Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali indeniti:

ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 12/11/2010

Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali indeniti:

Z x + 1 x

− x − 2 dx,

Z x

x

+ 2x + 1 dx,

Z x

x

+ x + 1 dx.

Soluzione.

Z x + 1 x

− x − 2 dx =

Z x + 1

(x + 1)(x − 2) dx =

Z 1

x − 2 dx = log |x − 2| + c, c ∈ R;

Z x

x

+ 2x + 1 dx =

Z x + 1 − 1 (x + 1)

dx =

Z 1

x + 1 dx −

Z 1

(x − 1)

dx =

= log |x + 1| + 1

x + 1 + c, c ∈ R;

Z x

x

+ x + 1 dx = 1 2

Z 2x

x

+ x + 1 dx = 1 2

Z 2x + 1 − 1 x

+ x + 1 dx =

= 1 2

Z 2x + 1

x

+ x + 1 dx − 1 2

Z 1

x

+ x + 1 dx =

= log(x

+ x + 1) − 1 2

Z 1

x

+ x + 1 dx.

Concentriamoci sul secondo termine:

Z 1

x

+ x + 1 dx = 4

Z 1

4x

+ 4x + 4 dx = 4

Z 1

(2x + 1)

+ 3 dx =

= 4 3

Z 1





+ 1

= 2

√ 3

Z

3





+ 1

=

= 2

√ 3 arctan  2x + 1

√ 3



+ c, c ∈ R, quindi

Z x

x

+ x + 1 dx = log(x

+ x + 1) − 1

√ 3 arctan  2x + 1

√ 3



+ c, c ∈ R.

 Esercizio 2. Calcolare il seguente integrale indenito

Z

x sin xdx.

Soluzione. Per calcolare l'integrale possiamo usare la formula di integrazione per parti. Ricordiamoci che si ottiene integrando la derivata del prodotto di due funzioni

(f g)

= f

g + f g

. Dunque integrando otteniamo

Z

f

g = f g − Z

f g

.

Prendiamo f

= sin x e g = x e sostituendo nella formula otteniamo Z

x sin xdx = −x cos x + Z

cos x = −x cos x + sin x + c, c ∈ R.

1

2 ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 12/11/2010

 Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali indeniti:

Z

cos

xdx, Z

cos

xdx, Z

log xdx.

Soluzione. Nel primo integrale possiamo abbassare la potenza della funzione inte- granda ricordando le identità trigonometriche

sin

x + cos

x = 1 e cos

x − sin

x = cos(2x).

Mettendole insieme otteniamo

cos

x = 1 − sin

x = 1 + cos(2x) − cos

x, quindi

cos

x = 1 + cos(2x)

2 .

Ne segue che Z

cos

xdx =

Z 1 + cos(2x)

2 dx = x

2 + 1 4 Z

2 cos(2x)dx = x 2 + 1

4 sin(2x) + c, c ∈ R.

Per il secondo usiamo ancora la prima identità trigonometrica:

Z

cos

xdx = Z

cos x(1 − sin

x)dx = sin x − Z

cos x sin

xdx =

= sin x − 1 3

Z

3 cos x sin

xdx = sin x − 1

3 sin

x + c, c ∈ R.

Per l'ultimo integrale usiamo nuovamente la formula di integrazione per parti con f

= 1 e g = log x e si ottiene

Z

log xdx = Z

1 · log xdx = x log x − Z

dx = x log x − x + c, c ∈ R.

 Esercizio 4 (BONUS!!). Calcolare il seguente integrale indenito

Z

tan xdx.

Soluzione. È più facile del previsto.

Z

tan xdx =

Z sin x

cos x dx = −

Z − sin x

cos x dx = − log | cos x| + c, c ∈ R,

poichè al numeratore abbiamo la derivata del denominatore.