Acustica Degli Strumenti Musicali
In un sistema oscillante velocità e accelerazione possono essere rappresentati come seno e coseno con: e(+-iwt)=cos(wt)± isin(wt).
I numeri complessi permettono di risolvere sovrapposizioni di due moti armonici con frequenza uguale.
x1=A1ei(wt+ φ1) e x2=A2ei(wt+ φ2) → x1+x2=(A1ei( φ1)+A2ei( φ2))*eiwt=Aei(wt+ φ) A=√ ((A1cos φ1+A2cos φ2)2)+(A1sin φ1+A2sin φ2)2)
Se i moti hanno frequenza diversa non si ha un moto armonico semplice:
x=x1+x2=A1ei(w1t+ φ1)+A2ei(w2t+ φ2) w2=w1+Δw
x=A1ei(w1t+ φ1)+A2ei(w2t+Δwt+ φ2)
x=A(t)ei(w1t+f(t))
Nella realtà l'oscillazione é smorzata.
I risonatori, corpi che modificano le risposte in frequenza, sono sistemi vibranti semplici.
Il tipico risonatore di Helmholtz ha una lunghezza del collo L, una superficie di apertura S, una bolla d'aria V e un massa d'aria contenuta nel collo m.
Questa è una risonanza non strutturale ma in aria.
Quando sistemi massa-molla si accoppiano: le masse in serie si moltiplicano (2m), le molle in parallelo si moltiplicano (2K), le molle in serie di dividono (K/2).
Quando il sistema è vincolato agli estremi le masse sono vincolate tra due molle.
Flongitudinale=1/(2π)*√ (2K/m)
La frequenza trasversale per una massa tra due molle fisse è circa quella longitudinale.
La frequenza trasversale é quasi uguale a quella longitudinale per oscillazioni molto piccole.
Oscillazioni Forzate
Sono fenomeni in cui oscillazioni esterne agiscono sull'oscillatore.
Il moto della frequenza esterna deve essere uguale alla frequenza dell'oscillatore per entrare in risonanza ed avere una risposta ampia: se la frequenza é in fase ed é quella dell'oscillatore la forza é massima.
Si puó introdurre l'impedenza Z=F/v=iwm+r+1/(iwn)
Il ponticello degli strumenti é un adattatore di impedenza (fa passare alcune frequenze) é legato principalmente a massa e frequenza .
Gli strumenti hanno tante risonanze in specifiche posizoni.
Fasori=vettori che ruotano intorno alla circonferenza.
[Approfondimento: Equazione delle onde trasversali di una corda]
Violino
Le frequenze del violino a corde libere vanno da 196Hz a 660Hz.
I sistemi musicali sono una via di mezzo per quando riguarda l'impedenza: l'impedenza infinita non fa passare il suono alla tavola armonica, quella nulla rende il suono breve e impercettibile.
La corda caratterizza uno strumento interagendone con il corpo.
Le corde pizzicate formano un triangolo la cui forma è risolvibile con Fourier.
Se pizzicata (sfregata o percossa) in centro si ha la prima armonica e si otterranno solo frequenze dispari.
Una corda pizzicata cambia la forma a seconda della frequenza (il triangolo si schiaccia) perché interagisce con le onde provenienti dagli estremi.
Cambiando il punto di pizzico a 1/n non si avranno armoniche multiple di 1/n. La posizione tipica del violino è circa 1/7-1/8.
Le corde sfregate presentano andamento nel tempo legato all'angolo di Helmholtz.
L'arco tira la corda con attrito elevato, la curva è a dente di sega per gli effetti di attrito e scivolamento (la pendenza della velocità di scivolata è più elevata).
Quando l'arco è usato a metà corda le due pendenze sono uguali (onda a triangolo equilatero), se la posizione supera la metà le pendenze si invertono.
Le membrane/piastre possono presentare dei modi di vibrazione, non solo negli strumenti membrafoni, ad esempio la cassa della chitarra.
