SPAZI DI SOBOLEV ANTONIO IANNIZZOTTO

(1)

SPAZI DI SOBOLEV

ANTONIO IANNIZZOTTO

Sommario. Richiami sugli spazi di Lebesgue e sui teoremi di Gauß. Definizione di derivata debole.

Lo spazio W^1,p e le sue propriet`a funzionali. Spazi di Sobolev di ordine superiore. Teoremi di estensione. Densit`a: teorema di Friedrichs. Immersioni continue: diseguaglianza di Sobolev (Gagliardo-Nirenberg), teorema di Morrey. Immersioni compatte: teorema di Rellich-Kondrachov.

Immersioni di W^k,p. Lo spazio W₀^1,p: diseguaglianza di Poincar´e, duale. Gli spazi H¹, H₀¹. Queste note sono un mero supporto didattico, senza alcuna pretesa di completezza, originalit`a o precisione.

Indice

1. Derivate deboli e spazi di Sobolev 1

2. Densit`a ed estensione 6

3. Immersioni 10

4. Gli spazi W₀^1,p(Ω), H¹(Ω), H₀¹(Ω) 17

Riferimenti bibliografici 21

Versione del 16 febbraio 2019

1. Derivate deboli e spazi di Sobolev

Le vostre debolezze sono salite al cielo delle virt`u.

F.W. Nietzsche In questa sezione supponiamo che Ω ⊆ R^N (N > 1) sia un aperto non vuoto (occasionalmente richiederemo altre propriet`a su Ω) e introduciamo lo spazio di Sobolev W^1,p(Ω) (1 < p < ∞) e le sue propriet`a funzionali. Per i casi N = 1, p = 1, ∞ rimandiamo a [2, Chapters 8, 9]. Le motivazioni per l’introduzione di questo spazio sono legate allo studio delle equazioni alle derivate parziali, e sono rinviate a [5,6]. Per una trattazione dettagliata sugli spazi di Sobolev, rimandiamo a [1].

Richiamiamo alcune nozioni di calcolo integrale e differenziale (ved. [3, Appendix B]). Poniamo Q =(x⁰, x_N) ∈ R^N : |x⁰|, |x_N| < 1 , Q₊=(x⁰, x_N) ∈ Q : x_N > 0 ,

Q₀=(x⁰, x_N) ∈ Q : x_N = 0 , Q−=(x⁰, x_N) ∈ Q : x_N < 0 .

Se Ω ⊂ R^N `e un dominio (aperto connesso) limitato di frontiera Γ = ∂Ω, diremo che Ω `e di classe C^k (k ∈ N) se per ogni x ∈ Γ esistono un intorno U ⊂ R^N di x e un diffeomorfismo H ∈ C^k(Q, U ) t.c. H(Q+) = U ∩ Ω, H(Q0) = U ∩ Γ. I domini di classe C¹ sono anche detti domini regolari.

Se Ω ⊂ R^N è di classe C¹, allora per ogni x ∈ Γ è definito univocamente il versore normale uscente ν(x) ∈ R^N rispetto a Γ in x. Richiamiamo la formula di Gauß-Green: se Ω ⊂ R^N è un dominio

1

(2)

limitato di classe C¹, allora per ogni u, v ∈ C¹(Ω) si ha (1.1)

Z

Ω

∂u

∂xi

v dx = − Z

Ω

u∂v

∂xi

dx + Z

Γ

uvνidΓ, i = 1, . . . N¹.

Gli integrali sono sempre calcolati rispetto alla misura di Lebesgue N -dimensionale o alla misura di Hausdorff (N − 1)-dimensionale. Inoltre, applicando (1.1) si ha per ogni u, v ∈ C²(Ω)

(1.2)

Z

Ω

∇u · ∇v dx = − Z

Ω

∆uv dx + Z

Γ

∂u

∂νv dΓ,

dove ^∂u_∂ν = ∇u · ν. Infine, ricordiamo che C_c^k(Ω) (k = 0, . . . ∞) denota lo spazio delle funzioni ϕ ∈ C^k(Ω) a supporto compatto, cio`e t.c. ϕ(x) = 0 per ogni x ∈ Ω \ K, dove K ⊂ Ω `e un insieme compatto.

Introduciamo ora il primo spazio di Sobolev:

Definizione 1.1. Lo spazio W^1,p(Ω) `e l’insieme delle funzioni u ∈ L^p(Ω) con la seguente propriet`a:

esistono g1, . . . gN ∈ L^p(Ω) t.c. per ogni ϕ ∈ C_c^∞(Ω) Z

Ω

u∂ϕ

∂x_i dx = − Z

Ω

g_iϕ dx, i = 1, . . . N.

Osservazione 1.2. La Definizione1.1 si pu`o riformulare equivalentemente usando funzioni test ϕ ∈ C_c¹(Ω).

Ricordando la definizione di L^p(Ω), osserviamo che u, g1, . . . gN sono definite in Ω a meno di un insieme di misura nulla (sono in effetti classi di equivalenze di funzioni). Se Ω `e un dominio limitato di classe C¹ e u ∈ C¹(Ω), da (1.1) segue che u verifica la Definizione1.1 con g_i= _∂x^∂u

i (i = 1, . . . N ).

Per estensione, per ogni u ∈ W^1,p(Ω) le funzioni gi sono dette derivate deboli di u e denotate g_i = _∂x^∂u

i (i = 1, . . . N ), inoltre si pone

∇u =∂u

∂x₁, . . . ∂u

∂x_N

∈ L^p(Ω, R^N).

Le derivate deboli si calcolano mediante le stesse formule in uso per le derivate classiche:

Lemma 1.3. Siano u, v ∈ W^1,p(Ω):

(i) per ogni α, β ∈ R si ha αu + βv ∈ W^1,p(Ω) e

∂

∂xi

(αu + βv) = α∂u

∂xi

+ β∂v

∂xi

, i = 1, . . . N ; (ii) se u, v ∈ W^1,p(Ω) ∩ L^∞(Ω), allora uv ∈ W^1,p(Ω) e

∂

∂xi

(uv) = ∂u

∂xi

v + u∂v

∂xi

, i = 1, . . . N ;

(iii) per ogni G ∈ C¹(R) t.c. G(0) = 0, G⁰∈ L^∞(R) si ha G ◦ u ∈ W^1,p(Ω) e

∂

∂xi

(G ◦ u) = (G⁰◦ u)∂u

∂xi

, i = 1, . . . N ;

1Negli integrali ometteremo, quando non necessarie, le variabili di integrazione.

