ANALISI MATRICIALE DELLA STRUTTURA RIPORTATA IN FIGURA - Dott. Ing. Simone Caffè - 26/07/2014

ANALISI MATRICIALE DELLA STRUTTURA RIPORTATA IN FIGURA - Dott. Ing. Simone Caffè - 26/07/2014

MATERIALI:

E30000 MPa

COORDINARTE DEL MODELLO DI CALCOLO E DEFINIZIONE DEGLI ELEMENTI:

Coordinate nodali:

Nodo 1: x₁0 m z₁0 m

Nodo 2: x₂10m z₂0 m

Nodo 3: x₃5 m z₃2 m

Definizione degli elementi e delle relative proprietà meccaniche:

Elemento 1 (da 1 a 3): h₁0.5 m b₁0.2 m

A₁h₁b₁0.1 m² Area della sezione:

Inerzia della sezione: I₁ b₁h₁³

12  0.00208 m⁴



Lunghezza dell'elemento: L₁^



x₃x₁



^2



^z3z₁



^{2 5.3852 m}

Angolo di inclinazione:

θ₁

atan z₃z₁ x₃x₁

 



 



^{if z3z1x3 x1}

180° atan z₃z₁ x₃x₁

 



 





if z₃ z₁x₃ x₁ 180° atan z₃z₁

x₃x₁

 



 





if z₃ z₁x₃ x₁ 360° atan z₃z₁

x₃x₁

 



 





if z₃ z₁x₃ x₁ x₃x₁

 

^0

if

90° if z₃ z₁ 270° otherwise

x₃x₁

 

⁼⁰

if

21.8014 °





Elemento 2 (da 2 a 3): h₂0.5 m b₂0.2 m

A₂h₂b₂0.1 m² Area della sezione:

Inerzia della sezione: I₂ b₂h₂³

12  0.00208 m⁴



Lunghezza dell'elemento: L₂^



x₃x₂



^2



^z3z₂



^{2 5.3852 m}

Angolo di inclinazione:

θ₂

atan z₃z₂ x₃x₂

 



 



^{if z3z2x3 x2}

180° atan z₃z₂ x₃x₂

 



 





if z₃ z₂x₃ x₂ 180° atan z₃z₂

x₃x₂

 



 





if z₃ z₂x₃ x₂ 360° atan z₃z₂

x₃x₂

 



 





if z₃ z₂x₃ x₂ x₃x₂

 

^0

if

90° if z₃ z₂ 270° otherwise

x₃x₂

 

⁼⁰

if

158.1986 °





COSTRUZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA DEI SINGOLI ELEMENTI NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO LOCALE:

Elemento 1:

K_{1_LOC}

E A ₁ L₁

m N

 



 





0

0

 AE ₁ L₁

m N

 



 





0

0

0

12 E I₁ L₁³

m N

 



 



6 E I₁ L₁²

1 N

 



 



0

 E12 I₁ L₁³

m N

 



 



6 E I₁ L₁²

1 N

 



 



0

6 E I₁ L₁²

1 N

 



 



4 E I₁ L₁

1 N m

 



 



0

 E6 I₁ L₁²

1 N

 



 



2 E I₁ L₁

1 N m

 



 



 AE ₁ L₁

m N

 



 





0

0

E A ₁ L₁

m N

 



 





0

0

0

 E12 I₁ L₁³

m N

 



 



 E6 I₁ L₁²

1 N

 



 



0

12 E I₁ L₁³

m N

 



 



 E6 I₁ L₁²

1 N

 



 



0

6 E I₁ L₁²

1 N

 



 



2 E I₁ L₁

1 N m

 



 



0

 E6 I₁ L₁²

1 N

 



 



4 E I₁ L₁

1 N m

 



 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

557086014.53 0 0 557086014.53

 0 0

0 4802465.64 12931034.48

0 4802465.64



12931034.48 0 12931034.48 46423834.54

0 12931034.48



23211917.27

557086014.53

 0 0 557086014.53

0 0

0 4802465.64



12931034.48

 0 4802465.64 12931034.48



0 12931034.48 23211917.27

0 12931034.48



46423834.54

 

 

 

 

 

 

 

 





Elemento 2:

K_{2_LOC}

E A ₂ L₂

m N

 



 





0

0

 AE ₂ L₂

m N

 



 





