Cognome Nome.

(1)

Analisi Matematica 1, Scritto 1-B. Durata della prova: 2 ore 11.9.13

Cognome Nome.

A. A

Canale Matricola Corso di Laurea A B [C D

Domanda 1 [4 punti]

(i) Enunciare il criterio del rapporto per serie numeriche.

oo

(ii) Risulta utile applicare tale criterio alla serie £} J?. 2?

re=l

Risposta (i)

&

n ./-

Domanda 2

(i) Enunciare il teorema della media integrale.

(ii) Determinare il valor medio integrale della funzione f(x) — x3ex nell'intervallo [0,4] . Risposta

(i) ,

[5 punti]

(ii)

Q

v

4^

^7TT< ^,\

J

^A

2 I

8

(2)

Esercizio 1

Calcolare

*

[4 punti]

Esercizio 2

Studiare la continuità in (O, +00) della funzione

/(a?) s e O < z < l ,

s e ; r > 1

al variare del parametro j3 e R.

Risoluzione

/t/Uxi

V >

[4 punti]

iW\r

—")

3 Ji

(3)

Esercizio 3

[4 punti]

Calcolare l'integrale ff ^/l - x2 - y2dxdy, dove D = { ( x , y) e R2 : x2 + y2 < i}.

b

Risoluzione

-iix a O- C

Esercizio 4 [5 punti]

Studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità in (XQ, yo) = (0,0) della funzione

{

^{e ™ +}^X^{2 , 2}⁴^x --*• <?a (r ,,\ (n C\\

Risoluzione

^^^yu J*

(4)

Esercizio 5

^{[6 punti]}

Trovare il dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia e punti di estremo locale della funzione f ( x ) = ——^ti e tracciarne un grafico approssimativo.

3 + %/4 - Zx Risoluzione