ANALISI MATRICIALE DELLE STRUTTURE - Dott. Ing. Simone Caffè
Determinare gli spostamenti incogniti dei nodi 2, 3, 4 e 5 della struttura di seguito riportata.
PASSO 1: Definizione dei materiali
Considerando il modello finito "FRAME SEMPLIFICATO", la definizione del materiale si attua con il solo inserimento del modulo elastico e del coefficiente di dilatazione termica (nel caso di analisi termiche).
E:= 30000 MPa⋅
PASSO 2: Definizione delle coordinate nodali
Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3: Nodo 4: Nodo 5:
x1:= 0 m⋅ x2:= 0 m⋅ x3:= 5 m⋅ x4:= 11m x5:= 11 m⋅ y1:= 0 m⋅ y2:= 6 m⋅ y3:= 6 m⋅ y4:= 3 m⋅ y5:= 0 m⋅
PASSO 3: Definizione della geometria degli elementi "FRAME"
Elemento 1:
Elemento 2:
Altezza della sezione trasversale: h1:= 40 cm⋅ Altezza della sezione trasversale: h2:= 50 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b1:= 40 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b2:= 30 cm⋅
Lunghezza dell'elemento frame: L1:=
(
x2−x1)
2+(
y2−y1)
2=6 m Lunghezza dell'elemento frame: L2:=(
x3−x2)
2+(
y3−y2)
2=5 mAngolo di inclinazione dell'elemento: α1:= 90° Angolo di inclinazione dell'elemento: α2:= 0°
Area della sezione trasversale: A1:= h1⋅b1=1600 cm⋅ 2 Area della sezione trasversale: A2:= h2⋅b2=1500 cm⋅ 2
Inerzia della sezione trasversle: I1
b1⋅h13
12 =213333 cm⋅ 4
:= Inerzia della sezione trasversle: I2
b2⋅h23
12 =312500 cm⋅ 4 :=
Elemento 3:
Elemento 4:
Altezza della sezione trasversale: h3:= 50 cm⋅ Altezza della sezione trasversale: h4:= 40 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b3:= 30 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b4:= 40 cm⋅
Lunghezza dell'elemento frame: L3:=
(
x4−x3)
2+(
y4−y3)
2=6.71 m Lunghezza dell'elemento frame: L4:=(
x5−x4)
2+(
y5−y4)
2=3 mAngolo di inclinazione dell'elemento: α3 360° atan
y4−y3
( )
x4−x3
( )
+ =333.43 °⋅
:= Angolo di inclinazione dell'elemento: α4:= 270°
Area della sezione trasversale: A3:= h3⋅b3=1500 cm⋅ 2 Area della sezione trasversale: A4:= h4⋅b4=1600 cm⋅ 2
Inerzia della sezione trasversle: I3
b3⋅h33
12 =312500 cm⋅ 4
:= Inerzia della sezione trasversle: I4
b4⋅h43
12 =213333 cm⋅ 4 :=
PASSO 4: Costruzione delle matrici di rigidezza locali dei singoli elementi
NOTA: Le matrici di rigidezza devono essere adimensionalizzate.
Elemento 1:
K1_LOC
E A⋅ 1 L1
m N
⋅
0
0
−E⋅A1 L1
m N
⋅
0
0
0
12 E⋅ ⋅I1 L13
m N
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
0
−12⋅E⋅I1 L13
m N
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
0
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
4 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
2 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
−E⋅A1 L1
m N
⋅
0
0
E A⋅ 1 L1
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I1 L13
m N
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
12 E⋅ ⋅I1 L13
m N
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
2 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
4 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
:=
Elemento 2:
K2_LOC
E A⋅ 2 L2
m N
⋅
0 0
−E⋅A2 L2
m N
⋅
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
−E⋅A2 L2
m N
⋅
0 0 E A⋅ 2
L2 m N
⋅
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
:=
Elemento 3:
K3_LOC
E A⋅ 3 L3
m N
⋅
0
0
−E⋅A3 L3
m N
⋅
0
0
0
12 E⋅ ⋅I3 L33
m N
6 E⋅ ⋅I3 L32
1 N
0
−12⋅E⋅I3 L33
m N
6 E⋅ ⋅I3 L32
1 N
0
6 E⋅ ⋅I3 L32
1 N
4 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I3 L32
1 N
2 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
−E⋅A3 L3
m N
⋅
0
0
E A⋅ 3 L3
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I3 L33
m N
−6⋅E⋅I3 L32
1 N
0
12 E⋅ ⋅I3 L33
m N
−6⋅E⋅I3 L32
1 N
0
6 E⋅ ⋅I3 L32
1 N
2 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I3 L32
1 N
4 E⋅ ⋅I3 L3
1 N m⋅
:=
Elemento 4:
K4_LOC
E A⋅ 4 L4
m N
⋅
0
0
−E⋅A4 L4
m N
⋅
0
0
0
12 E⋅ ⋅I4 L43
m N
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
0
−12⋅E⋅I4 L43
m N
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
0
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
4 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
2 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
−E⋅A4 L4
m N
⋅
0
0
E A⋅ 4 L4
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I4 L43
m N
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
12 E⋅ ⋅I4 L43
m N
