Esercizio 1 Sia f una funzione continua e periodica di periodo 2π, e sia G(x) =

ANALISI MATEMATICA I (2008/09) Prova scritta del 20 luglio 2009

Esercizio 1 Sia f una funzione continua e periodica di periodo 2π, e sia G(x) =

Z x 0

f (t)dt ; dimostrare che G ` e periodica se e solo se R π

−π f (t)dt = 0.

Esercizio 2 Studiare convergenza puntuale e uniforme in A = [0, 1] della successione di funzioni f _n (x) = n log 

1 + x n



; cosa cambia se l’insieme A viene sostituito da B = [0, ∞]?

Esercizio 3 i) Discutere la convergenza della serie

∞

X

n=1

(n + 2 ⁿ )(x − 1) ⁿ . ii) Calcolare la somma della serie

∞

X

n=1

n(x − 1) ⁿ .

Esercizio 4 i) Calcolare l’integrale indefinito Z tan x

1 + cos x dx . ii) Dire se converge l’integrale improprio

Z π/2 0

tan x 1 + cos x dx .

Esercizio 5 Si consideri l’equazione differenziale y ⁰⁰ − y ⁰ + α(1 − α)y = e ^x . Determinarne al variare del parametro α ∈ R l’integrale generale.

(Si osservi che le radici del polinomio caratteristico sono proprio α e 1 − α)

Esercizio 6 i) Dire se la funzione

f (x, y) = x ² e ^y ye ^x , ammette limite nell’origine, giustificando la risposta.

ii) Dire se f ` e limitata nel dominio di definizione.

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SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

Esercizio 1 i) Se G ` e 2π-periodica, allora essendo una primitiva di f , Z π

−π

f (t)dt = G(π) − G(−π) = 0 . Viceversa se vale la relazione precedente, per ogni x ∈ R si ha

G(x + 2π) =

Z x+2π 0

f (t)dt = G(x) +

Z x+2π x

f (t)dt = G(x) + Z π

−π

f (t)dt = G(x) ,

per le propriet` a delle funzioni 2π-periodiche come f di avere integrale invariante su intervalli di ampiezza 2π, e quindi G(x) sar` a 2π-periodica.

Esercizio 2 Per ogni x ∈ [0, 1], per la continuit` a della funzione logaritmo,

n→∞ lim n log  1 + x

n



= log h

n→∞ lim

 1 + x

n

 n i

= log e ^x = x ;

quindi la successione converge puntualmente alla funzione f (x) = x. La convergenza ` e anche uniforme. Infatti, detta g(x) = x − n log(1 + x/n), si ha che

g(0) = 0, g ⁰ (x) = x

n + x ≥ 0 in A , per cui g ` e positiva e crescente in A e

sup

x∈A

|f _n (x) − f (x)| = sup

x∈A

|g(x)| = 1 − n log(1 + 1/n) → 0 per n → ∞ . La convergenza non sar` a invece uniforme in B in quanto:

sup

x∈B

|g(x)| = lim

x→∞ g(x) = +∞ ∀n ∈ N .

Esercizio 3 i) ` E una serie di potenze di centro x 0 = 1. Il raggio di convergenza sar` a dato dal limite

n→∞ lim

n + 2 ⁿ

n + 1 + 2 ⁿ⁺¹ = 1 2 ;

La serie converger` a quindi assolutamente nell’insieme |x − 1| < 1/2, cio` e nell’intervallo (1/2, 3/2);

agli estremi non c’` e invece convergenza come si verifica facilmente.

ii) La serie data si pu` o scrivere

∞

X

n=1

n(x−1) ⁿ = (x−1)

∞

X

n=1

n(x−1) ⁿ⁻¹ = (x−1)D

∞

X

n=0

(x − 1) ⁿ

!

= (x−1)D

 1 2 − x



= x − 1 (2 − x) ² .

Esercizio 4 i)

Z tan x

1 + cos x dx = −

Z d(cos x)

cos x(1 + cos x) = −

Z dt

t(1 + t) =

Z dt 1 + t −

Z dt t



=

= log    

1 + t t

   

+ c = log    

1 + cos x cos x

   

+ c.

ii) Z _π/2

0

tan x

1 + cos x dx = lim

x→π/2

⁻



log  1 + cos x cos x



− log 2



= +∞ ,

e l’integrale improprio diverge.

Esercizio 5 Il polinomio caratteristico associato all’equazione omogenea ha soluzioni λ ₁ = α e λ ₂ = 1 − α. Bisogna quindi distinguere il caso in cui le due radici sono distinte da quello in cui sono coincidenti (α = 1 − α per α = 1/2). Inoltre per determinare la soluzione particolare della non omogenea, bisogna distinguere il caso in cui una delle due radici ` e uguale a 1 (α = 0 oppure α = 1) in cui la cercheremo della forma y <sup>∗</sup> (x) = Axe <sup>x</sup> da tutti gli altri dove baster` a cercarla della forma y ^∗ (x) = Be ^x . I facili conti danno A = 1 e B = 1/[α(1 − α)]. Ricapitolando avremo i seguenti casi:

• α 6= 0, 1/2, 1 :

y(x) = c 1 e ^αx + c 2 e ^(1−α)x + e ^x α(1 − α) ;

• α = 0 oppure α = 1 :

y(x) = c 1 + c 2 e ^x + xe ^x ;

• α = 1/2 (e quindi B = 4) :

y(x) = c ₁ e ^x/2 + c ₂ xe ^x/2 + 4e ^x .

Esercizio 6 La funzione data ` e definita in tutto il piano tranne che lungo l’asse x (i punti dove y = 0). Lungo una qualunque retta per l’origine (escluso appunto l’asse x) il limite esiste e vale zero. Infatti

x→0 lim f (x, mx) = lim

x→0

xe ^mx

me ^x = 0 , ∀m 6= 0

e banalmente la funzione ` e nulla in tutti i punti dell’asse y. Per` o se consideriamo ad esempio la parabola di equazione y = x ² avremo

x→0 lim f (x, x ² ) = lim

x→0

e ^x

²

e ^x = 1 , per cui il limite richiesto non esiste.

ii) La funzione non ` e chiaramente limitata nel suo insieme di definizione in quanto ad esempio lungo ogni retta x = x 0 6= 0 si ha

lim

y→0

⁺

f (x 0 , y) = +∞ , lim

y→0

⁻

f (x 0 , y) = −∞ .