ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITA’

(1)

ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITA’

12 marzo 2009

(2)

2 Esercizio 1 . Sia E un sottonisieme di R e sia f una funzione definita su E e a valori in R. Sia x ₀ un punto di accumulazione di E. Dimostrare che lim _x→x

₀

f (x) = ` se e solo se per ogni successione a _n di elementi di E convergente a x 0 , risulta lim n f (a n ) = `.

Esercizio 2 . Sia E un sottoinsieme di R e sia f una funzione definita su E ed a valori reali. Sia x ₀ ∈ E. Dimostrare che f `e continua nel punto x ₀ , se e solo se per ogni successione a n di elementi di E convergente a x 0 , risulta lim _n f (a _n ) = f (x ₀ ).

Esercizio 3 Determinare i punti in cui sono continue e/o derivabili le seguen- ti funzioni definite sulla retta reale R

1. f (0) = 0 e f (x) = sin(1/x) per x 6= 0, 2. f (0) = 0 e f (x) = x sin(1/x) per x 6= 0, 3. f (0) = 0 e f (x) = x ² sin(1/x) per x 6= 0.

Esercizio 4 Sia E = [1, 2]. Trovare funzioni f a valori reali definite su E con le propriet`a seguenti

1. f `e continua in tutti i punti di E tranne un punto.

2. f ha solo una discontinuit`a eliminabile in E

3. f ha esattamente due discontinuit`a di cui una eliminabile e l’altra di prima specie

4. f ha esattamente tre discontinuit`a di prima specie.

5. f ha una sola discontinit`a che `e di seconda specie.

6. f `e discontinua su tutti i punti di E che sono razionali e continua su tutti i punti di E che sono irrazionali.

7. f `e discontinua su tutti i punti razionali di E ed `e crescente.

Definizione 1 Sia E un sottoinsieme di R. Una funzione a valori reali definita su E si dice uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x, y ∈ E e |x − y| < δ, allora |f (x) − f (y)| < ε.

Definizione 2 Una funzione definita su un sottoinsieme E ⊂ R si dice Lip-

schitziana se esiste K > 0 tale che se x, y ∈ E, allora |f (x) − f (y)| ≤

K|x − y|.

(3)

3 Esercizio 5 Dimostrare che ogni funzione Lipschitziana `e uniformemente continua ma che esistono funzioni uniformemente continue che non sono lipschitziane.

Esercizio 6 1. Si consideri in R la funzione f (x) = x−sin(x). Studiarne il comportamento per x → +∞ dimostrando che non ha asintoti obliqui.

Dire se f `e uniformemente continua in R.

2. Dimostrare che la funzione f (x) = arctan x `e Lipschitziana (e quindi uniformemente continua) in R.

3. Dire se la funzione f (x) = √

1 − x ² ´e Lipschitziana nel suo insieme di definizione A. ` E uniformemente continua in A?

4. Sia f (x) una funzione definita nell’insieme A ⊂ R per la quale esistono due numeri positivi L e α tali che

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| ^1+α , ∀x, y ∈ A ; mostrare allora che f `e costante in A.

Definizione 3 Sia T un numero reale positivo. Un funzione definita su R si dice periodica di periodo T , se per ogni x ∈ R risulta f (x + T ) = f (x).

Esercizio 7 Dimostrare o confutare:

1. Se E è un insieme finito e f è una funzione a valori reali definita su E, allora f è uniformemente continua.

2. Se E è un insieme privo di punti di accumulazione e f è una funzione a valori reali definita su E allora f è uniformemente continua.

3. Se E = {1/n : n ∈ N} e f `e una funzione definita su E, allora f `e uniformemente continua.

4. Se E è un insieme chiuso e f è una funzione a valori reali definita su E, e continua in tutti i punti di E, allora f è uniformemnte continua.

5. Se E è un insieme limitato e f è una funzione a valori reali definita su E e continua in tutti i punti di E, allora f è uniformemente continua.

6. Se E = R e f `e una funzione periodica a valori reali definita su E, allora f `e uniformente continua.

7. Se f `e una funzione continua definita su R ed esistono finiti i limiti

lim _x→+∞ f (x) e lim _x→−∞ f (x), allora f `e uniformemene continua.

