3) Stimatore dello stato di ordine ridotto :
• Gli stimatori asintotici dello stato di ordine intero forniscono una infor- mazione ridondante, in quanto non tengono conto che alcune variabili di stato possono essere ottenute direttamente dalla misura delle uscite.
• Gli stimatori di ordine ridotto costituiscono uno schema “modificato” dello stimatore in catena chiusa in cui si stimano solo le componenti del vettore di stato che non sono immediatamente accessibili.
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Procedimento di calcolo di per uno stimatore di ordine ridotto:
- Si suppone che tutte le p righe della matrice C siano linearmente indipendenti.
- Si costruisce una matrice di trasformazione P−1 le cui ultime p righe coincidano con la matrice C:
P−1 =
V C
→ x = P¯x
e dove V `e una sottomatrice di ordine (n − p) × n che ha il solo vincolo di rendere invertibile la matrice P−1.
- Il cambiamento di base permette di far coincidere le p uscite del sistema con le ultime p componenti del nuovo vettore di stato x:
x = P−1x =
V C
x =
Vx Cx
=
w y
- Rispetto alla nuova base le matrici che descrivono il sistema diventano:
P−1AP = A, P−1B = B, CP = C - Le nuove equazioni di stato del sistema sono:
x(k + 1) =
w(k + 1) y(k + 1)
=
A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
w(k) y(k)
+
B1 B2
u(k) y(k) = [ 0 Ip ]
w(k) y(k)
- Svolgendo i calcoli si ottiene:
w(k + 1) = A1,1w(k) + A1,2y(k) + B1u(k) y(k + 1) = A2,1w(k) + A2,2y(k) + B2u(k)
- Premoltiplicando la seconda equazione per una matrice L di dimensioni (n − p) × p e sommandola alla precedente si ottiene:
w(k + 1) + Ly(k + 1) = (A1,1 + LA2,1)w(k)+
+(A1,2 + LA2,2)y(k) + (B1 + LB2)u(k) - Sommando e sottraendo a secondo membro il termine (A1,1+ LA2,1)Ly si ha:
v(k + 1)
z }| {
w(k + 1) + Ly(k + 1) = (A1,1+ LA2,1)[
v(k)
z }| {
w(k) + Ly(k)]+
+(A1,2 + LA2,2−A1,1L − LA2,1L)y(k) + (B1 + LB2)u(k)
- Ponendo v(k) = w(k) + Ly(k), l’ultima relazione diventa l’equazione di stato di un sistema con vettore di stato v(k) di dimensione n − p:
v(k + 1) = (A1,1 + LA2,1)v(k)+
+(A1,2+ LA2,2 −A1,1L − LA2,1L)y(k)+
+(B1 + LB2)u(k)
- Per tale sistema si costruisce uno stimatore a catena aperta di ordine n − p. La dinamica dell’errore di stima e(k) per tale sistema `e fissata dagli autovalori della matrice (A1,1+ LA2,1):
e(k + 1) = v(k + 1) − ˆv(k + 1) = (A1,1+ LA2,1)e(k)
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• Lo stimatore asintotico di ordine ridotto ha quindi la seguente struttura:
ˆ
x = P
ˆ
v(k) − Ly(k) y(k)
dove v(k) si determina come uscita del seguente sistema dinamico: ˆ ˆ
v(k + 1) = (A
1,1+ LA
2,1)ˆ v(k)+
+(A
1,2+ LA
2,2− A
1,1L − LA
2,1L)y(k)+
+(B + LB )u(k)
• La stima dello stato x(k) si ottiene da v(k):
v(k) = w(k) + Ly(k) ⇒ ˆ w(k) = ˆ v(k) − Ly(k) ⇒ ˆ x(k) =
w(k) ˆ y(k)
• Rappresentazione grafica di uno stimatore di ordine ridotto:
z
−1I
n
u(k)
x(k + 1) x(k)
C B
A
- -
-
y(k)
?
B
1+ LB
2-
A
1,2+ LA
2,2− A
1,1L − LA
2,1L
z
−1I
n
v(k + 1) ˆ v(k) ˆ
A
1,1+ LA
2,1- - ?
6
?
6
− L
-
?
P
?
Stimatore
?ˆ w(k)
ˆ x(k)
y(k)
Esempio. Dato il seguente sistema lineare stazionario continuo
˙x(t) =
0 1 −2
−1 0 −2
−0.5 −0.5 0
x(t) +
1 1
−0.5
u(t) y(t) = h −1 1 0 ix(t)
determinare, se `e possibile, il vettore L1 di un osservatore asintotico di ordine “pieno” ed il vettore L2 di un osservatore asintotico di ordine “ridotto” che posizionino in −1 il maggior numero possibile di autovalori.