(3)

(iv) per ogni Ω⁰ ⊆ R^N aperto, H ∈ C¹(Ω⁰, Ω) diffeomorfismo t.c. det(J_H) ∈ L^∞(Ω⁰), det(J_H⁻¹) ∈ L^∞(Ω) si ha u ◦ H ∈ W^1,p(Ω⁰) e

∂

∂yj

(u ◦ H) =

N

X

i=1

∂u

∂xi

◦ H∂H

∂yj

, j = 1, . . . N.

Dimostrazione. Proviamo(i). Chiaramente αu + βv ∈ L^p(Ω). Per ogni i ∈ {1, . . . N }, ϕ ∈ C_c^∞(Ω) si ha

Z

Ω

(αu + βv)∂ϕ

∂x_i dx = α Z

Ω

u∂ϕ

∂x_i dx + β Z

Ω

v∂ϕ

∂x_idx

= −α Z

Ω

∂u

∂x_idx − β Z

Ω

∂v

∂x_i dx

= − Z

Ω

α∂u

∂xi

+ β∂v

∂xi

ϕ dx, inoltre

α∂u

∂xi

+ β∂v

∂xi

∈ L^p(Ω).

Similmente si provano(ii)- (iv).

Un’altra propriet`a utile collega le derivate deboli alla convoluzione:

Lemma 1.4. Siano u ∈ W^1,p(Ω), ρ ∈ L¹(R^N). Allora ρ ∗ u ∈ W^1,p(Ω) e

∂

∂xi

(ρ ∗ u) = ρ ∗ ∂u

∂xi

, i = 1, . . . N.

Dimostrazione. Per il Teorema di Young [2, Theorem 4.15] si ha ρ ∗ u ∈ L^p(Ω). Poniamo ρ⁻(x) = ρ(−x) per ogni x ∈ R^N. Ponendo u(x) = 0 per ogni x ∈ Ω^c, chiaramente abbiamo u ∈ L^p(R^N). Per [2, Propositions 4.16, 4.20] si ha per ogni i ∈ {1, . . . N }, ϕ ∈ C_c^∞(Ω)

Z

R^N

(ρ ∗ u)∂ϕ

∂x_i dx = Z

R^N

u

ρ⁻∗ ∂ϕ

∂x_i

dx = − Z

R^N

ρ ∗ ∂ϕ

∂x_i

u dx,

il che conclude la dimostrazione.

Esempio 1.5. Poniamo

Ω =(x, y) ∈ R^N : x²+ y² < 1

e u(x, y) = (x²+ y²)¹². La funzione u non `e derivabile in (0, 0), tuttavia per ogni p > 1 si ha u ∈ W^1,p(Ω) con

∂u

∂x(x, y) = sign(x), ∂u

∂y(x, y) = sign(y).

Per il Lemma 1.3 (i), W^1,p(Ω) `e uno spazio vettoriale. Su esso definiamo una norma ponendo per ogni u ∈ W^1,p(Ω)

kuk = kuk^p_p+ k∇uk^p_p_p¹ .

Il prossimo risultato riguarda le propriet`a funzionali dello spazio normato (W^1,p(Ω), k · k):

Proposizione 1.6. W^1,p(Ω) `e uno spazio di Banach separabile e riflessivo.

(4)

Dimostrazione. Proviamo che W^1,p(Ω) `e completo. Sia (u_n) una successione di Cauchy in W^1,p(Ω).

Allora (un), (^∂u_∂xⁿ

i) (i = 1, . . . N ) sono successioni di Cauchy in L^p(Ω). Per il Teorema di Fischer- Riesz [2, Theorem 4.8] si ha u_n → u, ^∂u_∂xⁿ

i → g_i in L^p(Ω) (i = 1, . . . N ). Per ogni i ∈ {1, . . . N }, ϕ ∈ C_c^∞(Ω) si ha

Z

Ω

u_n∂ϕ

∂x_i dx = − Z

Ω

∂u_n

∂x_iϕ dx.

Poich´e ϕ,_∂x^∂ϕ

i ∈ L^p⁰(Ω), possiamo passare al limite per n → ∞ e otteniamo Z

Ω

u∂ϕ

∂x_i dx = − Z

Ω

giϕ dx, quindi u ∈ W^1,p(Ω) con _∂x^∂u

i = g_i (i = 1, . . . N ), da cui u_n→ u in W^1,p(Ω).

Denotiamo Y = L^p(Ω)^{N +1}, spazio di Banach separabile e riflessivo [2, Theorems 4.10, 4.13], e poniamo per ogni u ∈ W^1,p(Ω)

T (u) = (u, ∇u) ∈ Y.

La mappa T ∈ L(W^1,p(Ω), Y ) `e un’isometria lineare. Dunque T (W^1,p(Ω)) `e un sottospazio chiuso di Y , a sua volta separabile e riflessivo [2, Proposition 3.20]. Lo spazio W^1,p(Ω), linearmente

isometrico a T (W^1,p(Ω)), gode delle stesse propriet`a.

Osservazione 1.7. Un’altra dimostrazione della riflessivit`a di W^1,p(Ω) `e la seguente. Supponiamo p > 2. Allora, per la prima diseguaglianza di Clarkson [2, p. 95] si ha per ogni ε > 0, u, v ∈ W^1,p(Ω) t.c. kuk, kvk = 1, ku − vk > ε

u + v 2

p p+

u − v 2

p

p 6 kuk^p_p+ kvk^pp

2 ,

∇u + ∇v 2

p p+

∇u − ∇v 2

p

p 6 k∇uk^p_p+ k∇vk^pp

2 ,

da cui, posto δ = 1 − (1 −^ε₂^pp),

u + v 2

p

=

u + v 2

p p+

∇u + ∇v 2

p p

6 1 − ku − vk^p_p

2^p − k∇u − ∇vk^p_p 2^p 6 1 − ε^p

2^p = (1 − δ)^p.

Dunque W^1,p(Ω) `e uniformemente convesso, e quindi riflessivo per il Teorema di Milman-Pettis [2, Theorem 3.31]. Si procede analogamente se p ∈]1, 2[, usando la seconda diseguaglianza di Clarkson [2, p. 97].

Riportiamo una caratterizzazione degli elementi di W^1,p(Ω):

Proposizione 1.8. Sia u ∈ L^p(Ω). Le seguenti condizioni sono equivalenti:

(i) u ∈ W^1,p(Ω);

(ii) esiste C > 0 t.c. per ogni i ∈ {1, . . . N }, ϕ ∈ C_c^∞(Ω)

Z

Ω

u∂ϕ

∂x_idx

6Ckϕk_p⁰.