(4)

4 8. Se f `e una funzione a valori reali continua e derivabile definita su R allora f `e uniformemente continua

9. Se f `e una funzione limitata continua e derivabile definita su R allora f `e uniformemente continua

10. Se f è una funzione derivabile definita su R e la sua derivata è limitata, allora f è uniformemente continua

11. Se f `e una funzione uniformente continua definita su R allora f `e limitata.

12. Se f `e una funzione uniformemente continua e derivabile definita su R allora la derivata di f `e limitata.

13. Se f è una funzione continua e periodica di periodo T > 0 e f (x ² ) è uniformemente continua allora f è costante.

14. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x sin(1/x), per x 6= 0 `e uniformemente continua su R.

15. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x ² sin(1/x) per x 6= 0 `e uniformente continua su R.

16. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x ³ sin(1/x), per x 6= 0 `e uniformemente continua su R.

Esercizio 8 Dimostrare o confutare:

1. Sia f una funzione a valori reali definita su R. Supponiamo che per ogni intervallo [a, b] ⊂ R, f assuma tutti i valori compresi tra f (a) ed f (b), allora f `e continua in ogni punto.

2. Sia f una funzione crescente a valori reali definita su R. Supponiamo che per ogni intervallo [a, b] ⊂ R, f assuma tutti i valori compresi tra f (a) ed f (b), allora f `e continua in ogni punto.

3. Sia f una funzione crescente definita su R, allora esiste almeno un

intervallo [a, b] con a < b, tale che f `e continua in tutti i punti di [a, b].

ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITA’

ESERCIZI SU LIMITI E CONTINUITA’

12 marzo 2009

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Esercizio 1 . Sia E un sottonisieme di R e sia f una funzione definita su E e a valori in R. Sia x 0 un punto di accumulazione di E. Dimostrare che lim x→x

f (x) = ` se e solo se per ogni successione a n di elementi di E convergente a x 0 , risulta lim n f (a n ) = `.

Esercizio 2 . Sia E un sottoinsieme di R e sia f una funzione definita su E ed a valori reali. Sia x 0 ∈ E. Dimostrare che f `e continua nel punto x 0 , se e solo se per ogni successione a n di elementi di E convergente a x 0 , risulta lim n f (a n ) = f (x 0 ).

Esercizio 3 Determinare i punti in cui sono continue e/o derivabili le seguen- ti funzioni definite sulla retta reale R

1. f (0) = 0 e f (x) = sin(1/x) per x 6= 0, 2. f (0) = 0 e f (x) = x sin(1/x) per x 6= 0, 3. f (0) = 0 e f (x) = x 2 sin(1/x) per x 6= 0.

Esercizio 4 Sia E = [1, 2]. Trovare funzioni f a valori reali definite su E con le propriet`a seguenti

1. f `e continua in tutti i punti di E tranne un punto.

2. f ha solo una discontinuit`a eliminabile in E

3. f ha esattamente due discontinuit`a di cui una eliminabile e l’altra di prima specie

4. f ha esattamente tre discontinuit`a di prima specie.

5. f ha una sola discontinit`a che `e di seconda specie.

6. f `e discontinua su tutti i punti di E che sono razionali e continua su tutti i punti di E che sono irrazionali.

7. f `e discontinua su tutti i punti razionali di E ed `e crescente.

Definizione 1 Sia E un sottoinsieme di R. Una funzione a valori reali definita su E si dice uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x, y ∈ E e |x − y| < δ, allora |f (x) − f (y)| < ε.

Definizione 2 Una funzione definita su un sottoinsieme E ⊂ R si dice Lip-

schitziana se esiste K > 0 tale che se x, y ∈ E, allora |f (x) − f (y)| ≤

K|x − y|.

3 Esercizio 5 Dimostrare che ogni funzione Lipschitziana `e uniformemente continua ma che esistono funzioni uniformemente continue che non sono lipschitziane.

Esercizio 6 1. Si consideri in R la funzione f (x) = x−sin(x). Studiarne il comportamento per x → +∞ dimostrando che non ha asintoti obliqui.

Dire se f `e uniformemente continua in R.

2. Dimostrare che la funzione f (x) = arctan x `e Lipschitziana (e quindi uniformemente continua) in R.

3. Dire se la funzione f (x) = √

1 − x 2 ´e Lipschitziana nel suo insieme di definizione A. ` E uniformemente continua in A?

