.
4. Si considerino i seguenti vettori
v1 =
1
−1 1
, v2 =
1 0 1
, v3 =
0 1
−1
.
Si dica se v3 `e ortogonale ai vettori v1 e v2 e se `e un vettore nor- malizzato rispetto alla norma ∞ e alla norma 1. Si costruisca medi- ante il procedimento di Gram-Schmidt l’insieme di vettori ortonormali {q1, q2, q3} a partire dai vettori dati.
Si dica, motivando opportunamente la risposta e senza fare calcoli, quale `e il determinante della matrice C = QTQ dove Q = [q1, q2, q3].
SOLUZIONE.
v3 non `e ortogonale a v1 e v2 infatti
v3Tv1 = −2 6= 0, e v3Tv2 = −1 6= 0
ed `e normalizzato solo rispetto alla norma con indice ∞. I vettori ortonormali richiesti sono
q1 =
√ 3 3
−
√ 3
√3 3 3
, q2 =
√ 6
√6 6
√3 6 6
, q3 =
√2 2
0
−
√ 2 2
.
2
Essendo Q ortogonale C = I quindi det(C) = det(I) = 1, dove I `e la matrice identit`a 3 × 3.
3
