Prof. Mauro La Barbera1

(1)

FORME DI INDECISIONE

Nel calcolo dei limiti si presentano a volte delle forme che a priori non permettono di stabilire il risultato, esse vengono chiamate forme di indecisione o indeterminate. Le forme indeterminate sono sette:

∞

0

0 ^+∞−∞ ^{0 ∙ ∞} 0⁰ 1^∞ ∞⁰

Esempio n°1 lim

x →+∞

2 x²−4 x²+x =∞

∞

Per calcolare il limite si può raccogliere a fattor comune la x al massimo grado sia a numeratore che a denominatore, cioè

−¿

2 x²−4 x²+x =lim

x→+ ∞

x²

(

²⁻x⁴²

)

x²

(

¹⁺¹x

)

^=¿²

¿

lim

x →+∞

¿

Si è applicata la regola che il +¿

lim

x →+∞

1 x=0^¿

Esempio n°2 lim

x→ 2

x²−4 x³−8=0

0

Per calcolare il limite si possono scomporre sia il numeratore sia il denominatore, cioè

lim

x→ 2

x²−4 x³−8=lim

x →2

( x−2) ( x+2 ) ( x−2)

(

x²+2 x +4

)

⁼

4 12=1

3

(2)

Esempio n°3 x → 0^−¿

(

^1−xx² +1

x

)

⁼⁺^∞−∞

lim

¿

Per calcolare il limite si può fare il minimo comune multiplo e scriverlo nel seguente modo

x →0^−¿ 1 x²=+∞

x → 0^−¿1−x +x x² =lim

¿

¿ lim

¿ ¿

Si è applicata la regola che il x → 0^−¿1

x=−∞

lim

¿ ¿

Esempio n°4 lim

x →−1

(

x²+4 x+3

)

^{x +3}

x +1=0 ∙ ∞

Per calcolare il limite si può scomporre il trinomio notevole x²+4 x +3 , nel seguente modo

x²+4 x +3=(x +1) ( x+3 ) pertanto si ottiene

(x²+4 x +3)^{x +3}

x+1=lim

x →−1(x +1) (x +3)^x+3 x+1=lim

x →−1¿(x+3)²=4 lim

x→−1¿

(3)

Esempio n°5

x → 0^+¿x^x=0⁰ lim¿ ¿

Sapendo che esistono le seguenti uguaglianze

x^x=e^{ln x}^x=e^{xln x}=e

ln x 1 x

Il limite dato si può scrivere nel seguente modo lim

x→ 0^+¿ln x 1 x

¿

lim

x → 0^+¿e ln x

1 x ¿=e^¿ x^x=¿

x → 0^+¿¿ lim

¿ ¿

Si calcola a parte il limite

x → 0^+¿ln x 1 x

=∞

∞ lim¿ ¿ Applicando il Teorema di De L’Hôpital si ottiene

(4)

x → 0^+¿(−x )=0 x → 0^+¿ 1

−1 x

=lim

¿

x → 0^+¿

1 x

−1 x²

=lim

¿

x → 0^+¿ln x 1 x

¿^Hlim

¿

lim¿ ¿

Pertanto

x → 0^+¿x^x=e⁰=1 lim

¿ ¿

Esempio n°6 lim

x →+∞

(

^2+xx

)

^x⁼¹^∞

Il limite dato si può scrivere nel seguente modo

x →+∞lim

(

²x+1

)

^x⁼x→+ ∞^lim

(

¹⁺²x

)

^x

(5)

x →+∞lim

(

¹⁺^αx

)

^x⁼^e^α

Si ha che

lim

x →+∞

(

^2+xx

)

^x⁼x →+∞^lim

(

¹⁺²x

)

^x^=e²

Esempio n°7 lim

x →+∞x

1 x=∞⁰

Sapendo che esistono le seguenti uguaglianze x

1 x=e^{ln x}

1

x=e

1 xln x

=e

lnx x

Il limite dato si può scrivere nel seguente modo

lim

x →+∞x

1 x=lim

x →+∞e

ln x x =e

lim

x→+ ∞ln x x

Si calcola a parte il limite

lim

x →+∞

ln x x =∞

∞ Applicando il Teorema di De L’Hôpital si ha

x →+∞lim ln x

x ¿^H lim

x →+∞

1 x 1=lim

x →+∞

1 x=0 Cioè

lim

x →+∞x

1

x=e⁰=1