(Sol1. - Osservatore di ordine pieno). La matrice di osservabilit`a `e :
O− =
−1 1 0
−1 −1 0 1 −1 4
→ det O− = 8
Il sistema `e completamente osservabile per cui `e possibile costruire sia un osservatore di ordine pieno che di ordine ridotto. La struttura dell’osservatore di ordine pieno `e la seguente:
˙ˆx(t) = (A + L1C)ˆx + B u(t) − L1y(t) Il vettore L1 pu`o essere calcolato, per esempio, utilizzando la formula:
L1 = −p(A)(O−)−1q = −(A + I)3(O−)−1q
= −
1 1 −2
−1 1 −2
−0.5 −0.5 1
3
−1 1 0
−1 −1 0 1 −1 4
−1
0 0 1
=
3.5 0.25
−1.75
essendo p(λ) = (λ + 1)3 il polinomio caratteristico desiderato.
(Sol2. - Osservatore di ordine ridotto). Una matrice di trasformazione P che porti il vettore C ad assumere la forma ¯C =h 0 0 1 i `e la seguente:
P−1 =
V C
=
0 0 1 0 1 0
−1 1 0
→ P =
0 1 −1
0 1 0
1 0 0
Il sistema trasformato [ ˙¯x(t) = ¯A¯x(t) + B u(t), y(t) = ¯C x(t)] assume la forma
cio`e
˙¯x(t)=
A11 A12 A21 A22
x(t) +¯
B1 B2
u(t) y(t)=h O 1 ix(t)¯
La matrice L2 deve essere scelta in modo che gli autovalori della matrice A11 + L2A21 siano posizionati entrambi in -1
L2 =
l1
l2
, A11+ L2A21 =
0 −1 − 2l1
−2 −1 − 2l2
Il polinomio caratteristico della matrice A11 + L2A21 viene posto uguale al polinomio desiderato p(s) = (s + 1)2:
∆(s) = s(s + 1 + 2l2) − 2 − 4l1 = s2 + (1 + 2l2)s − 2 − 4l1 = s2 + 2s + 1 = p(s) La soluzione cercata `e quindi la seguente:
L2 =
−0.75 0.5
La stessa soluzione si ottiene applicando la formula di Ackerman:
L2 = −(A11 + I2)2
A21 A21A11
−1
0 1
= −
1 −1
−2 0
2
0 −2 4 2
−1
0 1
=
−0.75 0.5
L’osservatore di ordine ridotto `e quindi il seguente x = Pˆ
v(t) − Lˆ 2y(t) y(t)
dove
˙ˆv(t) = [A11+ L2A21]ˆv(t) + [A12 + L2A22 −A11L2 −L2A21L2]y(t) + [B1+ L2B2]u(t) e cio`e
˙ˆv(t) =
0 0.5
−2 −2
v(t) +ˆ
−0.5 1
y(t) +
−0.5 1
u(t)
Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare stazionario tempo-continuo [ ˙x(t) = A x(t) + B u(t), y(t) = C x(t)]
˙x(t) =
−1 0 0
−2 −1 2
−2 0 1
x(t) +
−1 1 0
u(t) y(t) = h 0 1 0 ix(t)
dove x(t) =
x1(t) x2(t) x3(t)
Determinare, se `e possibile, la matrice L di un osservatore asintotico dello stato di ordine
“ridotto” che posizioni in −2 il maggior numero possibile di autovalori dell’osservatore.