(5)

Dimostrazione. Proviamo che(i)implica (ii). Se u ∈ W^1,p(Ω), allora poniamo C = k∇uk_p. Per ogni ϕ ∈ C_c^∞(Ω) si ha ϕ ∈ L^p⁰(Ω), e per la Definizione1.1e la diseguaglianza di H¨older [2, Theorem 4.6] si ha

Z

Ω

u∂ϕ

∂xi

dx =

Z

Ω

∂u

∂xi

ϕ dx 6

∂u

∂xi

pkϕk_p⁰ 6 Ckϕkp⁰. Proviamo che(ii) implica(i). Fissato i ∈ {1, . . . N }, per ogni ϕ ∈ C_c^∞(Ω) poniamo

ψ(ϕ) = Z

Ω

u∂ϕ

∂xi

dx.

Per(ii)e per il Teorema di Hahn-Banach [2, Corollary 1.2], esiste ˜ψ ∈ L^p⁰(Ω)^∗ t.c. ˜ψ(ϕ) = ψ(ϕ) per ogni ϕ ∈ C_c^∞(Ω) e | ˜ψ(v)| 6 Ckvkp⁰ per ogni v ∈ L^p⁰(Ω). Per il Teorema di rappresentazione di Riesz per gli spazi di Lebesgue [2, Theorem 4.11] esiste gi∈ L^p(Ω) t.c. per ogni v ∈ L^p⁰(Ω)

Z

Ω

g_iv dx = ˜ψ(v).

Pertanto g_i verifica la Definizione1.1 e concludiamo che u ∈ W^1,p(Ω). Concludiamo questa sezione introducendo le derivate deboli di ordine superiore. Per ogni multi- indice α = (α₁, . . . α_N) ∈ N^N di altezza |α| = α₁+ . . . + α_N = k, e per ogni funzione u ∈ C^k(Ω), adottiamo la notazione

D^αu = ∂^ku

∂x^α₁¹. . . ∂x^α_N^N (D⁰u = u).

Lo spazio di Sobolev di ordine k `e definito ricorsivamente a partire da W^1,p(Ω) come segue:

Definizione 1.9. Lo spazio W^k,p(Ω) `e l’insieme delle funzioni u ∈ W^k−1,p(Ω) t.c.

∂u

∂xi

∈ W^k−1,p(Ω), i = 1, . . . N.

Vale la seguente caratterizzazione, analoga alla Proposizione 1.8:

Proposizione 1.10. Siano u ∈ L^p(Ω), k ∈ N. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

(i) u ∈ W^k,p(Ω);

(ii) per ogni multi-indice α, |α| 6 k esiste gα∈ L^p(Ω) t.c. per ogni ϕ ∈ C∞_c(Ω) Z

Ω

uD^αg dx = (−1)^|α|

Z

Ω

gαϕ dx;

(iii) esiste C > 0 t.c. per ogni α, |α| 6 k e ogni ϕ ∈ Cc^∞(Ω)

Z

Ω

uD^αϕ dx

6Ckϕk_p⁰.

Le funzioni g_α sono dette derivate deboli di ordine superiore, e denotate D^αu. Esse seguono le medesime regole di calcolo delle derivate classiche. Sullo spazio W^k,p(Ω) adottiamo la norma

kuk = X

|α|6k

kD^αuk^p_p

¹

p,

con la quale W^k,p(Ω) risulta essere uno spazio di Banach separabile e uniformemente convesso, in particolare riflessivo.

(6)

Osservazione 1.11. In effetti, per k > 3 e Γ ’abbastanza regolare’ si dimostra che kuk =

kuk^p_p+ X

|α|=k

kD^αuk^p_p

¹_p

`e una norma su W^k,p(Ω) equivalente a quella definita sopra [2, p. 271].

Esercizio 1.12. Dimostrare (1.2).

Esercizio 1.13. Dimostrare che se Ω `e limitato e di classe C¹, allora C¹(Ω) ⊂ W^1,p(Ω).

Esercizio 1.14. Completare la dimostrazione del Lemma1.3.

Esercizio 1.15. Dimostrare che su W^1,p(Ω) una norma equivalente a quella definita sopra `e kuk = kuk_p+ k∇uk_p.

Esercizio 1.16. Dimostrare la Proposizione1.8.

2. Densit`a ed estensione

Dalla Definizione1.1segue ovviamente l’inclusione insiemistica C_c^∞(Ω) ⊂ W^1,p(Ω), che sappiamo inoltre essere propria (Esempio 1.5). Cercheremo ora di rispondere alla seguente domanda: `e possibile approssimare una funzione di W^1,p(Ω) mediante funzioni regolari? Questa domanda risulta strettamente collegata al problema dell’estensione delle funzioni di Sobolev da un dominio Ω a R^N.

Introduciamo il primo teorema di densit`a. Ricordiamo che, per due insiemi A, B ⊆ R^N, A b B significa che cl(A) ⊂ B ed `e compatto.

Teorema 2.1. (Friedrichs) Sia u ∈ W^1,p(Ω). Allora esiste una successione (u_n) in C_c^∞(R^N) t.c.

(i) un→ u in L^p(Ω);

(ii) per ogni dominio ω b Ω, ∇un→ ∇u in L^p(ω, R^N).

Dimostrazione. Estendiamo u ponendo per ogni x ∈ R^N

˜ u(x) =

(u(x) se x ∈ Ω 0 se x ∈ Ω^c.

Chiaramente ˜u ∈ L^p(R^N). Sia ora (ρ_n) una successione di mollificatori, ovvero per ogni n ∈ N sia ρ_n∈ C_c^∞(R^N)₊, supp(ρ_n) ⊆ B_1/n, kρ_nk_L1(R^N)= 1². Per ogni n ∈ N poniamo vn= ρ_n∗ ˜u, cos`ı che vn∈ C^∞(R^N) e vn→ ˜u in L^p(R^N) (ved. [2, Proposition 4.20, Theorem 4.22]).

Introduciamo anche una funzione cut-off ζ ∈ C_c^∞(R^N) t.c. 0 6 ζ(x) 6 1 per ogni x ∈ R^N e ζ(x) =

(1 se |x| 6 1 0 se |x| > 2.

Per ogni n ∈ N, x ∈ R^N poniamo ζ_n(x) = ζ(^x_n), quindi u_n = ζ_nv_n. Si ha allora u_n ∈ C_c^∞(R^N), supp(un) ⊆ B2n.

