Esempio: rete elettrica

(1)

Esempio: rete elettrica

Si consideri la seguente rete elettrica:

V

_u

C

₁

C

₂

L

R

₁

R

₂

V

_y

I =0

_u

V

₁

V

₂

I

_L

dove C

₁

= C

₂

= 0.1, R

₁

= R

₂

= 10 e L = 0.2. La funzione di trasferimento G (s) che lega l’ingresso V

u

all’uscita V

_y

`e la seguente:

G (s) = V

_y

(s) V

_u

(s) =

1

R1+ ¹

R2+ 1 C2s

1

C1s

+

1 ¹ R1+ ¹

R2+ 1 C2s

+

^{L s}

·

^R2

R2+ 1 C2s

=

_1+(C ^C¹^C²^R¹^R²^s²

1R1+C2R1+C2R2)s+C1(L+C2R1R2)s²+C1C2L(R1+R2)s³

Per ottenere questa funzione `e stato utilizzato il concetto di partitore di ten- sione con impedenze complesse.

Le equazioni differenziali che caratterizzano il sistema sono le seguenti:











C

₁

V ˙

₁

= I

L

L ˙ I

_L

= V

u

− V

₁

− R

₁

I

_L_R^R²

1+R2

+

_R ^V²

1+R2

C

₂

V ˙

₂

= I

L

−

I

_L_R^R²

1+R2

+

_R ^V²

1+R2

| {z }

I_R1

dove V

₁

e V

₂

sono le tensioni ai capi dei condensatori, I

_L

`e la corrente che

circola nell’induttore e I

_R₁

`e la corrente che scorre nella resistenza R

₁

. Una

descrizione dello sistema nello spazio degli stati si ottiene facilmente utilizzando

il vettore di stato x =

V

₁

I

_L

V

₂ ^T

.

(2)

















C

₁

0 0 0 L 0 0 0 C

₂













V ˙

₁

˙I

_L

V ˙

₂







=







0 1 0

− 1

_(R⁻^R₁_+R¹^R₂²₎ _(R⁻₁_+R^R¹₂₎

0

_(R^R¹

1+R2)

−1 (R1+R2)













V

₁

I

_L

V

₂







+







0 1 0







V

_u

V

_y

=

0

_R^R¹^R²

1+R2

−R2

R1+R2

x La matrice di raggiungibilit` a del sistema `e

R

⁺

=







0

_C¹

1L

−R1R2

C1L²(R1+R2) 1

L

−R1R2

L²(R1+R2)

−

(

^C²^L^(R¹^+R²⁾²

)

^+C¹^R¹²

(

⁻^L+C²^R²²

)

C1C2L³(R1+R2)²

0

_C₂_L_(R^R¹₁_+R₂₎

−

^R¹^(L+C²^R¹^R²⁾

C22

L²(R1+R2)²







Il determinante della matrice R

⁺

`e sempre diverso da zero

det R

⁺

= R

₁

C

₁

C

₂²

L

³

(R

₁

+ R

₂

)

²

per cui il sistema `e completamente raggiungibile. Il sistema non `e raggiungibile solo se R

₁

= 0.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% %

% Rete_Elettrica_2006.m %

% Controllo di una rete elettrica con 2 condensatori ed un induttore %

% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all close all clc

echo on

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Si utilizzano le unit di misura del Sistema Internazionale SI %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A=1; ohm=1; V=1; H=1; F=1; rad=1; sec=1;

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Parametri fisici del sistema %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

R1 = 10*ohm; % Resistenza R1

R2 = 10*ohm; % Resistenza R2

C1 = 0.1*F; % Capacita’ C1

(3)

C2 = 0.3*F; % Capacita’ C2

L = 0.2*H; % Induttanza L

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Condizioni iniziali del sistema %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

V10=10*V; % Tensione iniziale ai capi del condensatore C1 IL0= 0*A; % Corrente iniziale che scorre nell’induttore L V20=10*V; % Tensione iniziale ai capi del condensatore C2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Condizioni finali %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

V1f= 0*V; % Tensione finale ai capi del condensatore C1 ILf=10*A; % Corrente finale che scorre nell’induttore L V2f= 0*V; % Tensione finale ai capi del condensatore C2

%

echo on

pause; % Premi un tasto per continuare clc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Definizione delle matrici di sistema nello spazio degli stati %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Am=[ 0 1/C1 0 ;

-1/L -R1*R2/(L*(R1+R2)) -R1/(L*(R1+R2));

0 R1/(C2*(R1+R2)) -1/(C2*(R1+R2)) ; ];

Bm=[ 0;

1/L;

0];

Cm=[ 0 R1*R2/(R1+R2) -R2/(R1+R2) ];

%

SYS=ss(Am,Bm,Cm,0)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Funzione di trasferimento del sistema %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

GS=tf(SYS)

Transfer function:

25 s^2 + 3.855e-015 s

--- s^3 + 25.17 s^2 + 58.33 s + 8.333

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Poli del sistema %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

pole(SYS) ans =

(4)

-2.4117 -22.6021 -0.1529

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Zeri di trasmissione del sistema %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

zero(SYS)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Posizione dei poli e degli zeri nel piano %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

figure(1) pzmap(SYS)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Forma canomica di controllo %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

