Lezione 19 ( M-Z ) 15/12/06
Esercizio 1. Determinare equazioni cartesiane della retta perpendicolare al piano α : x − 2y + z − 3 = 0, ed incidenti le rette
r1: (
x = 2z
y = z −10 e r2 : (
x +2y −z = 0
2x −3y +2z −1 = 0
Soluzione dell’esercizio 1. La retta cercata pu´o essere ottenuta come intersezione del piano β passante per r1, perpendicolare ad α con il piano γ passante per r2, perpendicolare ad α.
E importante osservare che tale problema non ammette soluzione se i piani β e γ risultano´ paralleli, ovvero se tali sono le rette r1 ed r2. Il problema ´e invece indeterminato nel caso in cui i piani β e γ coincidono, ovvero quando r1 ed r2 sono complanari ed il loro piano
´e esattamente il piano α.
Nel nostro esercizio, come ´e facile verificare, le rete risulatano essere sghembe e quindi il problema ammette soluzione. Il fascio di piani per r1 ha equazione
(x − 2z) + k(y − z + 1) = 0, che possiamo riscrivere come
x + ky + (−2 − k)z + k = 0.
Dalla perpendicolarit´a con α ricaviamo k = −13. Il piano β ´e allora il piano di equazione β : 3x − y − 5z − 1 = 0.
Il fascio di piani per r2 ha equazione
(x + 2y − z) + k(2x − 3y + 2z − 1) = 0, che possiamo riscrivere come
(1 + 2k)x + (2 − 3k)y + (−1 + 2k)z − k = 0.
Imponendo la perppendicolarit´a con α ricaviamo k = 25. Il piano γ ´e allora il piano di equazione
γ : 9x + 4y − z − 2 = 0.
La retta cercata ´e allora la retta di equazioni r :
( 3x −y −5z −1 = 0
9x +4y −z −2 = 0
Esercizio 2. Determinare la distanza del punto P (−1, 0, 8) dalla retta
r :
( x −4y +z = 0
−y +z −3 = 0
Soluzione dell’esercizio 2. I parametri direttori della retta valgono l = −3, m =
−1, n = −1. Il piano α passante per P e perpendicolare ad r ha equazione
−3(x + 1) − 1(y − 0) − 1(z − 8) = −3x − y − z + 5 = 0.
Il punto di intersezione del piano con la retta ´e dato dalla soluzione del sistema
3x +y +z = 5 x −4y +z = 0
−y +z = 3.
Otteniamo come soluzione il punto Q di coordinate (0, 1, 4). La distanza richiesta vale allora
d(P, r) = P Q = 3√ 2.
Esercizio 3. Determinare le componenti dei vettori di modulo 3, paralleli al piano α : x + y − 2z − 1 = 0., perpendicolari alla retta
r :
x = 1 −2t
y = t
z = 2 +t
Soluzione dell’esercizio 3. Un vettore parallelo al piano α e perpendicolare alla retta r ´e un vettore parallelo alla retta s ottenuta come intersezione del piano α con un piano perpendicolare ad r.
I parametri direttotri della retta valgono l = −2, m = 1, n = 1. Un piano perpendicolare ad r ´e allora il piano β di equazione
β : −2x + y + z = 0.
Equazioni per s sono allora s :
(
x +y −2z −1 = 0
−2x +y +z = 0
I parametri direttori di tale retta valgono l0 = 3, m0 = 3, n0 = 3. I vettori cercati avranno allora componenti del tipo (h, h, h). Tra questi quelli di modulo 3 si ottengono imponendo 3h2 = 9, ovvero h = ±√
3. I vettori cercati sono allora v1= (√
3,√ 3,√
3) e v2 = (−√ 3, −√
3, −√ 3).
Esercizio 4. Determinare equazione cartesiana della retta di minima distanza delle due rette sghembe
r : (
x +2z −1 = 0
−y +z +1 = 0, s :
(
x +3 = 0
y +z +1 = 0,
Soluzione dell’esercizio 4. Per definizione, la retta di minima distanza tra due rette sghembe r ed s ´e la retta perpendicolaree d incidente sia r che s.
Tale retta risulta parallela ai piani per r ed s. Se α ´e uno di tali piani, la retta richiesta ´e allora l’intersezione dei piani β1 e β2, passanti rispettivamente per r ed s e perpendicolari ad α.
Costruiamo il piano passante per r e parallelo ad s.
(x + 2z − 1) + k(−y + z + 1) = 0, che possiamo riscrivere come
x − ky + (2 + k)z + (−1 + k) = 0.
I parametri direttori della retta s valgono l0 = 0, m0 = −1, n0 = 1. Imponendo la condizione di parallelismo ricaviamo k = 1, ovvero il piano di equazione
α : x + y + z − 2 = 0.