0

0

0

12 E I₂ L₂³

m N

 



 



6 E I₂ L₂²

1 N

 



 



0

 E12 I₂ L₂³

m N

 



 



6 E I₂ L₂²

1 N

 



 



0

6 E I₂ L₂²

1 N

 



 



4 E I₂ L₂

1 N m

 



 



0

 E6 I₂ L₂²

1 N

 



 



2 E I₂ L₂

1 N m

 



 



 AE ₂ L₂

m N

 



 





0

0

E A ₂ L₂

m N

 



 





0

0

0

 E12 I₂ L₂³

m N

 



 



 E6 I₂ L₂²

1 N

 



 



0

12 E I₂ L₂³

m N

 



 



 E6 I₂ L₂²

1 N

 



 



0

6 E I₂ L₂²

1 N

 



 



2 E I₂ L₂

1 N m

 



 



0

 E6 I₂ L₂²

1 N

 



 



4 E I₂ L₂

1 N m

 



 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

557086014.53 0 0 557086014.53

 0 0

0 4802465.64 12931034.48

0 4802465.64



12931034.48 0 12931034.48 46423834.54

0 12931034.48



23211917.27

557086014.53

 0 0 557086014.53

0 0

0 4802465.64



12931034.48

 0 4802465.64 12931034.48



0 12931034.48 23211917.27

0 12931034.48



46423834.54

 

 

 

 

 

 

 

 





COSTRUZIONE DELLE MATRICI DI RIGIDEZZA DEI SINGOLI ELEMENTI NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO GLOBALE:

Per scrivere le matrici di rigidezza dei singoli elementi nel sistema di coordinate globali è necessario introdurre le matrici " T " di trasformazione:

Elemento 1: Elemento 2:

T₁

cos θ

 

₁

sin θ

 

₁

 0 0 0 0

sin θ

 

₁

cos θ

 

₁

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos θ

 

₁

sin θ

 

₁

 0

0 0 0 sin θ

 

₁

cos θ

 

₁

0 0 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.93

0.37 0 0 0 0

0.37 0.93 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0.93

0.37 0

0 0 0 0.37 0.93 0

0 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 



 T₂

cos θ

 

₂

sin θ

 

₂

 0 0 0 0

sin θ

 

₂

cos θ

 

₂

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos θ

 

₂

sin θ

 

₂

 0

0 0 0 sin θ

 

₂

cos θ

 

₂

0 0 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.93

0.37 0 0 0 0

0.37

0.93 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0

0.93

0.37 0

0 0 0 0.37

0.93 0

0 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 





Elemento 1:

K_{1_GLOB} T₁^TK_{1_LOC}T₁

480908973.31 190442603.07 4802465.64



480908973.31



190442603.07



4802465.64



190442603.07 80979506.87 12006164.11 190442603.07



80979506.87



12006164.11

4802465.64



12006164.11 46423834.54 4802465.64 12006164.11



23211917.27

480908973.31



190442603.07



4802465.64 480908973.31 190442603.07 4802465.64

190442603.07



80979506.87



12006164.11



190442603.07 80979506.87

12006164.11



4802465.64



12006164.11 23211917.27 4802465.64 12006164.11



46423834.54

 

 

 

 

 

 

 

 





Elemento 2:

K_{2_GLOB} T₂^TK_{2_LOC}T₂

480908973.31 190442603.07



4802465.64



480908973.31



190442603.07 4802465.64



190442603.07



80979506.87 12006164.11



190442603.07 80979506.87



12006164.11



4802465.64



12006164.11



46423834.54 4802465.64 12006164.11 23211917.27

480908973.31



190442603.07 4802465.64 480908973.31

190442603.07



4802465.64

190442603.07 80979506.87



12006164.11 190442603.07



80979506.87 12006164.11

4802465.64



12006164.11



23211917.27 4802465.64 12006164.11 46423834.54

 

 

 

 

 

 

 

 





COSTRUZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA DELL'INTERA STRUTTURA NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO GLOBALE:

Per scrivere la matrice di rigidezza completa dell'intera struttura nel sistema di coordinate globali è necessario introdurre le matrici " C " di connessione. Le matrici di connessione di ciascun elemento hanno 6 righe (pari al numero di DOF di quell'elemento ovvero 3 DOF per il nodo " i " e 3 DOF per il nodo " j ") e tante colonne quanti sono i DOF dell'intera struttura (compresi quelli vincolati). Nel caso in esempio il numero di colonne è pari a 3 NODI x 3 DOF = 9.

