Problema 1: (a) Determinare la soluzione generale dell’equazione y

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 30/09/2010

A.A. 2010/2011

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Determinare la soluzione generale dell’equazione y

− y

− 2y = sin x − x.

(b) Trovare l’integrale generale dell’equazione xy

+ 2y

+ xy = 0, sapendo che y(x) = cos x

x `e una soluzione soluzione (si utilizzi il metodo della riduzione dell’ordine).

Problema 2: Dato il campo vettoriale

F (x, y, z) = (xf (z), zg(y), z

(y + 1))

determinare f, g ∈ C

(R) in modo che il flusso del campo F uscente da un qualsiasi dominio regolare sia nullo.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale Z

R

sin x 2 + x

dx.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione

f (x) =

 



 

0, x ∈ [−π, −

), 1, x ∈ [−

,

], 0, x ∈ (

, π).

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X

1 2n + 1 ,

X

1 (2n + 1)

.

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange: enunciato e dimostrazione.

Tema 2: Singolarit`a isolate di funzioni olomorfe: classificazione ed esempi.