Tutorato di Matematica Applicata

Tutorato di Matematica Applicata

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica e Ingegneria Chimica

Esercitazione 2 (29/10/2020)

1. Sviluppare in serie di Fourier la funzione

f (x) =

(0 −4 ≤ x < 0 2x 0 ≤ x < 4 SOLUZIONE.

a₀ = 2, a_k= _(kπ)⁸ 2(−1)^k− 1, b_k= −_kπ⁸ (−1)^k con k = 1, 2, . . .

S_f(x) = 2 +

∞

X

k=1

8 kπ

n 1

kπ(−1)^k− 1 cos(kπ

4x) − (−1)^ksin(kπ 4x)o 2. Sviluppare in serie di Fourier la funzione

f (x) =







−1 −π ≤ x < −^π₂ sin x −^π₂ ≤ x < ^π₂ 1 ^π₂ ≤ x < π SOLUZIONE.

a₀ = a_k = 0 (essendo f (x) dispari) b₁ = _π² +¹₂, b_k = _kπ² _k²_+k+1

1−k² cos(k^π₂) − (−1)^k per k > 1 S_f(x) = 2

π +1

2
sin x +

∞

X

k=2

2 kπ

h 1

1 − k² cos(kπ

2) − (−1)^ki

sin(kx)

3. Sviluppare in serie di Fourier la funzione

f (x) =







x

2 + 1 −3 ≤ x < −1 0 −1 ≤ x < 1

−^x₂ + 1 1 ≤ x < 3 e dedurne la forma complessa.

1

SOLUZIONE.

a₀, a_k = _kπ¹ n

3

kπcos(k^π₃) − (−1)^k − sin(k^π₃)o

b_k = 0, k = 1, 2, . . . essendo f (x) una funzione pari

La serie in forma trigonometrica `e

S_f(x) = 1 π

∞

X

k=1

n 3

kπcos(kπ

3) − (−1)^k − sin(kπ 3)o

cos((kπ 3x) da cui ricaviamo la serie in forma complessa

S_f(x) = 1 2π

∞

X

k=−∞

n 3

kπcos(kπ

3) − (−1)^k − sin(kπ 3)o

e^ikπ3x

4. (Recupero prima prova intermedia del 25 gennaio 2018)

Si consideri il vettore w = [α, 0, 1]^T dove α `e un parametro reale. Si calcoli al variare di α la norma ∞ di w e si dica qual `e quell’unico valore del parametro che rende w un vettore unitario in norma 1 e 2.

Si costruisca la matrice A = I − 2ww^T e si dica per quali valori di α la matrice `e singolare. Fissato il valore α = 2 si determini lo spettro e raggio spettrale della matrice.

SOLUZIONE.

kwk∞=

(1 −1 < α < 1

|α| altrimenti

l’unico valore del parametro per cui w `e unitario in norma 1 e 2 `e α = 0. La matrice A non `e singolare per nessun valore del parametro α. Ponendo α = 2 si ha

σ(A) = −9, 1, 1 e ρ(A) = 9.

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