TEOREMA DI FOURIER

APPUNTI DI ELETTRONICA - TEOREMA DI FOURIER - rel. 12/05 Prof. Domenico Di Stefano pag. 1/3

TEOREMA DI FOURIER

Esso afferma che una qualsiasi funzione periodica continua si può scomporre nella somma di un termine costante A

, che rappresenta il valore medio della funzione in un periodo, e di infinite sinusoidi di frequenza multipla della frequenza della funzione. La sinusoide con la stessa frequenza della funzione è detta fondamentale, le sinusoidi di frequenza multipla della fondamentale, armoniche. L'ampiezza delle armoniche è decrescente e tendente a zero con il crescere della frequenza. La successione delle ampiezze è denominata spettro.

Indicando con y(t) la funzione periodica di periodo T e pulsazione ϖ si ha:

Y = A

+ A

sen (ϖt + γ

) + A

sen (2ϖt + γ

) + A

sen (3ϖt + γ

) + + ……… + A

sen (nϖt + γ

)

Le formule precedenti forniscono ampiezza e fase di ogni armonica, nota che sia l'espressione matematica della funzione periodica. I calcoli delle funzioni più comuni sono ovviamente già stati fatti e si trovano in generale sui testi in forma di tabella.

E' interessante osservare quali conseguenze hanno sui coefficienti funzioni periodiche dotate di particolari caratteristiche:

• Se l'area dei valori positivi è uguale all'area dei valori negativi, nel periodo T, (grandezza alternata) il valore medio, A

,è nullo.

• Se la semionda negativa, ribaltata rispetto all'asse delle ascisse, è sovrapponibile alla semionda positiva, mediante traslazione, mancano tutte le armoniche pari.

• Se ciascuna semionda è dotata di un asse di simmetria verticale tutti gli angoli γ

sono zero.

• Se la semionda negativa, ribaltata rispetto all'asse delle ascisse, è simmetrica alla semionda positiva, mancano tutte le armoniche dispari.

A titolo di esempio, di seguito sono rappresentate le armoniche che compongono una

funzione alternata ad onda quadra con duty cicle del 50%.

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funzione somma delle due armoniche

1°

armonica

armonica

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Nel caso di una grandezza variabile non periodica, il teorema di Fourier dice che questa ta sara’ composta da un’ infinitita’ continua di sinusoidi contenute in genere in una banda di frequenze. Ad esempio di seguito si riportano alcuni esempi

Segnale rilevato dall’ orecchio banda da 20 Hz a 20 KHz

Segnale vocale banda da 400 Hz a 3.8 KHz

Segnale telefonico standard banda da 0 Hz a 4 KHz Segnale audio stereofonico banda da 20 Hz a 15 KHz

Segnale televisivo VHF banda 7 MHz

Segnale televisivo UHF banda 8 MHz

Ogni grandezza potra’ essere rappresentata sia nel dominio del tempo sia nel dominio

della frequenza, in quest’ ultimo caso il grafico avra’ in ascisse la frequenza delle

armoniche e in ordinate l’ ampiezza delle stesse, ogni armonica verra’ quindi

rappresentata con un segmento verticale.