Proviamo(i). Per n ∈ N abbastanza grande Bn∩ Ω 6= ∅, e per costruzione u_n(x) = vn(x) per ogni x ∈ Bn∩ Ω, da cui

limn

Z

Ω

|u_n− u|^pdx = lim

n

Z

R^N

|v_n− ˜u|^pdx = 0.

2In questa dimostrazione conviene indicare esplicitamente i domini nelle norme di Lebesgue.

(7)

Proviamo ora(ii). Sia ω b Ω. Osserviamo che ˜u ∈ W^1,p(ω). Fissiamo α ∈ C_c¹(Ω) t.c. α(x) = 1 per ogni x ∈ cl(ω). Per ogni n ∈ N, x ∈ ω si ha

(2.1) ρn∗ (α˜u)(x) = ρn∗ ˜u(x).

Infatti, da [2, Proposition 4.18] segue

supp(ρn∗ (α˜u − ˜u)) ⊆ cl supp(ρn) + supp(α˜u − ˜u)

⊆ cl B_1/n+ supp(α − 1) ⊆ ω^c,

ovvero ρn∗ (α˜u − ˜u) = 0 in ω. Inoltre, per i Lemmi1.3,1.4 si ha per ogni i ∈ {1, . . . N }, x ∈ ω

∂

∂xi

(ρn∗ (α˜u))(x) = ρn∗∂α

∂xi

˜

u + α∂ ˜u

∂xi

(x).

Per (2.1) abbiamo u_n= ρ_n∗ ˜u in ω per n ∈ N abbastanza grande, e ricordiamo che α = 1 in ω.

Dunque, passando al limite si ha per ogni i ∈ {1, . . . N } limn

Z

ω

∂u_n

∂x_i − ∂u

∂x_i

p

dx = lim

n

Z

ω

∂

∂x_i(ρ_n∗ (α˜u)) − ∂ ˜u

∂x_i

p

dx = 0,

il che prova(ii).

Se Ω = R^N, la situazione `e pi`u semplice:

Corollario 2.2. Sia u ∈ W^1,p(R^N). Allora esiste una successione (un) in C_c^∞(R^N) t.c.

(i) un→ u in L^p(R^N);

(ii) ∇u_n→ ∇u in L^p(R^N, R^N).

Dimostrazione. Ragionando come nel Teorema 2.1 e ponendo un = ζn(ρn∗ u) ∈ C_c^∞(R^N), si

conclude.

La proprietà (ii) del Teorema 2.1 è locale, e non vale per il dominio Ω perché, in generale,

˜

u /∈ W^1,p(R^N). Come anticipato, questo conduce a studiare il problema dell’estensione di funzioni di W^1,p(Ω) mediante funzioni di W^1,p(R^N) (con controllo della norma). La soluzione di questo problema dipende dalla regolarit`a di Γ.

Cominciamo con la tecnica pi`u semplice, l’estensione per riflessione. Per ogni funzione f : Q₊ → R definiamo Rf, Sf : Q → R (definite a meno dell’insieme di misura nulla Q0) ponendo

Rf (x⁰, xN) =

(f (x⁰, x_N) se x_N > 0

f (x⁰, −x_N) se x_N < 0, Sf (x⁰, xN) =

(f (x⁰, x_N) se x_N > 0

−f (x⁰, −x_N) se x_N < 0.

Lemma 2.3. Sia u ∈ W^1,p(Q+). Allora Ru ∈ W^1,p(Q) e (i) kRuk_L^p_(Q)6 2kukL^p(Q+);

(ii) kRuk_W^1,p_(Q)6 2kukW^1,p(Q+).

Dimostrazione. Osserviamo che Ru ∈ L^p(Q) con Z

Q

|Ru|^pdx = Z

Q+

|u|^pdx + Z

Q−

|u(x⁰, −xN)|^pdx = 2 Z

Q+

|u|^pdx,

il che prova (i). Similmente Su ∈ L^p(Q) con analogo controllo sulla norma. Inoltre, fissato i ∈ {1, . . . N − 1}, proviamo che

(2.2) ∂Ru

∂xi

= R∂u

∂xi

.

(8)

Infatti, per ogni ϕ ∈ C_c^∞(Q) definiamo ψ ∈ C^∞(Q₊) ponendo ψ(x⁰, x_N) = ϕ(x⁰, x_N) + ϕ(x⁰, −x_N).

Quindi, sia η ∈ C^∞(R) t.c. per ogni t ∈ R η(t) =







0 se t 6 1 2 1 se t > 1.

Per ogni k > 0, t ∈ R poniamo ηk(t) = η(kt) e

ξ_k(x⁰, x_N) = η_k(x_N)ψ(x⁰, x_N), cos`ı che ξ_k ∈ C_c^∞(Q₊). Allora si ha

Z

Q+

u∂ξk

∂x_i dx = − Z

Q+

∂u

∂x_iξkdx.

Passando al limite per k → ∞, per il Teorema della convergenza dominata [2, Theorem 4.2] si ha Z

Q+

u∂ψ

∂xi

dx = − Z

Q+

∂u

∂xi

ψ dx.

Dunque

Z

Q

Ru∂ϕ

∂xi

dx = Z

Q+

u∂ϕ

∂xi

dx + Z

Q−

u(x⁰, −x_N)∂ϕ

∂xi

(x⁰, x_N) dx

= Z

Q+

u∂ψ

∂x_i dx

= − Z

Q+

∂u

∂xi

ψ dx

= − Z

Q

R∂u

∂xi

ϕ dx,

da cui (2.2). Per i = N , ragionando analogamente abbiamo

(2.3) ∂Ru

∂xN

= S ∂u

∂xN

. Applicando (i) insieme a (2.2), (2.3) otteniamo

Z

Q

|∇Ru|^pdx 6

N −1

X

i=1

Z

Q

R∂u

∂x_i dx +

Z

Q

S ∂u

∂x_N dx 6 2

Z

Q+

|∇u|^pdx,

da cui(ii).

Osservazione 2.4. Il Lemma2.3 vale anche per il dominio illimitato R^N₊ =(x⁰, x_N) ∈ R^N : x_N > 0 .

Nel caso di un dominio regolare Ω con frontiera limitata (condizione verificata per esempio se Ω `e limitato o se Ω^c`e limitato), l’estensione esiste ma non ha una rappresentazione esplicita, pertanto deve essere definita come un operatore fra spazi di Sobolev detto operatore di estensione:

(9)

Teorema 2.5. Sia Ω un dominio regolare t.c. Γ `e limitata. Allora esiste un operatore E ∈ L(W^1,p(Ω), W^1,p(R^N)) t.c. per ogni u ∈ W^1,p(Ω) e quasi ogni x ∈ Ω si ha E(u)(x) = u(x).