SYSC=canon(SYS) % Canonical form

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Matrice di controllabilit %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

ctrb(SYS) ans =

1.0e+003 *

0 0.0500 -1.2500 0.0050 -0.1250 2.8542 0 0.0083 -0.2097

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Determinante della matrice di controllabilit %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

det(ctrb(SYS)) ans =

347.2222

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(5)

% Evoluzione libera del sistema %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

[Y,T,X] = initial(SYS,[V10 IL0 V20]);

%

figure(2) subplot(311) plot(T,X(:,1))

title(’Tensione V1’) ylabel(’V1 [V]’)

%

subplot(312) plot(T,X(:,2))

title(’Corrente IL’) ylabel(’IL [A]’)

%

subplot(313) plot(T,X(:,3))

title(’Tensione V2’) ylabel(’V2 [V]’) xlabel(’Tempo [s]’)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Discretizzazione del sistema tempo continuo %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

Tsamp=0.5; % Periodo di campionamento

SYSD = C2D(SYS,Tsamp,’zoh’); % Discretizzazione del sistema [AD,BD,CD,DD] = SSDATA(SYSD) % Sistema discreto

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Calcolo del controllo a norma minima e simulazione %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

X0=[V10; IL0; V20]; % Stato iniziale

Xf=[V1f; ILf; V2f]; % Stato finale

u=Controllo_P2P(AD,BD,X0,Xf,3); % Calcolo del controllo a norma minima [YS,TS,XS] = LSIM(SYSD,u,[],X0) % Similazione con l’ingresso calcolato

% pause

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Graficazione dei dati %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

figure(3) clf

subplot(311)

plot(TS,XS(:,1),’*’); hold on stairs(TS,XS(:,1))

(6)

title(’Tensione V1’) ylabel(’V1 [V]’)

%

subplot(312)

title(’Corrente IL’) ylabel(’IL [A]’)

%

subplot(313)

title(’Tensione V2’) ylabel(’V2 [V]’) xlabel(’Tempo [s]’)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Calcolo delle traiettorie al variare del periodo di controllo %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

figure(4) clf

for k=[3:8]

u=Controllo_P2P(AD,BD,X0,Xf,k); % Calcolo del controllo a norma minima [YS,TS,XS] = LSIM(SYSD,u,[],X0); % Similazione con l’ingresso calcolato

%

plot3(XS(:,1),XS(:,2),XS(:,3)); hold on plot3(XS(:,1),XS(:,2),XS(:,3),’*’);

title(’Traiettorie nello spazio degli stati’) xlabel(’Tensione V1 [V]’)

ylabel(’Corrente IL [A]’) zlabel(’Tensione V2 [V]’) echo off

end echo on

% end

plot3(X0(1),X0(2),X0(3),’*r’);

plot3(Xf(1),Xf(2),Xf(3),’*r’);

grid on return

(7)

La funzione Controllo P2P(AD,BD,X0,Xf,np):

% Fornisce in uscita l’azione di controllo a norma minima che porta il sistema

% dallo stato iniziale X0 allo stato finale Xf, in "np" passi. Si suppone che

% il discreto caratterizzato dalle matrici A e B sia discreto e raggingibile

%

function u=Controllo_P2P(AD,BD,X0,Xf,np)

%

Rpiu=MatRagK(AD,BD,np); % Matrice di raggiungibilia’

u=Rpiu’*inv(Rpiu*Rpiu’)*(Xf-(AD^np)*X0); % Calcolo dell’ingresso di controllo u=[fliplr(u’) 0]; % Ordinamento di u al crescere del tempo return

La funzione MatRagK(AD,BD,np):

% Rp=MatRagK(A,B,k)

%

% Calcola la matrice di raggiungibilit a k passi del sistema linare (A,B):

%

% Rp = [B A*B A*A*B ... A^(k-1)*B]

%

function Rp=MatRagK(A,B,k)

[nra,nca]=size(A); % Calcola il numero di righe e di colonne [nrb,ncb]=size(B); % delle matrici A e B

if (nra==nca)&(nca==nrb) Rp=B;

for n=[1:k-1]

Rp=[Rp (A^n)*B];

end else

help MatRagK

disp(’Errore: la matrice A non quadrata oppure non compatibile con B’) end return

La funzione MatRag(A,B):

% Rp=MatRag(A,B)

%

% Calcola la matrice di raggiungibilit del sistema linare (A,B):

%

% Rp = [B A*B A*A*B ... A^(n-1)*B]

%

function Rp=MatRag(A,B)

[nra,nca]=size(A); % Calcola il numero di righe e di colonne if (nra==nca)

Rp=MatRagK(A,B,nra);

else

help MatRag

disp(’Errore: la matrice A non quadrata’) end

return

(8)

• Evoluzione libera:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−5 0 5 10

Tensione V1

V1 [V]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−3

−2

−1 0 1

Corrente IL

IL [A]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 5 10

Tensione V2

V2 [V]

Tempo [s]

• Traiettorie nello spazio degli stati:

−200 0

200

400

600

800

−100

−50 0

50 100

−20 0 20 40 60 80 100 120

Tensione V1 [V]

Traiettorie nello spazio degli stati

Corrente IL [A]

Tensione V2 [V]