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Corso di Teoria dei Gruppi - a.a. 2009-2010

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Corso di Teoria dei Gruppi - a.a. 2009-2010 Esercizi 3

Sia G un gruppo abeliano. Indichiamo con b G l’insieme degli omomorfismi G → C

×

, dove C

×

` e il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli. Se α, β sono elementi di b G, poniamo αβ(g) = α(g)β(g) per ogni g ∈ G.

1. Mostrare che αβ ∈ b G.

2. Mostrare che con il prodotto appena definito b G ` e un gruppo abeliano.

Il gruppo b G si chiama gruppo duale di G.

3. Mostrare che, quando G ` e finito, α(g) ` e una radice dell’unit` a per ogni α ∈ b G e ogni g ∈ G.

4. Mostrare che, se G ` e ciclico di ordine d, anche b G ` e ciclico di ordine d.

5. Mostrare che, se G ` e finito, b G ` e isomorfo, in modo non canonico, a G.

Definiamo una applicazione ϕ : G → b G associando a g ∈ G l’omomorfismo ϕ b

g

: b G → C

×

definito da

ϕ

g

(α) = α(g) 6. Verificare che ϕ

g

` e un omomorfismo.

7. Mostrare che ϕ ` e un omomorfismo di gruppi.

8. Mostrare che, se G ` e finito, ϕ ` e un isomorfismo.

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