Elemento 1 (connette il nodo 1 con il nodo 3): Elemento 2 (connette il nodo 2 con il nodo 3):

C₁ 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 C₂

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 



Elemento 1:

K₁ C₁^TK_{1_GLOB}C₁

480908973.31 190442603.07 4802465.64

 0 0 0 480908973.31



190442603.07



4802465.64



190442603.07 80979506.87 12006164.11

0 0 0 190442603.07



80979506.87



12006164.11

4802465.64



12006164.11 46423834.54

0 0 0 4802465.64 12006164.11



23211917.27 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

480908973.31



190442603.07



4802465.64 0 0 0 480908973.31 190442603.07 4802465.64

190442603.07



80979506.87



12006164.11

 0 0 0 190442603.07

80979506.87 12006164.11



4802465.64



12006164.11 23211917.27

0 0 0 4802465.64 12006164.11



46423834.54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





Elemento 2:

K₂ C₂^TK_{2_GLOB}C₂ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 480908973.31

190442603.07



4802465.64



480908973.31



190442603.07 4802465.64



0 0 0 190442603.07



80979506.87 12006164.11



190442603.07 80979506.87



12006164.11



0 0 0 4802465.64



12006164.11



46423834.54 4802465.64 12006164.11 23211917.27

0 0 0 480908973.31



190442603.07 4802465.64 480908973.31

190442603.07



4802465.64

0 0 0 190442603.07

80979506.87



12006164.11 190442603.07



80979506.87 12006164.11

0 0 0 4802465.64



12006164.11



23211917.27 4802465.64 12006164.11 46423834.54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





LA MATRICE DI RIGIDEZZA COMPLETA DELL'INTERA STRUTTURA RISULTA:

K_TOT K₁K₂

480908973.31 190442603.07 4802465.64

 0 0 0 480908973.31



190442603.07



4802465.64



190442603.07 80979506.87 12006164.11

0 0 0 190442603.07



80979506.87



12006164.11

4802465.64



12006164.11 46423834.54

0 0 0 4802465.64 12006164.11



23211917.27

0 0 0 480908973.31

190442603.07



4802465.64



480908973.31



190442603.07 4802465.64



0 0 0 190442603.07



80979506.87 12006164.11



190442603.07 80979506.87



12006164.11



0 0 0 4802465.64



12006164.11



46423834.54 4802465.64 12006164.11 23211917.27

480908973.31



190442603.07



4802465.64 480908973.31



190442603.07 4802465.64 961817946.61

0 9604931.29

190442603.07



80979506.87



12006164.11



190442603.07 80979506.87



12006164.11

0 161959013.74

0

4802465.64



12006164.11 23211917.27 4802465.64



12006164.11



23211917.27 9604931.29

0 92847669.09

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





COSTRUZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA "CONTRATTA" DELL'INTERA STRUTTURA:

La contrazione della matrice di rigidezza serve ad eliminare le righe e le colonne riferite ai DOF vincolati. La contrazione avviene mediante l'operatore " OC " di contrazione che possiede un numero di righe pari al numero di DOF liberi ed un numero di colonne pari a tutti i DOF della struttura.

NOTA : i DOF liberi sono la rotazione del nodo 2 e le due traslazioni e la rotazione del nodo 3.

OC 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 

 

 

 

 

 



K_contratta OC K _TOTOC^T

46423834.54 4802465.64 12006164.11 23211917.27

4802465.64 961817946.61

0 9604931.29

12006164.11

0 161959013.74

0

23211917.27 9604931.29

0 92847669.09

 

 

 

 

 

 





Il determinante della matrice di rigidezza contratta deve risultare diverso da "zero" in modo che la stessa risulti "invertibile":

K_contratta  5.74 10 ³²

COSTRUZIONE DEL VETTORE DELLE FORZE NODALI "APPLICATE" NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO GLOBALE:

Le forze nodali vengono direttamente applicate nel sistema di riferimento "globale".