Soluzione. Il sistema dato non `e completamente osservabile:
O− =
0 1 0
−2 −1 −2
0 1 0
, det O− = 0
Esister`a un osservatore dello stato solo se la parte non osservabile `e stabile. Il progetto di un osservatore di ordine ridotto parte dal calcolo una matrice di trasformazione P che porti la matrice C ad assumere la forma ¯C = h 0 0 1 i
P−1 =
V C
=
1 0 0 0 0 1 0 1 0
→ P =
1 0 0 0 0 1 0 1 0
Il sistema trasformato che si ottiene assume la forma
˙¯x(t)=
−1 0 0
−2 1 0
−2 2 −1
x(t) +¯
−1 0 1
u(t) y(t)=h 0 0 1 ix(t)¯
→
˙¯x(t)=
A11 A12 A21 A22
x(t) +¯
B1 B2
u(t) y(t)=h O I ix(t)¯
La parte non osservabile non `e sicuramente quella legata alla terza componente ¯x3 del vettore di stato perch`e coincidendo con l’uscita `e sicuramente osservabile. La parte non osservabile `e sicuramente interna al sotto sistema (A11, A21). Se infatti si calcola la matrice di osservabilit`a di questa sottoparte, si trova una matrice singolare:
O1− =
A21 A21A11
=
−2 2
−2 2
La parte non osservabile `e stabile (`e caratterizzata dall’autovalore λ = −1) per cui `e possi- bile procedere alla sintesi dell’osservatore di ordine ridotto. Il coefficiente l1 che posizione in
−2 l’autovalore della matrice ¯a11+l1c¯1 (dove ¯a11 = 1 e ¯c1 = 2) si calcola immediatamente:
¯
a11+ l1c¯1 = −2, 1 + 2 l1 = −2, l1 = −1.5
La matrice L dell’osservatore di ordine ridotto che posiziona in −1 l’unico autovalore della matrice A11+ LA21 che `e possibile spostare si calcola nel modo seguente:
L = P2
l1
α
=
−1 1 0 1
l2
α
=
1.5 + α α
dove α `e un grado di libert`a che `e possibile scegliere a piacere. Posto α = 0, un possibile osservatore di ordine ridotto `e quindi il seguente
ˆ
x(t) = P
v(t) − Ly(t)ˆ y(t)
= P =
1 0 0 0 0 1 0 1 0
ˆ v(t) −
1.5 0
y(t) y(t)
dove
˙ˆv(t) = [A11+ LA21]ˆv(t) + [A12+ LA22 −A11L − LA21L]y(t) + [B1 + LB2]u(t) e cio`e
˙ˆv(t) =
−4 3
−2 1
v(t) +ˆ
4.5 3
y(t) +
0.5 0
u(t)
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Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare, stazionario discreto [x(k + 1) = Ax(k) + bu(k), y(k) = Cx(k)]
x(k + 1) =
0 −1 0
1 2 0
0 1 1
x(k) +
0 0 1
u(k) y(k) =
0 1 0 0 0 1
x(k) =
c1 c2
x(k)
dove
x(k) =
x1(k) x2(k) x3(k)
y(k) =
y1(k) y2(k)
dove x(k) `e il vettore di stato, y(k) il vettore di uscita e u(k) il segnale d’ingresso.
a) Utilizzando l’ingresso u(k) e la sola seconda uscita y2(k), si costruisca, se possibile, uno stimatore dello stato di ordine ridotto di tipo dead-beat.
b) Si risolva lo stesso problema del punto precedente (stimatore dead-beat di ordine ridotto) utilizzando l’ingresso u(k) ed entrambe le uscite del sistema.
Soluzione. a) La matrice di osservabilit`a del sistema rispetto alla seconda uscita `e O− =
0 0 1 0 1 1 1 3 1
Il sistema `e completamente osservabile per cui `e possibile costruire un osservatore di ordine ridotto. D’altra parte il sistema `e gi`a nella forma pi`u idonea per la sintesi dell’osservatore di ordine ridotto
A =
A11 A12 A21 A22
=
0 −1 0
1 2 0
0 1 1
La matrice L deve essere scelta in modo che gli autovalori della matrice A11+ LA21 siano entrambi nulli
L =
l1
l2
A11+ LA21 =
0 −1 + l1 1 2 + l2
Il polinomio caratteristico della matrice A11 + LA21 `e
∆(z) = z(z − 2 − l2) + 1 − l1 = z2 −(2 + l2)z + 1 − l2 L’osservatore di ordine ridotto `e quindi il seguente
L =
1
−2
, x(k) =ˆ
v(k) − Ly(k)ˆ y(k)
dove ˆ
v(k + 1) = [A11+ LA21]ˆv(k) + [A12 + LA22−A11L − LA21L]y(k) + [B1 + LB2]u(k) e cio`e
v(k + 1) =
0 0 1 0
v(k) +
1
−3
y(k) +
1
−2
u(k)
b) Anche nel caso in cui si utilizzino entrambe le uscite, il sistema `e gi`a nella forma opportuna per la sintesi dell’osservatore di ordine ridotto
A =
A11 A12 A21 A22
=
0 −1 0
1 2 0
0 1 1
La matrice L viene scelta in modo che l’unico autovalore della matrice A11+LA21 sia nullo L = h l1 l2
i A11+ LA21 = h 0 i+h l1 l2 i
1 0
= h l1 i
La soluzione cercata `e quindi
