(1)Pisa, 8 Gennaio 1999 • Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa La soluzione della disequazione √ x + 1 <√ x + 4 `e tutto R 2 2 sinh(3x + 2

Pisa, 8 Gennaio 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

La soluzione della disequazione √

x + 1 <√

x + 4 `e tutto R 2 2

sinh(3x + 2) = sinh(2x + 3) =⇒ x = 1 2 2

La soluzione della disequazione arccos(cos(2|x| + 1)) ≤ 4 `e tutto R 2 2

| cos 2x| = |x| non ha soluzioni reali 2 2

| cos 2x| = |x|¹⁹⁹⁹ ha infinite soluzioni reali 2 2

Esiste min{e^x2 : x ∈ R} 2 2

Esiste min{e^x3 : x ∈ R} 2 2

x|x − 1| `e derivabile in x = 0 2 2

0 ≤ a_n≤ b_n ∀n ∈ N e P b_n converge =⇒ P a_n converge 2 2 0 ≤ a_n≤ b_n ∀n ∈ N e P bn diverge =⇒ P an diverge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

e^2x− 1

x = . . . lim

x→0⁻

e^2x− 1

x = . . . lim

x→1

e^2x− 1

x = . . . .

max {x ∈ [0, 100] : x³− 10x ≥ 2} = . . . .

max {sin x : x ∈ [2, 6[} = . . . .

sup {y ∈ R : sin 2x > 3y ∀x ∈ R} = . . . .

Pisa, 11 Gennaio 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

La soluzione della disequazione √⁴

x²+ 1 < √⁴

x²+ 4 `e tutto R 2 2

cosh(3x + 2) = cosh(2x + 3) =⇒ x = 1 2 2

|x + 1| = |x + 2| non ha soluzioni reali 2 2

a_n → 1 =⇒ sin a_n ha limite reale 2 2

sin a_n→ 0 =⇒ a_n ha limite (finito o infinito) 2 2

Esiste max{cos e^x: x ∈ R} 2 2

cos(sin x) + e^x `e uniformemente continua in ]10, 100] 2 2

e^x|x − 2π| sin x `e derivabile su tutto R 2 2

a_n ≤ b_n ≤ 0 ∀n ∈ N eP b_n converge =⇒ P a_n converge 2 2

{n²a_n} → 0 =⇒ P an converge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→−π⁺

x

sin 3x = . . . lim

x→0⁺

x

sin 3x = . . . lim

x→3π

x

sin 3x = . . . .

min {x²− 5x + 4 : x ∈ [0, 2]} = . . . .

sup {α ∈ R : 2x²+ 3αx + α non ha radici reali} = . . . .

sup



α ∈ R : Z 1

0

sin x

x^α dx converge



= . . . .

Pisa, 1 Febbraio 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

√x⁹ + 2 ≥ x⁴+ 2 ⇐⇒ x⁹+ 2 ≥ (x⁴+ 2)² 2 2

tan(5x + 4) = tan(4x + 5) =⇒ x = 1 2 2

La disequazione arccos(2x + 1) ≤ 4 ha come soluzione tutto R 2 2

a_n+8→ 8 =⇒ a_n→ 8 2 2

(1 − |x|)² `e derivabile su tutto R 2 2

| cos x| = 4^−x non ha soluzioni reali 2 2

sin x `e monotona in ]1, 3] 2 2

√x − sin√

x = o(x) per x → 0⁺ 2 2

{√

n a_n} → +∞ =⇒P a_n converge 2 2

{√

n a_n} → 0 =⇒ P an converge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→0lim ln |x|

x − 1 = . . . lim

x→1⁺

ln |x|

x − 1 = . . . lim

x→+∞

ln |x|

x − 1 = . . . .

sup {x ∈ R : e^x+ x sin x ≥ 1999} = . . . .

min {|n² − 19| − 4 : n ∈ N} = . . . .

inf



α ∈ R :

Z +∞

4x + 5

x^3α+ 7dx converge



= . . . .

Pisa, 15 Febbraio 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

A ⊆ R e sup A = 3 =⇒ 2 ∈ A 2 2

A ⊆ R e sup A = 3 =⇒ 3 6∈ A 2 2

arctan 2^x = arctan x² ⇐⇒ 2^x = x² 2 2

|2x + 1| = |x − 1| =⇒ x = −2 2 2

x = o(sin x ln x) per x → 0⁺ 2 2

a⁴_n→ 1 =⇒ a_n ha limite reale 2 2 Esiste min{8x⁸− 6x⁶− 4x⁴− 2x² : x ∈ R} 2 2

| sin³x| `e derivabile su tutto R 2 2 {2ⁿa_n} → 3 =⇒ P a_n converge 2 2

P an converge =⇒ cosh a_n → 1 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

1 − cos x

x² = . . . lim

x→0⁺

1 − cos x

x² = . . . lim

x→^π₃

1 − cos x

x² = . . . .

sup



x ∈ R : x²+ 4 x²− 1 ≤ 0



= . . . .

inf {α ∈ R : 4x − x² ≤ α ∀x ∈ R} = . . . .

max



α ∈ R :

Z +∞

0

1

x²+ x^2αdx converge



= . . . .