Dimostrazione. L’insieme Γ ⊂ R^N `e compatto. Per il Lemma di partizione dell’unit`a [2, Lemma 9.3], esistono m ∈ N, U1, . . . Um⊂ R^N aperti t.c.

Γ ⊂

m

[

k=1

Uk,

e θ0, . . . θm∈ C_c^∞(R^N) t.c. supp(θ0) ⊂ Ω, supp(θk) ⊂ Uk (k = 1, . . . m) e per ogni x ∈ R^N 0 6 θk(x) 6 1 (k = 0, . . . m),

m

X

k=0

θ_k(x) = 1.

Inoltre, poiché Γ è di classe C¹, scegliendo gli insiemi U_k più piccoli se necessario, per ogni k ∈ {1, . . . m} possiamo un diffeomorfismo H_k∈ C¹(Q, U_k) t.c.

H_k(Q₊) = U_k∩ Ω, H_k(Q₀) = U_k∩ Γ.

Fissiamo ora u ∈ W^1,p(Ω). Per ogni k ∈ {0, . . . m} poniamo u_k = θ_ku ∈ W^1,p(Ω), cos`ı che u =

m

X

k=0

u_k.

Ora estendiamo le funzioni u_k. Per k = 0 basta porre per ogni x ∈ R^N

˜ u₀(x) =

(u0(x) se x ∈ Ω 0 se x ∈ Ω^c. Per il Lemma1.3 (i) si ha ˜u₀ ∈ W^1,p(R^N) con

k˜u₀k^p_p6 kθ0k^p_∞kuk^p_p 6 kuk^pp, e per ogni i ∈ {1, . . . N }

∂ ˜u₀

∂x_i

p p =

θ₀ ∂u

∂x_i + ∂θ₀

∂x_iu

p p

6 max n

kθ₀k_∞, p,

∂θ0

∂xi

p

∞

o

∂u

∂xi

p

p+ kuk^p_p

6 Ckuk^p3,

da cui

(2.4) k˜u₀k_W1,p(R^N)6 CkukW^1,p(Ω).

Per ogni k ∈ {1, . . . m} poniamo v_k = u_k◦H_k∈ W^1,p(Q₊) (con controllo della norma, per il Lemma 1.3 (iv)). Per il Lemma2.3abbiamo Rv_k ∈ W^1,p(Q) (con controllo della norma). Definiamo quindi w_k = Rv_k◦ H_k⁻¹ ∈ W^1,p(U_k) (di nuovo Lemma1.3 (iv)). Il controllo della norma d`a

kw_kk_W1,p(Uk)6 CkukW^1,p(Ω). Poniamo ora per ogni x ∈ R^N

˜ uk(x) =

(θ_k(x)w_k(x) se x ∈ U_k 0 se x ∈ U_k^c,

(10)

cos`ı che ˜u_k∈ W^1,p(R^N) con

(2.5) k˜u_kk_W1,p(R^N) 6 CkukW^1,p(Ω). Infine poniamo

E(u) =

m

X

k=0

˜ uk,

definendo cos`ı un operatore lineare E : W^1,p(Ω) → W^1,p(R^N) che per (2.4), (2.5) soddisfa per ogni u ∈ W^1,p(Ω)

kE(u)k_Lp(R^N) 6 CkukL^p(Ω), kE(u)k_W1,p(R^N)6 CkukW^1,p(Ω). Inoltre, per quasi ogni x ∈ Ω si ha

E(u)(x) = θ₀(x)u(x) +

m

X

k=1

θ_k(x)w_k(x) =

m

X

k=0

θ_k(x)u(x) = u(x),

Il Teorema2.5 permette di migliorare il Teorema2.1:

Corollario 2.6. Siano Ω un dominio regolare limitato, u ∈ W^1,p(Ω). Allora esiste una successione (u_n) in C_c^∞(R^N) t.c. u_n→ u in W^1,p(Ω).

Dimostrazione. Per il Teorema 2.5 esiste E(u) ∈ W^1,p(R^N) che estende u. Per il Teorema 2.1 esiste una successione (u_n) in C_c^∞(R^N) t.c. u_n→ u in L^p(R^N) e in W^1,p(Ω). Osservazione 2.7. In effetti, la tesi del Corollario 2.6vale anche se Ω `e un dominio regolare con Γ limitata, o anche se Γ `e regolare a pezzi. Osserviamo inoltre che le funzioni approssimanti non appartengono a C_c^∞(Ω).

Esercizio 2.8. Dimostrare il Corollario2.2.

Esercizio 2.9. Dimostrare l’Osservazione2.4.

3. Immersioni

Una funzione u ∈ W^1,p(Ω) `e integrabile con esponente p (Definizione 1.1), ma l’esistenza delle derivate deboli permette di aumentare tale esponente fino a un valore di soglia p^∗ ∈ [p, ∞] detto esponente critico, che dipende solo da p e N :

p^∗=





 N p

N − p se p < N

∞ se p > N .

Formalmente, per ogni q ∈ [p, p^∗] (o q ∈ [p, p^∗) secondo i casi) esiste un operatore lineare continuo iniettivo I ∈ L(W^1,p(Ω), L^q(Ω)), detto immersione, che proietta W^1,p(Ω) in una ’copia’, sottospazio di L^q(Ω) (in alcuni casi, I `e anche compatto, ved. [4]). Ogni elemento u ∈ W^1,p(Ω) viene pertanto identificato con I(u). In generale, se fra due spazi di Banach X, Y esiste un’immersione continua scriveremo X ,→ Y , e se l’immersione `e compatta scriveremo X ,,→ Y .

Il primo teorema di immersione `e relativo al caso Ω = R^N, p < N :

Teorema 3.1. (Diseguaglianza di Sobolev) Sia p ∈ (1, N ). Allora esiste C > 0 t.c. per ogni u ∈ W^1,p(R^N)

kuk_p^∗6 Ck∇ukp.

(11)

Dimostrazione. Supponiamo dapprima u ∈ C_c¹(R^N). Sia

m = N − 1

N p^∗> 1.