4. Sia f (x) una funzione definita nell’insieme A ⊂ R per la quale esistono due numeri positivi L e α tali che

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| 1+α , ∀x, y ∈ A ; mostrare allora che f `e costante in A.

Definizione 3 Sia T un numero reale positivo. Un funzione definita su R si dice periodica di periodo T , se per ogni x ∈ R risulta f (x + T ) = f (x).

Esercizio 7 Dimostrare o confutare:

1. Se E è un insieme finito e f è una funzione a valori reali definita su E, allora f è uniformemente continua.

2. Se E è un insieme privo di punti di accumulazione e f è una funzione a valori reali definita su E allora f è uniformemente continua.

3. Se E = {1/n : n ∈ N} e f `e una funzione definita su E, allora f `e uniformemente continua.

4. Se E è un insieme chiuso e f è una funzione a valori reali definita su E, e continua in tutti i punti di E, allora f è uniformemnte continua.

5. Se E è un insieme limitato e f è una funzione a valori reali definita su E e continua in tutti i punti di E, allora f è uniformemente continua.

6. Se E = R e f `e una funzione periodica a valori reali definita su E, allora f `e uniformente continua.

7. Se f `e una funzione continua definita su R ed esistono finiti i limiti

lim x→+∞ f (x) e lim x→−∞ f (x), allora f `e uniformemene continua.

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8. Se f `e una funzione a valori reali continua e derivabile definita su R allora f `e uniformemente continua

9. Se f `e una funzione limitata continua e derivabile definita su R allora f `e uniformemente continua

10. Se f è una funzione derivabile definita su R e la sua derivata è limitata, allora f è uniformemente continua

11. Se f `e una funzione uniformente continua definita su R allora f `e limitata.

12. Se f `e una funzione uniformemente continua e derivabile definita su R allora la derivata di f `e limitata.

13. Se f è una funzione continua e periodica di periodo T > 0 e f (x 2 ) è uniformemente continua allora f è costante.

14. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x sin(1/x), per x 6= 0 `e uniformemente continua su R.

15. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x 2 sin(1/x) per x 6= 0 `e uniformente continua su R.

16. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x 3 sin(1/x), per x 6= 0 `e uniformemente continua su R.

Esercizio 8 Dimostrare o confutare:

1. Sia f una funzione a valori reali definita su R. Supponiamo che per ogni intervallo [a, b] ⊂ R, f assuma tutti i valori compresi tra f (a) ed f (b), allora f `e continua in ogni punto.

2. Sia f una funzione crescente a valori reali definita su R. Supponiamo che per ogni intervallo [a, b] ⊂ R, f assuma tutti i valori compresi tra f (a) ed f (b), allora f `e continua in ogni punto.

3. Sia f una funzione crescente definita su R, allora esiste almeno un

intervallo [a, b] con a < b, tale che f `e continua in tutti i punti di [a, b].

Esercizio 1 . Sia E un sottonisieme di R e sia f una funzione definita su E e a valori in R. Sia x ₀ un punto di accumulazione di E. Dimostrare che lim _x→x

f (x) = ` se e solo se per ogni successione a _n di elementi di E convergente a x 0 , risulta lim n f (a n ) = `.

Esercizio 2 . Sia E un sottoinsieme di R e sia f una funzione definita su E ed a valori reali. Sia x ₀ ∈ E. Dimostrare che f `e continua nel punto x ₀ , se e solo se per ogni successione a n di elementi di E convergente a x 0 , risulta lim _n f (a _n ) = f (x ₀ ).

1. f (0) = 0 e f (x) = sin(1/x) per x 6= 0, 2. f (0) = 0 e f (x) = x sin(1/x) per x 6= 0, 3. f (0) = 0 e f (x) = x ² sin(1/x) per x 6= 0.

1 − x ² ´e Lipschitziana nel suo insieme di definizione A. ` E uniformemente continua in A?

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| ^1+α , ∀x, y ∈ A ; mostrare allora che f `e costante in A.

lim _x→+∞ f (x) e lim _x→−∞ f (x), allora f `e uniformemene continua.

13. Se f è una funzione continua e periodica di periodo T > 0 e f (x ² ) è uniformemente continua allora f è costante.

15. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x ² sin(1/x) per x 6= 0 `e uniformente continua su R.

16. La funzione f definita da f (0) = 0 e f (x) = x ³ sin(1/x), per x 6= 0 `e uniformemente continua su R.