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Esercizio 2. Per quali valori del parametro a la retta in R

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Academic year: 2021

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Prima parte del Compito di MDAL 10 luglio 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis.

Esercizio 1. Dato un insieme X di 15 elementi, quante sono le funzioni f : X → X la cui immagine ha esattamente 2 elementi?

Esercizio 2. Per quali valori del parametro a la retta in R

2

di equazione 2x + ay contiene un vettore non nullo ortogonale a (4, 5)?

Esercizio 3. Per quanti valori di a ∈ Z il polinomio x

3

+ ax + 5 ` e riducibile in Q[x]?

Esercizio 4. Sia A la matrice

1 5 0 2



Trovare una matrice M tale che M

−1

AM sia in forma diagonale.

(2)

Esercizio 5. Determinare per quanti valori del parametro b, con 0 ≤ b < 315, il sistema di congruenze

( x ≡ 7 (mod 15) x ≡ b (mod 21)

`

e risolubile.

Esercizio 6. Sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale V sul campo C. Sapendo che T

2

= −I e che T non ` e un multiplo dell’identit` a, indicare quali fra i seguenti numeri sono autovalori di T :

1, 0, −1, 2, −2, ı, −ı, 2ı, −2ı, 1 + ı, 1 − ı

(3)

Seconda parte del Compito di MDAL 10 luglio 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis. Motivare in modo chiaro le risposte.

Esercizio 7. Bob sceglie i numeri primi p = 11, q = 19 e rende pubblico il

loro prodotto n = 209 e la chiave pubblica e = 53. Tramite l’algoritmo RSA,

Alice manda a Bob il messaggio cifrato c = 162 = m

53

mod 209. Quale ` e la

chiave privata d alla quale Bob deve elevare 162 modulo 209 per decriptare

il messaggio? Quale ` e il messaggio m?

(4)

Esercizio 8. Si consideri lo spazio R[x]

≤3

dei polinomi di grado minore o uguale a 3. Sia T : R[x]

≤3

→ R[x]

≤3

l’applicazione lineare definita da

T (p(x)) = p(x)

00

+ p(x)

0

+ xp(x)

0

∀p(x) ∈ R[x]

≤3

dove p(x)

0

indica la derivata prima e p(x)

00

indica la derivata seconda.

1. Determinare la matrice di T rispetto alla base 1, x, x

2

, x

3

. 2. Calcolare una base di Ker T e una base di Imm T .

3. Dire se T ` e diagonalizzabile e in tal caso trovare una base di R[x]

≤3

composta da autovettori per T .

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