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
2 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
4 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
:=
Elemento 1:
K1_LOC
800000000 0 0 800000000
− 0 0
0 3555555.56 10666666.67
0 3555555.56
−
10666666.67
0 10666666.67 42666666.67
0 10666666.67
−
21333333.33
800000000
− 0 0 800000000
0 0
0 3555555.56
−
10666666.67
− 0 3555555.56
10666666.67
−
0 10666666.67 21333333.33
0 10666666.67
−
42666666.67
=
Elemento 2:
K2_LOC
900000000 0 0 900000000
− 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
900000000
− 0 0 900000000
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
=
Elemento 3:
K3_LOC
670820393.25 0 0 670820393.25
− 0 0
0 3726779.96
12500000 0 3726779.96
−
12500000
0 12500000 55901699.44
0 12500000
−
27950849.72
670820393.25
− 0 0 670820393.25
0 0
0 3726779.96
−
12500000
− 0 3726779.96
12500000
−
0 12500000 27950849.72
0 12500000
−
55901699.44
=
Elemento 4:
K4_LOC
1600000000 0 0 1600000000
− 0 0
0 28444444.44 42666666.67
0 28444444.44
−
42666666.67
0 42666666.67 85333333.33
0 42666666.67
−
42666666.67
1600000000
− 0 0 1600000000
0 0
0 28444444.44
−
42666666.67
− 0 28444444.44
42666666.67
−
0 42666666.67 42666666.67
0 42666666.67
−
85333333.33
=
PASSO 5: Costruzione delle matrici di trasformazione
NOTA: Le matrici di trasformazione consentono di riscrivere le matrici locali nelle coordinate globali.
Elemento 1: Elemento 2:
T1
cos α
( )
1sin α
( )
1− 0 0 0 0
sin α
( )
1cos α
( )
10 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α
( )
1sin α
( )
1− 0
0 0 0 sin α
( )
1cos α
( )
10 0 0 0 0 0 1
0
−1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
−1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
=
:= T2
cos α
( )
2sin α
( )
2− 0 0 0 0
sin α
( )
2cos α
( )
20 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α
( )
2sin α
( )
2− 0
0 0 0 sin α
( )
2cos α
( )
20 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
= :=
Elemento 3: Elemento 4:
T3
cos α
( )
3sin α
( )
3− 0 0 0 0
sin α
( )
3cos α
( )
30 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α
( )
3sin α
( )
3− 0
0 0 0 sin α
( )
3cos α
( )
30 0 0 0 0 0 1
0.89 0.45 0 0 0 0
−0.45 0.89
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.89 0.45 0
0 0 0
−0.45 0.89
0 0 0 0 0 0 1
=
:= T4
cos α
( )
4sin α
( )
4− 0 0 0 0
sin α
( )
4cos α
( )
40 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α
( )
4sin α
( )
4− 0
0 0 0 sin α
( )
4cos α
( )
40 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0
−1 0 0
0 0 0 0 0 1
= :=
PASSO 6: Trasformazione da matrici locali a matrici globali
Elemento 1:
K1_GLOB T1T⋅K1_LOC⋅T1
3555555.56 0 10666666.67
−
3555555.56
−
−0 10666666.67
−
0 800000000
0
−0 800000000
− 0
10666666.67
− 0 42666666.67 10666666.67
−0 21333333.33
3555555.56
−
−0 10666666.67
3555555.56 0 10666666.67
−0 800000000
−
−0 0 800000000
−0
10666666.67
− 0 21333333.33 10666666.67
−0 42666666.67
= :=
Elemento 2:
K2_GLOB T2T⋅K2_LOC⋅T2
900000000 0 0 900000000
− 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
900000000
− 0 0 900000000
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
= :=
Elemento 3:
K3_GLOB T3T⋅K3_LOC⋅T3
537401670.59 266837445.31
−
5590169.94 537401670.59
−
266837445.31 5590169.94
266837445.31
−
137145502.62 11180339.89 266837445.31
137145502.62
−
11180339.89
5590169.94 11180339.89 55901699.44 5590169.94
−
11180339.89
−
27950849.72
537401670.59
−
266837445.31 5590169.94
−
537401670.59 266837445.31
−
5590169.94
−
266837445.31 137145502.62
−
11180339.89
−
266837445.31
−
137145502.62 11180339.89
−
5590169.94 11180339.89 27950849.72 5590169.94
−
11180339.89
−
55901699.44
= :=
Elemento 4:
K4_GLOB T4T⋅K4_LOC⋅T4
28444444.44 0 42666666.67
28444444.44
−
−0 42666666.67
0 1600000000
−0
−0 1600000000
−
−0
42666666.67
−0 85333333.33
42666666.67
− 0 42666666.67
28444444.44
−
−0 42666666.67
−
28444444.44 0 42666666.67
−
−0 1600000000
− 0 0 1600000000
0
42666666.67
−0 42666666.67
42666666.67
− 0 85333333.33
= :=
PASSO 7: Costruzione delle matrici di connettività
NOTA: Le matrici di connettività consentono di connettere tra loro le matrici globali di ciascun elemento riferendole all'intera struttura. In questo caso il numero di nodi globali è pari a 5x3DOF ovvero 15 colonne e 6 righe pari al numero di DOF di ciascun elemento.