Il piano per r perpendicolare ad α ha equazione
β1 : −y + z + 1 = 0.
Il facio di piani passante per s ha equazioni
x + hy + hz + (3 + h) = 0.
Imponendo la condizione di perpendicolarit´a con α ricaviamo il piano β2 : 2x − y − z + 5 = 0.
La retta richiesta ´e quindi la retta di equazione cartesiana t :
(
−y +z +1 = 0 2x −y −z +5 = 0,
Esercizio 5 ( Esercizio IV del 21/12/2005 ). a) Verificare che le rette
r :
x = t
y = −2t z = 2t
e s :
( x +2y = 0
3x +4y +z = 0
b) Determinare l’equazione cartesiana del piano α contenente le rette r ed s.
c) Verificato che i punti P (1, −2, 2) e Q(−2, 1, 2) appartengono ad α, calcolare il prodotto vettoriale OP ∧ OQ e l’area del triangolo P OQ.
d) Trovare la distanza di P dalla retta s.
Soluzione dell’esercizio 5. a) I parametri direttori della retta r valgono l = 1, m =
−2, n = 2. I parametri direttori della retta s valgono l0 = 2, m0 = −1, n0 = −2. Dato che risulta
ll0+ mm0+ nn0 = 2 + 2 − 4 = 0,
le rette date son perpendicolari, quindi in particolare complanari. Le equazioni cartesiane della retta r sono
r : (
2x +y = 0
2x −z = 0
Il rango della matrice
2 1 0 0
1 0 −1 0
1 2 0 0
3 4 1 0
´pari a 3. Ci´o significa che le rette r ed s sono incidenti, nell’origine.
b) Consideriamo il fascio di piani generato da s
(x + 2y) + k(3x + 4y + z) = 0, ovvero
(1 + 3k)x + (2 + 4k)y + kz = 0.
La condizione di apppartanenza di r a tale fascio si esprime come
¯¯
¯¯
¯¯
¯
2 1 0
2 0 −1
1 + 3k 2 + 4k k
¯¯
¯¯
¯¯
¯
= 0 ⇒ k = −1.
Il piano α cercato ´e dunque il piano di equazione α : 2x + 2y + z = 0.
c) Sostituendo le coordinate di P e di Q nell’equazione di α si verifica che tale equazione
´e soddisfatta, ovvero P, Q ∈ α. Il vettore di estremi O e P ´e il vettore di coordinate (1, −2, 2).
Il vettore di estremi O e Q ´e il vettore di coordinate (−2, 1, 2). Dunque le componenti del vettore prodotto vettoriale v sono (−6, −6, −3). Il trinagolo costruito ha area pari
a 1
2
√v2= 9 2.
d) Le rette r ed s sono perpendicolari e si incontrano nell’origine, pertanto d(P, s) = OP = 3.
Equivalentemente, consideriamo l’equazione del piano perpendicolare ad s e passante per P ,
2x − 2y − 2z = 0.
Calcolato il punto di intersezione di tale piano con la retta ritroviamo che tale punto
´e esattamente l’origine.
Esercizio 6 ( Esercizio III del 04/07/2006 ). Nello spazio euclideo siano dati il punto P (1, 1, 1) e la retta
r :
( x −y +1 = 0
x +2y −z = 0
a) Deteminare le proiezioni ortogonali P0 ed r0 rispettivamente del punto P e della retta r sul piano α : 2x − y + 3z − 1 = 0.
b) Calcolare la distanza di P dalla retta r.
Soluzione dell’esercizio 6. a) Costruiamo la retta s per P , perpendicolare ad α, x − 1
2 = y − 1
−1 = z − 1 3 , ovvero
s :
( x +2y −3 = 0
+3y +z −4 = 0 Il punto P0 ´e allora la soluzione del sistema
x +2y −3 = 0
+3y +z −4 = 0 2x −y +3z −1 = 0
L’unica soluzione di tale sistema ´e il punto di coordinate P0(47,1714,117). Consideriamo il fascio di piani per r
(x − y + 1) + k(x + 2y − z) = 0, che possiamo riscrivere come
(1 + k)x + (−1 + 2k)y + (1 − k)z = 0.
Imponendo la condizione di perpendicloarit´a con α ricaviamo k = 2. La retta cercata ha allora equazioni
r0 :
( 3x +3y −z = 0
2x −y +3z = 0
b) Consideriamo il piano per P perpendicolare ad r,
(x − 1) + (y − 1) + 3(z − 1) = x + y + 3z − 5 = 0.
Il punto di intersezione di tale piano con la retta r ´e la soluzione del sistema
x −y +1 = 0
x +2y −z = 0
x +y +3z −5 = 0
Troviamo il punto Q di coordinate (−112,119,1611). La distanza richiesta vale allora d(P, r) = P Q = 9√
22 11 .
