Teorema di Fourier

Sezione Geotecnica

Serie e trasformate di Fourier

brevi richiami

Dott. Ing. Alberto Puliti

“Un qualsiasi segnale periodico x(t), con periodo T, sotto alcune condizioni matematiche (x limitata e monotona a tratti), può essere rappresentato dalla somma di funzioni sinusoidali pure di opportuna ampiezza e di frequenza multipla di f = 1/T (serie di Fourier).”

Teorema di Fourier

Fourier).”

In particolare, la serie di Fourier può essere espressa in tre diverse forme, tra loro equivalenti:

Forma trigonometrica “base” (in seni e coseni);

Forma trigonometrica in ampiezza e fase;

FORMA TRIGONOMETRICA BASE

Serie di Fourier

(((( )))) ∑ ∑ ∑ ∑

(((( ))))

====

++++

++++

====

1 n

n n

n n

o

a cos t b sin t

a t

x ω ωω ω ω ωω ω

con

(((( ))))

∫∫∫∫

====

T

0

n

n

x ( t ) cos t dt T

a 2 ωω ω ω ⁼⁼⁼⁼

∫∫∫∫ (((( ))))

0

n

n

x ( t ) sin t dt T

b 2 ω ωω ω

∫∫∫∫

====

T

0

o

x ( t ) dt T

a 1

3 3

T n

n

ω = ² π n = 1 , 2 , 3 ...

FORMA TRIGONOMETRICA IN AMPIEZZA E FASE

Serie di Fourier

( ) ∑

[ ( ) ]

=

+ +

=

1

sin

n

n n

n

o

c t

c t

x ω ϕ

ampiezza fase iniziale

con

2 2

n n

n

a b

c = + 





 

=



n n

n

b

1

a ϕ tan

a

c

=

=1 n

fase

FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA

Serie di Fourier

( ) ^∑

( )

−∞

=

⋅

=

n

t i n

e

c t

x

con

=

∫

=

⋅

=

T t

t

t i

n

x t e dt

c T

0

*

1 ( )

5 5

−∞

= n

...

3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ...

: − − −

∈ Z

n

FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA

Serie di Fourier

La scrittura nella forma esponenziale complessa, molto compatta, è utile perché semplifica notevolmente i calcoli. Essa deriva dalla formula di Eulero, che correla la rappresentazione esponenziale e trigonometrica dei numeri complessi:

α α

α

= cos + i ⋅ sin e

da cui

cos

α

α = ^e

^{+ e}

sin

α

α = − ⁱ ⋅ ^e

^{− e}

FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA

Serie di Fourier

Sostituendo nell’espressione trigonometrica “base”:

∑

=

− 



 



 − + +

+

=

1

0 2 2

) (

n

t n i

t n n i

n n a ib e n

ib e a a

t

x ^{ω ω}

posto:

* 0 0

c = a

2

* n n

n

ib c = a −

2

* n n

n

ib c

= a +

7 7

0 2 c =

n

2 c =

n

2 c

=

( )

∑

= ⋅ + − ⋅

+

=

1

*

*

*

) 0

(

n

t i n t

i n

n

n c e

e c c

t

x ^{ω ω}

si può scrivere:

e, raccogliendo:

∑

−∞

=

⋅

=

n

t i n

e n

c t

x( ) ^{* ω}

=

∫

=

⋅ −

=

T t

t

t i

n x t e dt

c T ⁿ

0

* 1 ( ) _ω

con (di nuovo sostituendo la formula di Eulero nelle espressioni di a₀, a_n e b_n, e quindi di c₀, c_n e c_n)

Spettri di Fourier

Il coefficiente c_n^* è un numero complesso, e, come tutti i numeri complessi, è dotato di un modulo e di un argomento.

Facendo riferimento alla rappresentazione grafica dei numeri complessi (in cui la parte reale è rappresentata sull’asse delle ascisse e quella immaginaria sull’asse delle ordinate), il modulo di un numero z=a+ib,

|z|, è la distanza della coppia (a,b) dall’origine, l’argomento arg(z)=θ è l’angolo che la congiungente il punto (a,b) con l’origine fa con l’asse delle ascisse positive, misurato in senso antiorario.

delle ascisse positive, misurato in senso antiorario.

Spettri di Fourier

c_n^* (e quindi il suo modulo e il suo argomento) può essere visto come una funzione di ω_n: al variare di n, e quindi di ω_n, esso assume valore diverso. Il grafico che descrive il valore di |c ^*| al variare di ω è detto

9 9

diverso. Il grafico che descrive il valore di |c_n^*| al variare di ω_n è detto spettro di Fourier delle ampiezze, il grafico che descrive il valore di arg(c_n^*) al variare di ω_n è detto spettro di Fourier delle fasi. Il primo dei due è quello che in genere ha il maggior interesse dal punto di vista applicativo, e ad esso si farà d’ora in poi riferimento quando si parlerà di “spettro”.