Pisa, 31 Maggio 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

La soluzione della disequazione |x − 1| < |x − 4| `e tutto R 2 2

ln(2x + 3) = ln(3x + 2) =⇒ x = 1 2 2

cos x ≤ cosh x per ogni x ∈ R 2 2

| sin x| = x⁸ ha esattamente una soluzione reale 2 2

{3a³_n+ 5} → 29 =⇒ a_n→ 2 2 2

Esiste max {ln(3 + arctan(sin x)) : x ∈ R} 2 2

x − sin x = o(x³) per x → 0 2 2

|x sin x| `e derivabile in x = 0 2 2

P a_n converge =⇒ P |a_n| converge 2 2

na_n→ 1999 =⇒ P a²_n converge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0⁺

ln x

x = . . . lim

x→1⁻

ln x

x = . . . lim

x→+∞

ln x

x = . . . .

maxx ∈ R : x² ≤ 8x = . . . .

sup {|x²− 8x| : x ∈ [5, 9[} = . . . .

inf



α ∈ R :

Z 1 x^α

sin xdx converge



= . . . .

Pisa, 21 Giugno 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

La soluzione della disequazione |x⁴+ 1| < |x⁴ + 4| `e tutto R 2 2

sin(2x + 3) = sin(3x + 2) ⇐⇒ x = 1 2 2

sinh x + cosh x > 0 per ogni x ∈ R 2 2

| sin x|⁸ = 8^x ha almeno sette soluzioni reali 2 2

a_n→ +∞ =⇒ cos a_n non ha limite 2 2

Esiste min {3^x : x ∈ [0, 2π[} 2 2

x arctan x = o(sin x) per x → 0⁺ 2 2

| sin x| + | cos x| + | tan x| `e derivabile in x = π/4 2 2 a_n≥ 0 e √ⁿ

a_n→ 1999 =⇒ P a_n converge 2 2

√n a_n → +∞ =⇒ P an diverge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim sin²x

x = . . . lim

x→^π₂

sin²x

x = . . . lim

x→0

sin²x

x = . . . .

sup {x ∈ R : sin x + arctan x > 0} = . . . .

min {|n − 4| + |n − 7| : n ∈ N} = . . . .

inf (

α ∈ R :

∞

X

n=1

3n² + 2n

2n^α+ 3 converge )

= . . . .

Pisa, 12 Luglio 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

A ⊆ R e max A = 3 =⇒ sup A = 3 2 2

arctan(2x + 3) = arctan(3x + 2) ⇐⇒ x = 1 2 2 La soluzione della disequazione √

2x − 1 ≤ x `e tutto R 2 2 L’equazione sinh x = 3^−x non ha soluzioni reali 2 2

a_n→ 4 =⇒ {2a_n+ a_2n} → 12 2 2

Esiste maxtan x : ^π₂ < x ≤ π

2 2

Esiste min {x⁶+ sin x − arctan x : x ∈ R} 2 2

xp|x| `e derivabile in x = 0 2 2

na_n < 1 per ogni n ∈ N =⇒P a_n converge 2 2 a³_n≥ 1 per ogni n ∈ N =⇒ P an diverge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→0lim sin x

e^x− 1 = . . . lim

x→π

sin x

e^x− 1 = . . . lim

x→+∞

sin x

e^x− 1 = . . . .

max {x ∈ [0, 2π[: sin x ≥ 0} = . . . .

min {3^x+ 2^x : x ∈ R} = . . . .

inf (

α > 0 :

∞

X3n²+ 1

αⁿ converge )

= . . . .

Pisa, 6 Settembre 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

x < 3 =⇒ x² < 9 2 2

|2x + 3| = |3x + 2| =⇒ x = 1 2 2

arccos(cos 7) = 7 2 2

L’equazione π^x= e^π ha almeno una soluzione reale 2 2 L’equazione x + sin x − cos²x = 0 ha almeno una soluzione reale 2 2

a_n→ 4 =⇒ a_n!→ 24 2 2

Esiste min{sin x : x ∈]0, π]} 2 2

3^|x|+ |x|³ `e derivabile in x = 3 2 2

na_n → 0 =⇒ P a_n converge 2 2

na_n → 1999 =⇒ P an converge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0⁺

1 + ln x

x = . . . lim

x→1

1 + ln x

x = . . . lim

x→+∞

1 + ln x

x = . . . .

maxx ∈ R : x¹⁹(x + 1)⁹⁹< 0 = . . . .

inf {|x − 1| : x ∈]0, 3[} = . . . .

inf



α ∈ R :

Z +∞

4

3x + 2

2x^α+ 1dx converge



= . . . .

Pisa, 20 Settembre 1999

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

x > 3 =⇒ π^x > 20 2 2

3^2x+3= 3^3x+2 =⇒ x = 1 2 2

cos(arccos 1) = 1 2 2

L’equazione sin x = sin(x + 1) non ha soluzioni reali 2 2 L’equazione cosh x = 0 ha infinite soluzioni reali 2 2 a_n non ha limite =⇒ a²_n non ha limite 2 2 Esiste max{3^{2 sin x+1}− 2| cos x| : x > 0} 2 2

(|x| + 1)² `e derivabile in tutto R 2 2

na_n → 3 =⇒ P a_n diverge 2 2

na_n → 3 =⇒ P a²_n diverge 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0⁺

e^x−1

x = . . . lim

x→1⁻

e^x−1

x = . . . lim

x→+∞

e^x−1

x = . . . .

sup {x ∈ R : 2x + 1 < 3} = . . . .

min {|5n − 37| : n ∈ N} = . . . .

sup



α ∈ R :

Z +∞3x^α+ 2

2x⁴+ 1 dx converge



= . . . .