Forze/Momenti applicati al nodo 3:

F_x3100000 N F_z3500000N

F_A 0 0 0 0 0 0 F_x3 1

N

 



 





F_z3 1 N

 



 





0

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 



0 0 0 0 0 0 100000

500000

 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





DETERMINAZIONE DEGLI SPOSTAMENTI DOVUTI AI CARICHI NODALI:

Vettore contratto delle forze e dei momenti applicati ai nodi:

FA_contratto OC F _A 0 100000

500000

 0

 

 

 

 

 

 





Vettore degli spostamenti:

Δ_A K_contratta^1FA_contratto

0.00093 0.0001 0.00316

 0.00024



 

 

 

 

 

 





COSTRUZIONE DEL VETTORE DELLE FORZE NODALI "EQUIVALENTI" AI CARICHI DISTRIBUITI:

I carichi distribuiti vengono applicati nel sistema "LOCALE":

q_z2 50000N

m



Elemento 1: Elemento 2:

β₂180° θ ₂21.8 °

F_{E1_LOC} 0 0 0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 



F_{E2_LOC}

q_z2

 ^sin β

 

₂ ^L2 2

1 N

 



 



q_z2^cos β

 

₂ ^L2 2

1 N

 



 



q_z2^cos β

 

₂ ^L22

 12

1 N m

 



 



q_z2

 ^sin β

 

₂ ^L2 2

1 N

 



 



q_z2^cos β

 

₂ ^L2 2

1 N

 



 



q_z2

 ^cos β

 

₂ ^L22

 12

1 N m

 



 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50000

 125000 112190.93

50000

 125000 112190.93



 

 

 

 

 

 

 

 





Si riscrivono i suddetti vettori nel sistema "GLOBALE":

Elemento 1: Elemento 2:

F_{E1_GLOB} T₁^TF_{E1_LOC} 0 0 0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 



 F_{E2_GLOB} T₂^TF_{E2_LOC}

0 134629.12

 112190.93

0 134629.12



112190.93



 

 

 

 

 

 

 

 





Si riscrivono i suddetti vettori "CONNETTENDOLI ALLA STRUTTURA":

Elemento 1: Elemento 2:

F_E1 C₁^TF_{E1_GLOB} 0 0 0 0 0 0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 F_E2 C₂^TF_{E2_GLOB}

0 0 0

0 134629.12

 112190.93

0 134629.12



112190.93



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





Si scrive il vettore complessivo delle forze/momenti nodali equivalenti ai carichi distribuiti:

F_E F_E1F_E2

0 0 0

0 134629.12

 112190.93

0 134629.12



112190.93



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





Infine si opera la "CONTRAZIONE" del vettore complessivo:

FE_contratto OC F _E

112190.93

0 134629.12



112190.93



 

 

 

 

 

 





DETERMINAZIONE DEGLI SPOSTAMENTI DOVUTI AI CARICHI DISTRIBUITI:

Vettore degli spostamenti:

Δ_E K_contratta^1FE_contratto

0.0037808 0.0000026 0.0011115



0.0021538



 

 

 

 

 

 





ANALISI MODALE - DETERMINAZIONE DELLE FREQUENZE PROPRIE DI VIBRAZIONE:

Costruzione della matrice delle masse:

M F_z3

g

q_z2L₂ 2 g

 1

kg

0

0

0

F_z3 g

q_z2L₂ 2 g

 1

kg 0

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

64714.16 0 0

0 64714.16

0 0 0 1

 

 

 

 





Costruzione della matrice dinamica:

In questo caso gli unici DOF significativi sono quelli relativi al nodo 3, quindi è necessario operare una nuova contrazione della matrice di rigidezza:

OC_dyn 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

 

 



K_dyn OC_dynK_TOTOC_dyn^T

961817946.61

0 9604931.29

0 161959013.74

0

9604931.29 0 92847669.09

 

 

 

 





Matrice dinamica:

M^1K_dyn

14862.56

0 9604931.29

0 2502.68

0

148.42 0 92847669.09

 

 

 

 



Determinazione degli autovalori e delle frequenze proprie della struttura:

Λ eigenvals M

 

^1K_dyn

 

2502.68 14862.56 92847669.09

 

 

 

 





λ₁Λ₀2502.68 ω₁ λ₁50.03 f₁ ω₁ 2 π 7.962

 Τ₁f₁^10.13

λ₂Λ₁14862.56 ω₂ λ₂121.91 f₂ ω₂

2 π 19.403

 Τ₂f₂^10.05