Esercizio 1 Calcolare i seguenti integrali definiti:

Esercizio 1 Calcolare i seguenti integrali definiti:

• R π/4

0 e ^x cos x dx;

• R 1

0 x(2 + x ² )e ^x

dx;

• R 1

0 e ^x sin ² x dx;

• R 3

1 (x ² + 2) log x dx;

• R 3

1 (x + 3) log ² x dx;

• R 2 1

log x x dx;

• R π

0 cos x sin(sin x) dx;

• R 7

5 (3x ² + 2)e ^−x

^−2x dx;

• R π/4 0

2x 1−sin

x dx;

• R π/4

0 sin x tan ² x dx;

• R 1 0

p 1 + √ x dx.

Esercizio 2 Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

• R ₁

(2x

+12x+36)

dx;

• R ₁

x

−x−2 dx;

• R ₁

(1+x

)

dx;

• R _1+2e

e

−2e

+2 dx;

• R ₁

(25+x

−6x)

dx;

• R ₁

4+x

dx (Suggerimento: x ⁴ + 4 = (x ² + 2) ² − (2x) ² = . . . )

1

Esercizio 3 Calcolare i seguenti integrali:

• R 1 0

x

x

+x

+x+1 dx;

• R 2 0

1

x

+4x

+5x+2 dx (sugg.: il denominatore ` e multiplo di x + 1);

• R −1/2

−1

x

+1 x

−2x

+x

dx;

• R 1 0

1

x

+3x

+2 dx;

• R 2 1

x

x

+2x

+x

dx;

• R 2 1

1

x

−3x

+4x

−12x

+4x−12 dx (sugg.: raccogliere “a coppie” un fattore x − 3);

• R _x+2

(x

+6x+10)

dx;

• R _2x+5

(4x

+4x+3)

dx;

• R _5x

_+12x

_−3x+3

(x

+1)(x

−2x

+x−2) dx;

• R ₁

x(x

+1)

dx;

Esercizio 4 Calcolare i seguenti integrali:

• R ₁

√

x+ √

x dx;

• R 1 0

√

x+1+ √

x+1 1+ √

x+1 dx;

• R 64 1

√ x+ √

x

√

x( √

x+1)

x dx;

• R e

1

e

+e

+1 e

+2e

+1 dx;

• R √ _x

x

+x+

dx;

• R _x

√ −x

+x dx;

2

• R π/2

2π/3 (sin x) 3 + _tan(x/2) ^{sin x}
dx;

• R π/4 0

sin x

1−sin x (1 + tan ² (x/2)) dx;

• R π/2

0 sin ⁴ x dx;

• R _x

cos

x dx;

• R π/4

0 e ^{tan x} _2−sin

(2x)+2 cos(2x) ^sin

^x dx;

• R 1 0

√ 1

−x

+2x+1 dx;

• R ₁

x

√

1−x

dx;

• R ₁

x

√

1+x

dx;

• R 0

−1

√ 4x

−4x (x−

)

dx;

• R 2 1

√ 4x

−4x (x−

)

dx;

• R 2 sinh 1−3

−3

√ x ² + 6x + 13 dx.

Esercizio 5 Sia f (t) := (1 + |t|)e ^−|t| . Esibire la primitiva F (x) di f tale che lim _x→+∞ F (x) = 0. Trovata tale primitiva F , si calcoli lim _x→−∞ F (x).

(sugg.: una primitiva ` e sicuramente la funzione G(x) := R x

0 f (t)dt. Calcolare G(x) esaminando separatamente i casi x ≥ 0 e x < 0. Dopodich´ e, ricordare che due primitive differiscono per una costante.)

Esercizio 6 Sia f (t) := ¹

t

√

t

−1 . Esibire la primitiva F (x) di f sull’intervallo (1, +∞) tale che

x→+∞ lim F (x) = 0.

Mostrare che lim _x→1

F (x) = +∞.

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