Roma, 4 ottobre 2013 Esercitazioni di algebra 1 (Damiani) 1a lezione 1) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e scrivere la loro negazione:
i) ∃n ∈ Z tale che 2|n;
ii) ∀n ∈ Z 2|n;
iii) ∃x ∈ Z tale che 2x sia pari;
iv) ∃n ∈ Z tale che n2 = n;
v) ∀n ∈ Z n2 = n;
vi) ∃n ∈ Z tale che n2 = n + 1;
vii) ∀n ∈ Z n2 = n + 1;
viii) ∀n ∈ Z ∃m ∈ Z tale che n + m = 0;
ix) ∃n ∈ Z tale che ∀m ∈ Z n + m = 0;
x) ∃n ∈ Z tale che ∃m ∈ Z tale che n + m = 0;
xi) 2|6 e 3|6;
xii) 2|6 oppure 3|6;
xiii) ∀n ∈ Z si ha n + 1 ∈ Z e 2|n;
xiv) ∀n ∈ Z si ha n + 1 ∈ Z oppure 2|n.
2) Osservare che P ⇒ Q significa −(P e − Q); dedurre che P ⇒ Q equivale e
−Q ⇒ −P (dimostrazioni per assurdo).
3) Sia n ∈ Z; n si dice primo (o irriducibile) se n 6= ±1 e a|n ⇒ a = ±1 oppure a= ±n.
i) Dimostrare che n `e primo (o irriducibile) se e solo se n non `e invertibile e n= ab ⇒ a invertibile oppure b invertibile;
ii) dimostrare che n `e primo se e solo se −n `e primo;
iii) dimostrare che esistono numeri primi e numeri non primi (diversi da ±1);
iv) dire se 0 `e primo;
v) sia n > 0; dimostrare che n non `e primo se e solo se ∃a, b ∈ Z tali che 1 < a, b < n e ab = n;
vi) sia n 6= 0, ±1; dimostrare che ∃p ∈ Z primo tale che p|n;
vii) dimostrare che esistono infiniti numeri primi.
4) Sia (N, 0, σ) l’insieme dei numeri naturali, cio`e siano N un insieme, 0 ∈ N, σ : N → N con le seguenti propriet`a:
0 6∈ Im(σ), σ iniettiva,
0 ∈ U ⊆ N, (k ∈ U ⇒ σ(k) ∈ U ) ⇒ U = N.
Dimostrare che Im(σ) = N \ {0}.
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