Poniamo v = |u|^m−1u ∈ C_c¹(R^N) e proviamo che

(3.1) kvk N

N −1 6

N

Y

i=1

∂v

∂x_i

1 N

1

Infatti, per ogni x ∈ R^N, i ∈ {1, . . . N } denotiamo ˜x_i = (x₁, . . . x_i−1, x_i+1, . . . x_n) ∈ R^{N −1} e poniamo

f_i(˜x_i) = Z

R

∂v

∂xi

(x_i, . . . x_i−1, t, x_i+1, . . . x_N) dt,

cos`ı che fi ∈ L¹(R^{N −1}). Per la diseguaglianza di Jensen (ved. [2, p. 120]) si ha per ogni x ∈ R^N, i ∈ {1, . . . N }

|v(x)| =

Z xi

−∞

∂v

∂x_i(x₁, . . . x_i−1, t, x_i+1, . . . x_N) dt 6

Z

R

∂v

∂x_i(x₁, . . . x_i−1, t, x_i+1, . . . x_N)

dt = f_i(˜x_i).

Moltiplicando, otteniamo

|v(x)|^{N −1}^N 6

N

Y

i=1

f_i(˜x_i)^{N −1}¹ .

Per [2, Lemma 9.4] abbiamo allora Z

R^N

|v|^{N −1}^N dx 6 Z

R^N N

Y

i=1

f_i(˜x_i)^{N −1}¹ dx

6

N

Y

i=1

hZ

R^{N −1}

f_i(˜x_i) d˜x_ii_{N −1}¹

=

N

Y

i=1

∂v

∂x_i

1 N −1

1 ,

da cui (3.1). Dalla definizione di m segue mN

N − 1 = (m − 1)p⁰ = p^∗.

(12)

Applicando (3.1) e la diseguaglianza di H¨older [2, Theorem 4.6], otteniamo kuk^mmN

N −1

= kvk N N −1

6

N

Y

i=1

∂v

∂x_i

1 N

1

=

N

Y

i=1

m|u|^m−1∂u

∂x_i

1 N

1

6 mkuk^m−1_(m−1)p⁰

N

Y

i=1

∂u

∂x_i

1 N

p , da cui

kuk_p^∗6 m

N

Y

i=1

∂u

∂xi

1 N

p 6 mk∇ukp.

Sia ora u ∈ W^1,p(R^N). Per il Corollario2.2esiste una successione (un) in C_c^∞(R^N) t.c. un→ u in W^1,p(R^N). Per quanto sopra, per ogni n ∈ N si ha

ku_nk_p^∗ 6 mk∇unk_p.

Per il Lemma di Fatou [2, Lemma 4.1], passando al limite abbiamo u ∈ L^p^∗(R^N) e kuk_p^∗6 Ck∇ukp,

Osservazione 3.2. Riguardando la dimostrazione del Teorema3.1, notiamo che la diseguaglianza (3.1) implica

kvk N

N −1 6 k∇vk1,

conducendo (per densit`a) a un risultato analogo per p = 1 e l’esponente critico 1^∗= _{N −1}^N . Notiamo anche che la costante di immersione C > 0 dipende solo da p, N .

Osservazione 3.3. L’esponente p^∗ `e ottimale, come prova il seguente argomento. Siano q > 1, C > 0 t.c. per ogni u ∈ C_c^∞(R^N) si abbia kuk_q 6 Ck∇ukp. Allora, fissato λ > 1 e posto u_λ(x) = u(λx), si ha u_λ∈ C_c^∞(R^N) e

ku_λk_q= λ⁻^N^qkuk_q, k∇uλk_p= λ¹⁻^N^pk∇uk_p. Applicando la diseguaglianza di immersione a uλ abbiamo

kuk_q 6 Cλ¹⁻^N^p⁺^N^q k∇uk_p,

per ogni λ > 0. Per evitare che il secondo membro tenda a 0 per λ → ∞ occorre supporre 1 −N

p + N q > 0, ovvero q 6 p^∗.

Nel caso limite p = N , l’esponente critico `e ∞, ma non viene raggiunto:

Teorema 3.4. Per ogni q ∈ [N, ∞) esiste C_q> 0 t.c. per ogni u ∈ W^1,N(R^N) kuk_q6 Cq kuk_N + k∇uk_N.

(13)

Dimostrazione. Supponiamo dapprima u ∈ C_c¹(R^N). Per ogni m > 1, ragionando come nel Teorema 3.1otteniamo

kuk^mmN

N −1 6 mkuk^m−1(m−1)N N −1

k∇uk_N, da cui per la diseguaglianza di Young [2, p. 92]

(3.2) kukmN

N −1 6 C kuk^(m−1)N

N −1

+ k∇k_N,

con C > 0 indipendente da m. Ora applichiamo un argomento ricorsivo detto bootstrap. Per m = N , (3.2) diventa

kuk N 2

N −1 6 C kukN + k∇ukN.

Ora poniamo m = N + 1, cos`ı che per (3.2) kuk(N +1)N

N −1 6 C kuk N 2 N −1

+ k∇ukN 6 C kukN + k∇ukN . . .

Cos`ı continuando, otteniamo stime delle norme di u con esponenti q_k= ^{(N +k)N}_{N −1} , che divergono per k → ∞. D’altra parte, per ogni q ∈ (q_k, q_k+1) la diseguaglianza di interpolazione [2, p. 93] fornisce

kuk_q 6 kuk^τqkkuk^1−τ_q

k+1, 1 q = τ

q_k +1 − τ q_k+1 . Dunque, per ogni q > N esiste Cq> 0 t.c.

kuk_q6 Cq kuk_N + k∇ukN.

Consideriamo ora u ∈ W^1,N(R^N). Per densit`a, ragionando come nel Teorema3.1, si conclude. Se p > N , si dimostra che (a meno di un insieme di misura nulla) le funzioni di W^1,p(R^N) sono continue e limitate:

Teorema 3.5. (Morrey) Sia p > N . Allora esiste C > 0 t.c. per ogni u ∈ W^1,p(R^N) si ha u ∈ C(R^N) e

kuk_∞6 C kukp+ k∇ukp.

Dimostrazione. Poniamo

α = 1 −N

p ∈ (0, 1).

Proviamo che esiste C > 0 t.c. per ogni u ∈ W^1,p(R^N), x, y ∈ R^N

(3.3) |u(x) − u(y)| 6 Ck∇ukp|x − y|.

Supponiamo dapprima u ∈ C_c¹(R^N). Sia Q_r ⊂ R^N un cubo (N -dimensionale) di lato r > 0 t.c.

0 ∈ Qr e osserviamo che per ogni x ∈ Qr

|u(x) − u(0)| =

Z 1 0

d

dtu(tx) dt 6

Z 1 0

N

X

i=1

|x_i|

∂u

∂xi

u(tx) dt 6 r

N

X

i=1

Z 1 0

∂u

∂x_iu(tx) dt.

