1. Si consideri l’applicazione f di R

ESERCIZI Geometria 1 – III Foglio Applicazioni lineari.

1. Si consideri l’applicazione f di R

in R

definita da f (s, t) = (2s + t, s − t, s + t, s + 2t).

a) Si mostri che f ` e lineare;

b) si determini Ker(f );

c) si trovi una base di Im(f ).

2. Si consideri l’applicazione f : R

→ R

definita da f (r, s, t) = (r + s + t, 2r − s).

a) Si mostri che f ` e lineare;

b) si determini Ker(f );

c) mostrare che esiste e esibire v ∈ R

tale che f

((1, 2)) = v + w|w ∈ Ker(f ) ;

d) mostrare che per ogni (a, b) ∈ R

, esiste v ∈ R

, tale che f

((a, b)) = v + w|w ∈ Ker(f ) . 3. Si determini quali delle seguenti applicazioni ` e lineare:

a)f : R

→ R

, f (x, y, z) = (x + y, z − 2);

b)f : R

→ R

, f (x, y, z) = (x, y − 1, z);

c)f : R

→ R

, f (x, y) = (x, y

);

d)f : R

→ R, f(x, y) = xy

e per le applicazioni che sono lineari si determini il nucleo e l’immagine.

4. Sia f : R

→ R

l’applicazione lineare f := L

corrispondente alla moltiplicazione per la matrice

A :=





1 1 1

−1 0 1

1 2 3



 .

(a) Determinare nucleo ed immagine di f . Calcolarne delle basi.

(b) Verificare se R

= Ker(f ) ⊕ Im(f ).

5. Si consideri la matrice

A :=









3 −1 −1 0

1 0 −1 1

−2 1 0 1

−2 1 0 1









Sia f : R

→ R

l’applicazione lineare f := L

corrispondente alla moltiplicazione per la matrice A a) Calcolare il nucleo Ker(f ) e l’immagine Im(f ) di f .

b) Verificare se Ker(f ) e Im(f ) sono in somma diretta.

c)(Facoltativo) Sia g : C

→ C

l’applicazione lineare che ha A come matrice associata rispetto alla base canonica di C

. Dire se il vettore







 i

−1

−1 − i

−1 − i









`

e nell’immagine di g.

6. Sia V = R[X]

lo spazio vettoriale su R dei polinomi di grado ≤ 4. Sia d : V → V la derivazione.

Determinare nucleo ed immagine di d. Dire se V ` e somma diretta di Ker(d) e Im(d).

7. (Esercizio 3.5 dell’ Eserciziario) Considerato C come spazio vettoriale su R, si studi l’iniettivit`a e la suriettivit` a di un’applicazione lineare non nulla f : R → C. Stessa domanda con g : C → R lineare non nulla.

1

2

8. Sia V uno spazio vettoriale su R di dimensione 3 e base v

, v

, v

. Sia φ

: V → V l’applicazione lineare definita da

φ

(v

) = (λ − 1)v

+ 2v

− (λ + 1)v

, φ

(v

) = 2v

− λv

, φ

(v

) = −λv

− v

+ (λ + 2)v

al variare di λ ∈ R

a) determinare immagine e nucleo di φ

al variare di λ;

b) per quali valori di λ l’immagine dell’applicazione φ

contiene il vettore v

+ 2v

+ 2v

?

c) ` e vero che V ` e il pi` u piccolo sottospazio contenente l’unione dei nuclei di φ

al variare di λ ∈ R?

9. Si consideri l’applicazione Tr : M

(IK) → IK definita da Tr (A) = a

+ a

+ . . . + a

.

Tr (A) ` e detta traccia di A. Si provi che Tr ` e un’applicazione lineare e che vale la relazione Tr (AB) = Tr (BA).

10. Per ognuna delle seguenti condizioni, definire se possibile un’ applicazione lineare R

→ R

(non nulla e) che la verifichi:

a) nucleo e immagine coincidano;

b) il nucleo contenga l’immagine;

c) il nucleo sia non nullo e contenuto nell’immagine;

d) nucleo e immagine siano complementari;

e) il nucleo sia diverso dall’immagine e la somma dei due non sia diretta.

f) Stesso problema nel caso di applicazioni lineari di R

in R

.

11. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia f un endomorfismo di V . a) Si provi che V = Kerf ⊕ Im f se e solo se Kerf = Kerf

.

b) Si trovi un endomorfismo f di R

non iniettivo tale che f 6= 0, f 6= f

e Kerf = Kerf

.