Tutorato di Calcolo Scientifico e Metodi Numerici
Corso di Laurea Triennale in Informatica
Esercitazione 3 (26/03/2021)
1. Si indichino autovalori, raggio spettrale e determinante della matrice
A =
3 0 1
0 3 2
1 −2 3
.
SOLUZIONE.
σ(A) = {3, 3 ±√
3i}, ρ(A) =√
12, det(A) = 36.
2. Date le seguenti matrici
A =
0 −1 0
0 0 1
2 0 0
, C =
0 −γ −γ
0 1 γ
γ 0 0
,
dove γ `e un parametro reale. Si determinino i valori di γ che rendono C una matrice non singolare. Si consideri poi la matrice D = A + C e si stabilisca per quali valori del parametro la matrice D `e ortogonale. Fissato tale valore, si calcolino spettro e raggio spettrale di D. Motivando opportunamente la risposta, si indichino spettro e raggio spettrale di D−1.
SOLUZIONE.
C `e invertibile per ogni γ ∈ R r {0, 1}.
D = A + C `e ortogonale per γ = −1. Per tale valore del parametro si ha σ(D−1) = σ(D) = {−1, 1, 1} e ρ(D−1) = ρ(D) = 1.
3. Si considerino le matrici
U =
2 0 2
0 γ −γ
0 0 1
, A =
1 1 −1
1 1 1
3 −2 2
, B =
4δ 0 2δ
δ 1/2 −2δ
−1/2 1/2 0
dove γ e δ sono parametri reali. Si dica, senza fare calcoli e motivando opportunamente la risposta, per quali valori di γ la matrice U `e invertibile e per quali i suoi autovalori sono tutti positivi. Si determini il valore di δ che rende B la matrice inversa di A, si calcoli la norma 1 e ∞ di A e il suo raggio spettrale (tenendo conto che uno degli autovalori di A
`e 2).
SOLUZIONE.
U `e invertibile per ogni γ 6= 0 e i suoi autovalori sono tutti positivi per γ > 0. B `e l’inversa di A per δ = 101.
kAk1 = 5, kAk∞ = 7, ρ(A) =√ 5.
1
4. Si considerino le matrici
A =
2α −1 0
−1 2α −1 0 −1 2α
, B =
3/4 β 1/4
β 1 β
1/4 β 3/4
, Q = 1 3
1 2 2
2 1 −2
−2 2 −1
.
Determinare i valori di α per cui la matrice A `e singolare e per quali `e definita positiva.
Fissato α = 1, si determinino i valori di β che rendono B inversa di A, e si calcoli la norma 1, 2 e ∞ di A. Infine, si verifichi che Q `e ortogonale.
SOLUZIONE.
A `e singolare per α = 0, ±
√ 2
2 , `e definita positiva per α >
√ 2
2 . B `e l’inversa di A per β = 12.
kAk1 = 4 = kAk∞, kAk2 = 2 +√ 2.
2