Spettri di Fourier

Se la funzione x(t) è un’armonica, la corrispondente serie di Fourier ha un solo termine diverso da 0, ed allo stesso modo il suo spettro è composto da un solo elemento.

Se la funzione x(t) è la somma di un numero finito di armoniche, la corrispondente serie di Fourier ha un numero finito di termini diverso da 0, ed allo stesso modo il suo spettro è composto da un numero finito di elementi.

finito di elementi.

Spettri di Fourier

Se la funzione x(t) non è una funzione trigonometrica, ma è periodica di periodo T, la corrispondente serie di Fourier ha un numero infinito di termini diverso da 0, ed allo stesso modo il suo spettro è composto da un numero infinito di elementi. Si tratta però di un’infinità numerabile, che dà luogo ad una spezzata.

11 11 Spettro di Fourier di un’onda quadra

Trasformata di Fourier

Se la funzione x(t) non è una funzione trigonometrica, e non è neanche periodica, ma è soltanto definita su tutto l’asse reale (eventualmente con valore nullo al di fuori di un certo intervallo), si definisce trasformata di Fourier la funzione:

+∞

∫

∞

−

⋅ −

= x t e dt x⁾⁽

ω

Questa funzione ha forma analoga a quella dei coefficienti c_n^*, ed Questa funzione ha forma analoga a quella dei coefficienti c_n^*, ed anche lo stesso significato matematico. In questo caso, però, il parametro di frequenza ω non assume una infinità numerabile di valori, ma un’infinità continua. Di conseguenza, anche gli spettri di Fourier delle ampiezze e delle fasi (rispettivamente e ) non sono più funzioni discrete, ma continue, definite su tutto l’asse reale.

Si può passare, con procedimento opposto, da a x(t), eseguendo l’antitrasformata di Fourier:

) (

ω

x) ^arg

(

ω

)

) (

ω

Trasformata di Fourier

13 13 Spettro di Fourier di un

segnale irregolare aperiodico

Trasformata di Fourier discreta

Un terremoto è un segnale non periodico. Se ne può dunque definire la trasformata di Fourier. Tuttavia, per la sua elaborazione, il segnale, che è continuo, viene discretizzato, perché viene campionato in un numero finito di punti (di istanti temporali), t_k, tra loro distanti ∆t. L’operazione di integrale si trasforma così in un’operazione di sommatoria.

∑

⋅ −

∆

= ^N

k

t i k

n

k

e n

t x t x

1

) ( )

(

ω

) Trasformata di

Fourier discreta n

n⋅∆ =

= ω π

ω ²

=

k 1 Fourier discreta

∑

⋅

∆

= ^N

n

t i n k

k

e n

x t

x

1

) ( )

(

ω ω

Il fatto che i punti di campionamento siano in numero finito (N) fa sì che si possa analizzare soltanto un intervallo limitato di frequenze.

D’altra parte, è sufficiente fare riferimento al campo di interesse (sia per quanto riguarda la frequenza fondamentale del terremoto sia per

t N n n

n = ⋅∆

ω

π

ω

Trasformata Veloce di Fourier (FFT)

Eseguire la trasformata di Fourier discreta applicando le formule precedenti comporta un costo computazionale elevato. Per questo, si utilizza un algoritmo diverso, detto Trasformata Veloce di Fourier (FFT – Fast Fourier Transform; Cooley & Tuckey, 1965).

15 15

Per applicarla è necessario che i punti campionati siano in numero pari ad una potenza di 2. Per questo motivo, occorre, dopo il termine del segnale, aggiungere, con passo analogo a quello di campionamento, punti con ordinata nulla, fino ad ottenere una quantità totale pari alla prima potenza di 2 superiore al numero di punti campionati del segnale. Questo “rumore bianco” serve anche per ridurre al minimo l’approssimazione indotta dalla discretizzazione.

Frequenza di Nyquist

Per quanto riguarda il passo di campionamento, esso deve essere scelto con attenzione. Il Teorema di Nyquist stabilisce infatti che “ogni componente in frequenza del segnale che sia significativa deve essere campionata da almeno due punti per periodo”. In caso contrario, si può avere una perdita e una alterazione delle informazioni contenute nel segnale. In particolare, se il passo di campionamento temporale non è sufficiente per una descrizione corretta delle frequenze più elevate, sufficiente per una descrizione corretta delle frequenze più elevate, queste subiscono il cosiddetto fenomeno di aliasing, ovvero vengono

“scambiate” con frequenze più basse.

Di conseguenza, detta f_c la massima frequenza significativa contenuta nel segnale, questa deve essere legata al passo di campionamento ∆t dalla disequazione:

f_c t

∆

≥ ⋅ 2

1

Frequenza di Nyquist

Campionamento insufficiente del segnale originario (a tratto continuo) e conseguente aliasing con un segnale a frequenza inferiore (a tratteggio)

17 17 Campionamento adeguato del segnale

(3 punti per periodo)