Elemento 1: Elemento 2:
C1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
:= C2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
:=
Elemento 3:
Elemento 4:
C3 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
:= C4
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
:=
PASSO 8: Costruzione della matrice globale di rigidezza
K1:= C1T⋅K1_GLOB⋅C1 K2:= C2T⋅K2_GLOB⋅C2 K3:= C3T⋅K3_GLOB⋅C3 K4:= C4T⋅K4_GLOB⋅C4 KTOT:= K1+ K2 +K3+ K4
PASSO 9: Costruzione della matrice di contrazione
La matrice di contrazione consente di ridurre di righe e colonne della matrice globale in funzione del numero di DOF incogniti da determinare. Nel nostro caso gli spostamenti incogniti sono 3DOF per i nodi 2, 3 e 4 ed 1DOF (la rotazione) del nodo 5. La matrice avrà tante colonne quanti sono i DOF complessivi 5x3DOF = 15 e tante righe quanti sono i DOF incogniti, ovvero 3x3 = 9 + 1 = 10.
OC 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
:=
PASSO 10: Costruzione della matrice di rigidezza ridotta
KRID OC K⋅ TOT⋅OCT
903555556 0 10666667 -900000000 0 0 0 0 0 0
0 800000000 -0 0 0 0 0 0 0 0
10666667 -0 42666667 0 0 0 0 0 0 0
-900000000 0 0 1437401671 -266837445 5590170 -537401671 266837445 5590170 0
0 0 0 -266837445 137145503 11180340 266837445 -137145503 11180340 0
0 0 0 5590170 11180340 55901699 -5590170 -11180340 27950850 0
0 0 0 -537401671 266837445 -5590170 565846115 -266837445 37076497 42666667
0 0 0 266837445 -137145503 -11180340 -266837445 1737145503 -11180340 -0
0 0 0 5590170 11180340 27950850 37076497 -11180340 141235033 42666667
0 0 0 0 0 0 42666667 -0 42666667 85333333
= :=
Affinchè il sistema sia "STATICAMENTE DETERMINATO", il determinante della matrice di rigidezza ridotta deve risultare "DIVERSO DA ZERO". In questo caso la matrice risulterà "INVERTIBILE" e la struttura "NON LABILE".
KRID =3.33×1079
PASSO 11: Applicazione dei carichi nodali (si applicano direttamente nel sistema globale)
F2_x:= 10 kN⋅ F3_x:= 10 kN⋅ F4_x:= 10 kN⋅
Fjoint_TOT
0 0 0
F2_x 1 N
⋅
0 0
F3_x 1 N
⋅
0 0
F4_x 1 N
⋅
0 0 0 0 0
0 0 0 10000 0 0 10000 0 0 10000 0 0 0 0 0
= :=
Analogamente a quanto effettuato per la matrice di rigidezza, anche il vettore dei carichi necessita di essere ridotto (mediante la matrice di contrazione):
Fjoint_RID OC F⋅ joint_TOT
10000 0 0 10000 0 0 10000 0 0 0
= :=
PASSO 12: Determinazione degli spostamenti nodali dovuti ai carichi applicati direttamente ai nodi
∆joint KRID−1⋅Fjoint_RID
0.028125 0 -0.007031 0.028142 0.026374 -0.004216 0.014962 0 -0.004753 -0.005105
= :=
Nodo 2: Nodo 3: Nodo 4: Nodo 5:
ux_2_joint ∆joint
0⋅m=0.02813 m
:= ux_3_joint ∆joint
3⋅m=0.02814 m
:= ux_4_joint ∆joint
6⋅m=0.01496 m
:= ϕ5_joint ∆joint
9⋅rad=−0.0051 :=
uy_2_joint ∆joint
1⋅m=0 m
:= uy_3_joint ∆joint
4⋅m=0.02637 m
:= uy_4_joint ∆joint
7⋅m=0 m :=
ϕ2_joint ∆joint
2⋅rad=−0.00703
:= ϕ3_joint ∆joint
5⋅rad=−0.00422
:= ϕ4_joint ∆joint
8⋅rad=−0.00475 :=
PASSO 13: Determinazione dei carichi nodali equivalenti a carichi distribuiti "nel sistema locale"
Carico applicato agli elementi 2 e 3:
qy 50 kN
⋅m :=
Elemento 1:
Fframe1_LOC 0 0 0 0 0 0
:=
Elemento 2:
Fframe2_LOC
0
−0.5⋅qy⋅L2 1 N
⋅
0 0
−0.5⋅qy⋅L2 1 N
⋅
0
0 125000
− 0 0 125000
− 0
= :=
