Meccanica Quantistica, 6 Febbraio 2017, Matricola...

Meccanica Quantistica, 6 Febbraio 2017, Matricola...

PROBLEMA A

Un rotatore isotropo in un campo magnetico ha come Hamiltoniana:

H = ˆ L ˆ x

2 + ˆ L y 2

2I + ω ˆ L z . All’istante t = 0 la funzione d’onda ´ e data da :

ψ

(θ, φ) = 1

√ 2 Y ₁ ¹ (θ, φ) + Y ₂ ⁰ (θ, φ)  Calcolare:

1. L’evoluto al tempo t.

2. I valori medi : h ˆ L _x i t , h ˆ L _y i t , h ˆ L _z i t , h ˆ L ² i t .

3. I possibili risultati e le relative probabilit´ a di una misura di L ˆ _z , L ˆ ² . Suggerimento :

L ˆ _± Y _l ^m = ¯ h p

(l ∓ m)(l ± m + 1) Y _l ^m±1 PROBLEMA B

Si consideri l’oscillatore armonico con Hamiltoniana:

H = ˆ p ˆ ² _x + ˆ p ² _y 2m + 1

2 mω ₁ ² x ˆ ² + 1 2 mω ₂ ² y ˆ ² con ω ₂ = 2ω ₁ .

1. Calcolare autovalori ed autovettori.

Al tempo t = 0 si accende la perturbazione

V = (ˆ ˆ x + ˆ y) ²

2. Calcolare le correzioni in energia al primo ordine in  dello stato fondamentale e del primo stato eccitato.

PROBLEMA C

Sia dato un sistema a due livelli descritto dalla Hamiltoniana H = ¯ ˆ hω

 0 1 + i 1 − i 0

 .

Sapendo che all’istante t = 0 lo stato del sistema ´ e descritto dal vettore |φ + i = (1/ √ 2)  1

1



, calcolare all’istante t:

1. la probabilit´ a che il sistema si trovi nello stato descritto dal vettore |φ ₋ i = (1/ √ 2)

 1

−1

 .

2. il valor medio e le probabilit´ a relative ai risultati di una misura dell’osservabile ˆ A = a  1 1 1 −1

 .

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