Esercizi sulla conversione tra unità di misura

Autore: Enrico Campanelli

Prima stesura: Settembre 2013 Ultima revisione: Settembre 2013

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Questa è una piccola raccolta di esercizi sulla conversione del valore di una grandezza fisica tra diverse unità di misura. Capita spesso di dover calcolare il valore di una grandezza fisica espresso nelle unità del SI (Sistema Internazionale) a partire da una serie di dati non espressi nel SI oppure di dover semplicemente esprimere una grandezza in una diversa unità di misura. In alcuni casi particolarmente semplici e comuni (come ad esempio il passaggio da m/s a km/h e viceversa) questo passaggio avviene applicando un fattore di conversione che si ricorda a memoria ma in generale bisogna svolgere tutti i calcoli necessari. I passaggi da svolgere sono basati sulla seguente osservazione:ogni misura può essere vista come il prodotto tra il valore numerico e l’unità di misura. Ciò significa che, ad esempio, l’espressione della lunghezza L = 10 m può essere vista come il prodotto tra il numero 10 e l’unità di misura 1 m, cioè L = 10 · 1 m. Analogamente la velocità v = 15 m/s può essere vista come il prodotto tra il numero 15 e l’unità di misura 1 m/s che, a sua volta, è il rapporto tra le unità di misura 1 m ed 1 s, per cui si ha v = 15 ·^{1 m}_{1 s}. In base a questa osservazione, la conversione si esegue seguendo queste due regole:

• si sostituisce a ciascuna unità di misura da convertire il suo valore espresso nell’unità di misura voluta;

• tutte le grandezze omogenee si devono esprimere con la stessa unità di misura (ad esempio tutte le lunghezze in metri, tutti i tempi in secondi e così via).

Fatto ciò, si eseguono tutti i prodotti e le divisioni tra i vari fattori numerici e si semplificano eventuali unità di misura.

Facciamo, ad esempio, la conversione della velocità di 120 km/h in m/s:

120 km/h = 120 ·1 km

1 h = 120 · 1000 m

3600 s = 120 ·1000 3600 · m

s = 120

3, 6 m/s ≈ 33, 3 m/s Nel penultimo passaggio si vede bene che si è ottenuto il ben noto fattore di conversione 3,6 per il quale, nel caso del passaggio da km/h a m/s, si deve dividere il valore della velocità.

Esercizio 001

Determinare la velocità v espressa in m/s usando la seguente formula:

v = ∆s

∆t nei seguenti casi:

• a) ∆s = 12 km e ∆t = 0, 2 h

• b) ∆s = 12 km e ∆t = 15 min

• c) ∆s = 12 cm e ∆t = 2 s

• d) ∆s = 120 km e ∆t = 3 giorni

Soluzione

Dobbiamo sostituire a ciascuna unità di misura l’equivalente valore espresso nell’unità di misura richiesta dal problema:

• a) poiché 1 km = 10³m e 1 h = 60 · 60 s, si ha:

v = 12 km

0, 2 h = 12 · 10³m

0, 2 · 60 · 60 s = 12000 m

720 s ≈ 17 m/s

• b) poiché 1 km = 10³m e 1 min = 60 s, si ha:

v = 12 km

15 min = 12 · 10³m

15 · 60 s = 12000 m

900 s ≈ 13 m/s

• c) poiché 1 cm = 10⁻²m, si ha:

v = 12 cm

2 s = 12 · 10⁻²m

2 s = 0, 12 m

2 s ≈ 0, 06 m/s

• d) poiché 1 km = 10³m e 1 giorno = 24 · 60 · 60 s, si ha:

v = 120 km

3 giorni = 120 · 10³m

3 · 24 · 60 · 60 s = 120000 m

259200 s ≈ 0, 46 m/s

Un oggetto che viene lanciato verso l’alto con una velocità v raggiunge un’altezza massima h data da:

h = v² 2g

dove la costante g = 9, 81 m/s² è l’accelerazione di gravità. Calcolare h espressa in m nei seguenti casi:

• a) v = 5 cm/s;

• b) v = 10 km/h.

Soluzione

Dobbiamo sostituire a ciascuna unità di misura l’equivalente valore espresso nell’unità di misura richiesta dal problema:

• a) poiché 1 cm = 10⁻²m, si ha:

h = (5 · ^cm_s )²

2 · 9, 81 m/s² = (5 · ¹⁰⁻²_s ^m)²

2 · 9, 81 m/s² = 25 ·¹⁰⁻⁴_s2^m2

2 · 9, 81 m/s² = 25 · 10⁻⁴

2 · 9, 81 m ≈ 0, 0001 m

• b) Qui, oltre a convertire i km in m, dobbiamo anche convertire le ore (presenti nella velocità) in s poiché nella costante g il tempo è espresso in s (ricordiamo che tutte le grandezze omogenee devono essere espresse con la stessa unità di misura). Si ha dunque, essendo 1 km = 10³m e 1 h = 60 · 60 s:

h = (10 · ^km_h )²

2 · 9, 81 m/s² = (10 · _{60·60 s}^103m)²

2 · 9, 81 m/s² = 100 · _1296·10^106m4²s²

2 · 9, 81 m/s² ≈ 0, 4 m

Esercizio 003

Un oggetto di massa m e velocità v ha un’energia cinetica data da:

Ec= 1 2mv²

Calcolare E_c espressa nelle unità del SI nei seguenti casi:

• a) v = 5 cm/s e m = 2 tonnellate;

• b) v = 100 km/h e m = 200 g.