(14)

Denotiamo

¯

u(Q_r) = 1

|Q_r| Z

Qr

u dx

la media integrale di u in Qr. Dalla diseguaglianza precedente e dalla diseguaglianza di H¨older segue

|¯u(Q_r) − u(0)| = 1

|Q_r| Z

Qr

|u(x) − u(0)| dx

6 r

|Q_r| Z

Qr

N

X

i=1

Z 1 0

∂u

∂xi

(tx) dt dx

= 1

r^{N −1} Z 1

0 N

X

i=1

Z

Qr

∂u

∂xi

(tx) dx dt

= 1

r^{N −1} Z 1

0 N

X

i=1

Z

tQr

∂u

∂xi

(y)

dy t^N dt

6 1

r^{N −1} Z 1

0 N

X

i=1

Z

Qr

∂u

∂xi

(y)

p

dy

¹_p

|tQ_r|^p0¹ dt t^N 6 r

N p0−N +1

k∇uk_Lp(Qr)

Z 1 0

t

N p0−N

dt

= r^α α k∇uk_p

(abbiamo usato il cambiamento di variabili y = tx, quindi le inclusioni tQ_r ⊂ Q_r ⊂ R^N). Per traslazione, per ogni cubo Qr di lato r > 0 e ogni x ∈ Qr si ha

|¯u(Qr) − u(x)| 6 r^α

α k∇uk_p.

Siano ora x, y ∈ R^N, x 6= y. Poniamo r = 2|x − y| > 0, cos`ı che esiste un cubo Qr di lato r t.c.

x, y ∈ Q_r. Si ha allora

6 2r^α α k∇uk_p

= 2^α+1

α k∇uk_p|x − y|,

da cui (3.3) con C = ²^α+1_α . Se u ∈ W^1,p(R^N), per il Corollario2.2 esiste una successione (u_n) in C_c¹(R^N) t.c. u_n → u in L^p(R^N), ∇u_n → ∇u in L^p(R^N, R^N), da cui segue (3.3). In particolare u ∈ C(R^N)

Ora dimostriamo l’immersione continua W^1,p(R^N) ,→ L^∞(R^N). Per ogni u ∈ C_c¹(R^N), c ∈ R^N fissiamo un cubo Q1⊂ R^N di lato 1 t.c. x ∈ Q1. Come sopra si ha

|u(x)| 6 |¯u(Q₁)| + Ck∇uk_p6 C kukp+ k∇uk_p, con C > 0 indipendente da u, da cui

kuk∞6 C kukp+ k∇uk_p.

Se u ∈ W^1,p(R^N), concludiamo usando il Corollario2.6.

(15)

Osservazione 3.6. In effetti la dimostrazione del Teorema3.5indica che W^1,p(R^N) ⊂ C^α(R^N), lo spazio delle funzioni α-h¨olderiane in R^N (ved. [1]). Questa inclusione, come del resto W^1,p(R^N) ⊂ C(R^N), vale a meno della scelta di una rappresentante di u ∈ W^1,p(R^N), che `e definita come una classe di equivalenza tra funzioni.

Mediante estensione, studiamo ora le immersioni per un dominio regolare Ω con frontiera limitata:

Corollario 3.7. Siano Ω un dominio regolare t.c. Γ `e limitata, p > 1. Allora:

(i) se p < N , allora W^1,p(Ω) ,→ L^q(Ω) per ogni q ∈ [p, p^∗];

(ii) se p = N , allora W^1,p(Ω) ,→ L^q(Ω) per ogni q ∈ [p, ∞);

(iii) se p > N , allora W^1,p(Ω) ,→ L^∞(Ω).

Dimostrazione. Proviamo (i). Per il Teorema 2.5 si ha W^1,p(Ω) ,→ W^1,p(R^N) (identificando E(u) = u). Per il Teorema 3.1 si ha u ∈ L^p^∗(R^N), e per le diseguaglianze di Young e di interpolazione

kuk_Lq(R^N) 6 kuk^τ_L^p_(R^N₎kuk^1−τ

L^p∗(R^N)6 Ckuk, 1 q = τ

p + 1 − τ p^∗ . Infine, chiaramente kuk_L^q_(Ω)6 kukL^q(R^N), da cui W^1,p(Ω) ,→ L^q(Ω).

Similmente si provano(ii),(iii).

Osservazione 3.8. Se Ω `e limitato, le immersioni del Corollario 3.7valgono anche per q ∈ [1, p].

Nel caso dei domini limitati, le immersioni sono anche compatte:

Teorema 3.9. (Rellich-Kondrachov) Siano Ω un dominio regolare limitato, p > 1. Allora:

(i) se p < N , allora W^1,p(Ω) ,,→ L^q(Ω) per ogni q ∈ [1, p^∗);

(ii) se p = N , allora W^1,p(Ω) ,,→ L^q(Ω) per ogni q ∈ [1, ∞);

(iii) se p > N , allora W^1,p(Ω) ,,→ L^∞(Ω).

Dimostrazione. Proviamo (i). Senza perdita di generalit`a possiamo assumere q ∈ [p, p^∗). Dal Corollario3.7 sappiamo che W^1,p(Ω) ,→ L^q(Ω). Poniamo

B =u ∈ W^1,p(Ω) : kuk 6 1 .

Per il Teorema 2.5 esiste un operatore di estensione E ∈ L(W^1,p(Ω), W^1,p(R^N)). Chiaramente E(B) `e limitato in W^!,p(R^N), quindi anche in L^q(R^N) (Teorema3.1). Per ogni h ∈ R^N definiamo un operatore (di traslazione) T_h : L^q(R^N) → L^q(R^N) ponendo per ogni v ∈ L^q(R^N), x ∈ R^N

T_h(v)(x) = v(x + h).

Fissiamo ora u ∈ B e proviamo che

(3.4) kT_hE(u) − E(u)k_p 6 |h|k∇ukp.

Infatti, supponiamo dapprima u ∈ B ∩ C¹(Ω). Si ha per il Teorema fondamentale del calcolo integrale

Z

Ω

|E(u)(x + h) − E(u)(x)|^pdx 6 Z

Ω

Z 1 0

|∇u(x + th) · h| dt

p

dx 6 |h|^p

Z

Ω

Z 1 0

|∇u(x + th)|^pdt dx 6 |h|^p

Z

Ω

|∇u|^pdx.

(16)

Per un’arbitraria u ∈ B, (3.4) segue dal Corollario2.6.

Poich´e q ∈ [p, p^∗), esiste τ ∈ (0, 1] t.c.

