RIEPILOGO SUL CALCOLO DEI LIMITI Fatta eccezione per le forme di indeterminazione, il calcolo dei limiti di funzioni numeriche si può effettuare ricorrendo a:  conoscenza delle funzioni elementari (grafico e loro proprietà)

RIEPILOGO SUL CALCOLO DEI LIMITI

Fatta eccezione per le forme di indeterminazione, il calcolo dei limiti di funzioni numeriche si può effettuare ricorrendo a:

 conoscenza delle funzioni elementari (grafico e loro proprietà)

 riconoscimento della continuità di una funzione

 teorema sulle operazioni con i limiti (tabella relativa ai limiti di funzioni somma, differenza, prodotto e quoziente)

 In certi casi, le forme di indeterminazione si possono superare ricorrendo ad opportuni strumenti (vedi esercizi)

ESERCIZI: CALCOLO DEI LIMITI A) I limiti del tipo limf(x)

x0

x , quando è possibile stabilire che la funzione f è continua in x0, possono essere calcolati tenendo presente che, in tal caso, si ha: limf(x) f(x₀)

x

x ₀ 



Esempi

) x 1 ln(

) x ( arctg

lim ₂

1

x^  ]

2 ln [4π

³

0

x cosx

tgx lim 1

 [ 1]

)]

e x 2 ln[ln(

lim

e

x 

 [0] lim (3^x x³ 2x² x 6)

2

x    

 [5]

B) Se si devono calcolare limiti per x, oppure limiti del tipo lim f(x)

x0

x ^ , limf(x)

x0

x ^ , limf(x)

x0

x

nel caso in cui f non è definita in x0 , oppure si presenti in una forma indeterminata, possono sorgere difficoltà. In questi casi è molto utile trarre profitto dalla conoscenza dei grafici delle funzioni elementari

Esempi

1 2 x (x 1)

x lim 2





 ₃

x

5

x (x 5)

lim e



 limln(x 5)

5

x _ 



x cos lim 1

2) (

xπ ^{ x2}

xlim e^





x ) 1 x 2 1 ln(

lim

x  



 [+]; lim(cotgx lnx)

0

x _ 

 [+];

x) arctg1 x

(cos lim

0 x

 

 [1+ ] ³

x x 3

lim 2





 [0]

C) Se si presentano forme indeterminate, è opportuno tenere presente che, talvolta, mediante un’adeguata trasformazione dell’espressione analitica della funzione, si può eliminare la forma indeterminata che in essa compare.

Caso funzioni polinomiali: quando per x, si presenta la forma di indeterminazione + -, la trasformazione da fare, prima del calcolo del limite è la seguente:

x ) ... a x a a ( x a ...

x a x a ) x (

f  ₀ ⁿ  ₁ ^n1  _n  ⁿ ₀ ¹   _nⁿ

Caso funzioni razionali (cioè quozienti di due funzioni polinomiali): la procedura da seguire è quella sopra indicata sia per il polinomio al numeratore che per quello al denominatore, poi si semplificano le potenze di x evidenziate, infine si passa al calcolo del limite.

) 1 x 5 x 4 x 2 x (

lim ^{4 3 2}

x     



 [-]

6 x 2 x 3

2

lim ₃ x ₂

x  





 [0]

1 x x 2

2 lim x₂

4

x  







[+]

Uso del limite notevole: 1

x limsenx

0

x 



x lim tgx

x0 [1] ; ₂

0

x x

x cos lim1

 [

2

1] ;

) x cos 1 ( x

x lim sen

2

0

x^  [0]

ALTRI ESERCIZI

Continuità e discontinuità di una funzione

1. Determinare il numero reale a affinché la funzione f sia continua su tutto R:









 

0 x se a x

0 x se ) e

x (

f ₃

ax

2. Spiegare perché le seguenti funzioni sono discontinue nel punto a = 1:









 



1 x se 2

1 x se 1 x

1 )

x (

f









 

1 x se x -

4

1 x se x

) 1 x ( g

2

Studio iniziale di funzione

3. Determinare dominio, segno ed intersezione con gli assi, limiti delle funzioni seguenti:

) 3 x ( ln ) x (

f  ² 

1 x g(x) ₂x

  h(x) = ^{x 1}

1

e ^

4. Determinare i seguenti limiti, dopo aver prima disegnato i grafici delle funzioni considerate:











 _{  }



 

 





 ) lim x lim tgx limlog x limlog x 3

(1

lim ₅

0 x 5

0 1 x x 2

x x

x π













    





 2 lim x lim arctgx lim^log x lim ln( x)

lim 10 x

0 x x

3 x x

x