Soluzione

Dobbiamo sostituire a ciascuna unità di misura l’equivalente valore espresso nell’unità di misura richiesta dal problema:

• a) poiché 1 cm = 10⁻²m, e 1 tonnellata = 10³kg, si ha:

E_c= 1

2·2·1 tonnellata·(5·
cm

s )² = 10³kg·(5·10⁻²m

s )² = 10³kg·25·10⁻⁴m²

s² = 2, 5kg m² s²

• b) poiché 1 km = 10³m, 1 h = 60 · 60 s = 3, 6 · 10³s e 1 g = 10⁻³kg, si ha:

E_c= 1

2 · 200 · 1 g · (100 · km

h )² = 100 · 10⁻³kg · (100 · 10³m 3, 6 · 10³s)² =

= 10⁻¹kg · 10⁴· ^10^6m²

12, 96 ·_10^6s² = 10³ 12, 96

kg m²

s² ≈ 77kg m² s²

Un oggetto che scende senza attrito lungo un piano inclinato di lunghezza l ed altezza h, ha un’accelerazione a lungo il piano data da:

a = gh l

dove la costante g = 9, 81 m/s² è l’accelerazione di gravità. Calcolare a espressa nelle unità del SI nei seguenti casi:

• a) h = 50 cm e l = 2 m;

• b) h = 150 mm e l = 750 mm.

Soluzione

In questo esercizio dobbiamo osservare che la formula contiene il rapporto tra due grandezze omogenee, infatti sia h che l sono lunghezze. In questi casi non ha importanza esprimere entrambe le lunghezze in m ma ciò a cui dobbiamo fare attenzione è che entrambe le lunghezze siano espresse nella stessa unità di misura, qualunque essa sia. Il rapporto tra due grandezze omogenee, infatti, non dipende certo dall’unità usata: se una lunghezza è ad esempio doppia dell’altra, ciò resta vero qualsiasi sia l’unità di misura usata.

• a) In questo caso dobbiamo rendere uguali le unità usate per le due lunghezze.

Possiamo ad esempio convertire h in m:

a = 9, 81m

s² · 50 · 10⁻²m

2 m ≈ 2, 5m s² oppure possiamo convertire l in cm:

a = 9, 81m

s² · 50 cm

2 · 100 cm ≈ 2, 5m s² ottenendo, come si vede, lo stesso risultato.

• b) in questo caso h ed l non sono espresse nel SI ma sono comunque espresse nella stessa unità di misura, per cui possiamo usare i dati forniti senza nessuna conversione:

a = 9, 81m

s² · 150 mm

750 mm ≈ 0, 2m s²

Esercizio 005

Si esprima in km/h² ed in cm/s² l’accelerazione di gravità sulla superfice terrestre che nel SI vale:

g = 9, 81 m/s²

Soluzione

Nel primo caso, tenendo conto che 1 m = 10⁻³km e che 1 s = ₃₆₀₀¹ h, si ha:

g = 9, 81m

s² = 9, 8110⁻³km

(₃₆₀₀¹ h)² = 9, 81 · 10⁻³· 12, 96 · 10⁶ km

h² ≈ 1, 27 · 10⁵ km h²

Nel secondo caso, si ha 1 m = 10²cm e quindi:

g = 9, 81m

s² = 9, 8110²cm

s² = 981cm s²

Il tempo t_c che impiega un corpo a cadere a terra partendo da fermo da una altezza h è dato da:

t_c=

s2h g

dove la costante g = 9, 81 m/s² è l’accelerazione di gravità. Si calcoli:

• a) t_c in ore sapendo che h = 2 km

• b) t_c in ore sapendo che h = 200 m

• c) t_c in minuti sapendo che h = 2 km

Soluzione

• a) In questo caso possiamo usare il risultato dell’esercizio precedente, infatti:

t_c =

Ì

2 · 2 km 1, 27 · 10^{5 km}_h2

=

s 2 · 2

1, 27 · 10⁵h² ≈ 5 · 10⁻³h

• b) In questo caso invece, dobbiamo esprimere il secondo in ore:

t_c=

Ì 2 · 200 m 9, 81₍ 1^m

3600h)²

=

s 2 · 200

9, 81 · 3600² h² ≈ 2 · 10⁻³h

• c) Qui dobbiamo esprimere il secondo in minuti ed il km in m:

t_c=

Ì 2 · 2000 m 9, 81₍1 ^m

60min)²

=

s 2 · 2000

9, 81 · 60² min² ≈ 0, 3 min