1 q = τ

p +1 − τ p^∗ ,

da cui per (3.4) e la diseguaglianza di interpolazione otteniamo per ogni u ∈ B kT_hE(u) − E(u)k_q6 kThE(u) − E(u)k^τ_pkT_hE(u) − E(u)k^1−τ_p∗

6 |h|^τk∇uk^τ_p(2kE(u)k_p^∗)^1−τ 6 C|h|^τ, con C > 0 indipendente da h e da u ∈ B, ovvero si ha

h→0limsup

u∈B

kT_hE(u) − E(u)k_q = 0.

Per il Teorema di Kolmogorov [2, Theorem 4.26], l’insieme B `e relativamente compatto in L^q(Ω).

Le dimostrazioni di(ii),(iii)sono analoghe.

L’immersione W^1,p(Ω) ,→ L^p^∗(Ω) non `e compatta, come anche W^1,p(Ω) ,→ L^q(Ω) se q < p^∗ e Ω non `e limitato.

Esempio 3.10. Sia ϕ ∈ C_c^∞(R^N) t.c. 0 6 ϕ(x) 6 1 per ogni x ∈ R^N, supp(ϕ) ⊂ B1. Poniamo per ogni n ∈ N, x ∈ R^N

u_n(x) = ϕ(x₁+ n, x₂, . . . x_N).

La successione (un) dimora in W^1,p(R^N) ed `e limitata in quanto kunk = kϕk. Fissato q > 1, la successione (un) non ha sottosuccessioni convergenti in L^q(R^N). Altrimenti, passando a una sottosuccessione, per quasi ogni x ∈ R^N avremmo u_n(x) → u(x), da cui u(x) = 0, mentre

kuk_q = lim

n ku_nk_q = kϕk_q > 0, assurdo.

Per gli spazi di Sobolev di ordine superiore valgono analoghi risultati di immersione, che riassumiamo nei seguenti enunciati (per le dimostrazioni ved. [2, Corollary 9.13]):

Teorema 3.11. Siano k > 2 un numero naturale, p > 1, Ω = R^N, R^N+ o un dominio regolare t.c.

Γ `e limitata. Allora:

(i) se 1 p > k

N, W^k,p(Ω) ,→ L^q(Ω) per ogni q ∈ h

p,1 p− k

N i

; (ii) se 1

p = k

N, W^k,p(Ω) ,→ L^q(Ω) per ogni q ∈ [p, ∞);

(iii) se 1 p < k

N, W^k,p(Ω) ,→ L^∞(Ω).

Teorema 3.12. Siano k > 2 un numero naturale, p > 1, Ω un dominio regolare limitato. Allora (i) se 1

p > k

N, W^k,p(Ω) ,,→ L^q(Ω) per ogni q ∈h 1,1

p− k N

; (ii) se 1

p = k

N, W^k,p(Ω) ,,→ L^q(Ω) per ogni q ∈ [1, ∞);

(iii) se 1 p < k

N, W^k,p(Ω) ,,→ L^∞(Ω).

(17)

Osservazione 3.13. Nel caso ¹_p < _N^k, poniamo h =h

k − N

p (parteintera).

Si ha allora W^k,p(R^N) ⊂ C^h(R^N), ovvero le derivate deboli (fino a un certo ordine) sono in effetti derivate classiche.

Esercizio 3.14. Completare la dimostrazione del Corollario3.7.

Esercizio 3.15. Siano Ω un dominio regolare limitato, p ∈ (1, N ), q ∈ [1, p^∗]. Dimostrare che kuk = kuk_q+ k∇uk_p

`e una norma su W^1,p(Ω) equivalente a quella usuale.

4. Gli spazi W0^1,p(Ω), H¹(Ω), H0¹(Ω)

Sappiamo dal Corollario 2.2 che C_c^∞(R^N) `e un sottospazio denso di W^1,p(R^N). Invece, per un generico dominio Ω si ha che C_c^∞(Ω) non `e denso in W^1,p(Ω) (Osservazione2.7). Introduciamo pertanto un nuovo spazio:

Definizione 4.1. Lo spazio W₀^1,p(Ω) `e l’insieme delle funzioni u ∈ W^1,p(Ω) per cui esiste una successione (un) in C_c^∞(Ω) t.c. un→ u in W^1,p(Ω).

Nella Definizione4.1 si può sostituire C_c^∞(Ω) con C_c¹(Ω). Chiaramente W₀^1,p(Ω) è un sottospazio chiuso di W^1,p(Ω), pertanto uno spazio di Banach separabile e uniformemente convesso (in particolare riflessivo), che eredita le proprietà di immersione dei Teoremi 3.7, 3.9. Osserviamo che W₀^1,p(R^N) = W^1,p(R^N). Per quanto riguarda l’operatore di estensione E ∈ L(W₀^1,p(Ω), W^1,p(R^N)), esso esiste indipendentemente dalla regolarità di Γ ed è definito semplicemente ponendo

(4.1) E(u)(x) =

(u(x) se x ∈ Ω 0 se x ∈ Ω^c.

Presentiamo alcune condizioni per individuare le funzioni di W₀^1,p(Ω)⁴: Lemma 4.2. Sia u ∈ W^1,p(Ω) t.c. supp(u) b Ω. Allora u ∈ W₀^1,p(Ω).

Dimostrazione. Esistono ω b Ω, ξ ∈ Cc¹(ω) t.c. supp(u) ⊂ ω e ξ(x) = 1 per ogni x ∈ supp(u), in particolare ξu = u. Per il Teorema2.1esiste una successione (un) in C_c^∞(R^N) t.c un→ u in L^p(Ω),

∇u_n→ ∇u in L^p(ω, R^N). Dunque si ha ξun∈ C_c¹(Ω) per ogni n ∈ N, ξun → ξu in W^1,p(Ω), da cui per la Definizione4.1 e la successiva osservazione u = ξu ∈ W₀^1,p(Ω). Proposizione 4.3. Siano Ω un dominio regolare, u ∈ W^1,p(Ω)∩C(Ω). Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

(i) u ∈ W₀^1,p(Ω);

(ii) u(x) = 0 per ogni x ∈ Γ.

Dimostrazione. Proviamo che(i)implica(ii). Consideriamo dapprima una funzione v ∈ W₀^1,p(Q+)∩

C(Q₊), e dimostriamo che per ogni (x⁰, 0) ∈ Q₀

(4.2) v(x⁰, 0) = 0.

4Quando attribuiamo a una funzione di uno spazio di Sobolev propriet`a puntuali come la continuit`a, le intendiamo sempre a meno di un insieme di misura nulla.