Esercizio 1. Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi:

ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 10/12/2010

Esercizio 1. Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi:

i(2i − 3), (i − 1)(i + 1)(1 − 3i), 1 − i i − 1 .

Soluzione. Se z = a + ib è un numero complesso allora il suo modulo è |z| =

√

a ² + b ² . Quindi abbiamo

i(2i − 3) = −2 − 3i ⇒ |i(2i − 3)| = √

4 + 9 = √ 19, (i − 1)(i + 1)(1 − 3i) = −2(1 − 3i) = −2 + 6i

⇒ |(i − 1)(i + 1)(1 − 3i)| = √

4 + 36 = 2 √ 10, 1 − i

i − 1 = 1

1 − i = 1 + i

2 ⇒

1 − i i − 1

= r 1

2 + 1 2 =

√ 2 2 .

 Esercizio 2. Mettere nella forma ρ(cos θ + i sin θ) = ρe ^iθ i seguenti numeri com- plessi:

1 + i, 3 − 3i, i, 1 + i

1 − i , −i, 1 − i.

Soluzione. Per prima cosa dobbiamo calcolare il modulo del numero complesso (quello che chiamiamo ρ).

|i + 1| = √

2 ⇒ i + 1 = √ 2

√ 2 2 + i

√ 2 2

! . Dobbiamo quindi trovare un angolo θ tale che

cos θ =

√ 2

2 e sin θ =

√ 2 2 , ovvero θ = ^π ₄ . Quindi

1 + i = √ 2 

cos π

4 + i sin π 4



= √ 2e ⁱ

.

Nel secondo caso abbiamo che 3 − 3i = 3(1 − i) e 1 − i = 1 + i, quindi 1 − i = √

2e ⁱ

= √

2e ⁻ⁱ

⇒ 3 − 3i = 3(i − 1) = 3 √ 2e ⁻ⁱ

(in questo modo abbiamo anche calcolato l'espressione dell'ultimo numero comples- so). Si vede facilmente che i = e ⁱ

e quindi −i = i = e ⁻ⁱ

. Nell'ultimo numero rimasto otteniamo

1 + i 1 − i =

√ 2e ⁱ

√ 2e ⁻ⁱ

= e ⁱ (

⁺

) = e ⁱ

= i.

 Esercizio 3. Calcolare le seguenti radici complesse:

√ 1, √

i, √

−1, √

−i.

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2 ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 10/12/2010

Soluzione. Dato un numero complesso z = ρe ^iθ , le sue radici complesse sono z 1 = √

ρe ⁱ

e z 2 = √

ρe ⁱ (

^+π ) = √

ρe ⁱ

e ^iπ = − √

ρe ⁱ

= −z 1 . Dato che 1 = e ⁰ , le sue due radici complesse sono z 1 = e ⁰ = 1 e z 2 = e ^iπ = −1 . Nel caso di i = e ⁱ

si ottiene

z 1 = e ⁱ

=

√ 2 2 + i

√ 2

2 e z 2 = e ⁱ

^π = −

√ 2 2 − i

√ 2 2 . Nel terzo caso abbiamo −1 = e ^iπ , quindi

z 1 = e ⁱ

= i e z 2 = e ⁱ

^π = −i.

Inne −i = e ⁻ⁱ

, così z 1 = e ⁻ⁱ

=

√ 2 2 − i

√ 2

2 e z 2 = e ⁱ

^π = −

√ 2 2 + i

√ 2 2 .

 Esercizio 4. trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni:

z ³ = 1, z ³ = 2, z ³ = −1, z ³ = −2, z ⁴ = i, z ⁴ = −i.

Soluzione. Se abbiamo l'equazione z ⁿ = w , ponendo z = re ^iϕ e w = ρe ^iθ , è equivalente risolvere l'equazione r ⁿ e ^inϕ = ρe ^iθ , da cui segue che

r ⁿ = ρ ⇒ r = √

ρ,

nϕ = θ + 2kπ, k ∈ Z ⇒ ϕ = θ + 2kπ

n , k ∈ Z.

Quindi le soluzioni dell'equazione sono i numeri complessi z k = √

ρe ⁱ

, k = 0, . . . , n − 1

dove possiamo prendere k = 0, . . . , n − 1 dato che questi numeri si ripetono perio- dicamente. Per quanto detto le soluzioni di z ³ = 1 sono

z 0 = 1, z 1 = e ⁱ

^π = − 1 2 + i

√ 3

2 , z 2 = e ⁱ

^π = − 1 2 − i

√ 3 2 . Per z ³ = 2 abbiamo

z 0 = √

2, z 1 = √

2e ⁱ

^π = √

2 − 1

2 + i

√ 3 2

!

, z 2 = √

2e ⁱ

^π = √

2 − 1

2 − i

√ 3 2

! . Per z ³ = −1 le soluzioni sono

z 0 = e ⁱ

= 1 2 + i

√ 3

2 , z 1 = e ^iπ = −1, z 2 = e ⁱ

^π = 1 2 − i

√ 3 2 . Per z ³ = −2 abbiamo

z ₀ = √

2e ⁱ

= √

2 1

2 + i

√ 3 2

!

, z ₁ = √

2e ^iπ = − √

2, z ₂ = √

2e ⁱ

^π = √

2 1

2 − i

√ 3 2

! . Per le ultime due equazioni abbiamo le soluzioni

z k = e ⁱ (

^+k

), k = 0, 1, 2, 3 per l'equazione z ⁴ = i e

z _k = e ⁱ ( ⁻

^+k

), k = 0, 1, 2, 3

per l'equazione z ⁴ = −i . 

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Esercizio 5. Osservare che se il numero complesso z è una soluzione dell'equa- zione z ⁿ = 1 e w = ρe ^iϕ , allora il numero complesso y = √

ρe ⁱ

z è una soluzio- ne dell'equazione y ⁿ = w . Utilizzare questa osservazione per trovare le soluzioni dell'equazione z ⁴ = 1 + i .

Soluzione. Abbiamo che y ⁿ = ( √

ρe ⁱ

z) ⁿ = ρe ^iϕ z ⁿ = ρe ^iϕ = w.

Per quanto osservato, se scriviamo 1 + i = √

2e ⁱ

, allora le soluzioni di z ⁴ = 1 + i sono i numeri complessi

y k = √

2e ⁱ

z k , k = 0, 1, 2, 3 dove z k sono le soluzioni dell'equazione z ⁴ = 1 , ovvero

z k = e ⁱ

, k = 0, 1, 2, 3

così z 0 = 1, z 1 = i, z 2 = −1, z 3 = −i . 

Esercizio 6. Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni:

z ² + 2iz + 3 = 0, z ² − 2iz + 3 = 0.

Osservare che le soluzioni della prima equazione sono coniugate delle equazioni della seconda e dedurne una regola generale.

Dimostrazione. Usiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

Nella prima otteniamo

z 1,2 = −2i + √

−4 − 12

2 = −2i + 4 √

−1

2 = −i ± 2i, quindi z 1 = i e z 2 = −3i . Per la seconda equazione otteniamo

z 1,2 = 2i + √

−4 − 12

2 = 2i + 4 √

−1

2 = i ± 2i,

quindi z 1 = 3i e z 2 = −i . In generale, se α e β sono soluzioni dell'equazione z ² + az + b = 0 , allora sappiamo che

α + β = −a e αβ = b, quindi coniugando otteniamo

α + β = α + β = −a e αβ = αβ = b.

Ne segue che α e β risolvono l'equazione z ² + az + b = 0 .