Costruendo gli strumenti bisogna cercare il tipo di scavo giusto (spessore) per un certo tipo di materiale con date caratteristiche, per poi accoppiare insiemi di sistemi vibranti.
Il violino fa parte degli strumenti ad arco: la corda è l'elemento fondamentale e le oscillazioni son di tipo trasversale, longitudinale e torsionale.
L'oscillazione torsionale é provocata dallo sfregamento per cui il corpo ruota per la componente tangenziale.
La catena corre lungo la tavola armonica e serve per irrigidirla in modo abbastanza uniforme.
Per tecniche moderne i violini hanno una catena più leggera, un ponticello più abbassato e un manico più lungo.
L'anima è un cilindro collocato sotto il ponticello, la posizione di questa cambia il timbro del suono.
Piccole variazioni della posizione dell'anima possono variare il risultato dello spettro stazionario soprattutto sulle alte frequenze.
La vernice fa da protezione e non influenza il suono fino ad altissime frequenze.
Il ponticello è sottoposto alla forza delle corde, con una direzione tangenziale alla tavola armonica. Se é disassato provoca un'oscillazione rotatoria.
L'onda provocata dallo sfregamento torna indietro con fase opposta (π).
L'arco tocca la corda non in un punto ma su una lunghezza e questo provoca onde riflesse
dovute alla differenza di pressione dell'arco.
Nella teoria una corda è un filo perfettamente flessibile, nella realtà vengono chiamate corde impropriamente perché le corde degli strumenti non sono perfettamente flessibili, sono corde reali.
Una corda puó formare una serie armonica (reale) di parziali, cioé di armoniche non precise a causa della rigiditá del materiale.
La corda sollecitata presenta una perdita di energia data da vari fattori, quali:
1. attrito interno dovuto al materiale (che dipende dalla quarta potenza del raggio) che sviluppa calore.
2. smorzamento dei supporti (il capotasto é un elemento rigido, il ponticello no per non avere impedenza elevata) che comporta un decadimento soprattutto alte frequenze.
3. corda bloccata dal dito.
4. attrito esterno.
Le corde possono essere avvolte da un filo per aumentarne la massa senza aumentare troppo la rigiditá.
La forza d'appoggio dell'arco sulla corda influenza il tipo di suono, infatti con pressioni troppo forti o troppo leggere si riscontrano irregolaritá giá nella fase di attacco per quanto riguarda le intensitá delle prime parziali.
Il movimento dell'arco (anche l'inclinazione) è importante per il risultato sonoro: il suono può essere lasciato (colpo con l'archetto) o tenuto.
Il violino riceve in input un onda a dente di sega con delle modulazioni (della corda) e il suono che ne esce è la risposta del ponte sovrapposta a quella del corpo.
L'impedenza della corda dipende anche dal materiale, predisponendolo a fornire al ponticello un certo tipo di energia.
La variazione di impedenza può essere modificata dal musicista quando suona in sordina, nel caso del violino questa è una massa piccola di legno con un' anima metallica incastrata
all'apice del ponticello per aumentare l' attenuazione soprattutto sulle frequenze più alte.
Ad ogni modo corrisponde una frequenza di risonanza vista su una corda, le frequenze di risonanza sono le onde stazionarie.
Per cambiare frequenza di risonanza si può: variare il numero delle masse (una risonanza per massa, aggiungendo masse diminuisce la prima frequenza di risposta), variare il numero delle molle (aumentando il numero delle molle aumenta la frequenza di risposta).
Se le masse del materiale sono diverse tra loro il risultato è un tipo di risonanza diverso, non omogeneo.
Nello strumento le masse possono essere considerate per esempio legate al maggiore spessore di una parte della tavola o alle parti laterali.
Ad esempio il ponticello degli strumenti ad arco è più abbassato dalla parte dell'anima, corrisponde al modello di due masse vincolate a una stessa superficie e collegate tra loro.
Per una stessa massa a seconda della superficie, se la massa è uguale la frequenza è la stessa,
ma la risposta in frequenza è differente a causa degli effetti d'aria.
La distribuzione dell'energia sonora nel corpo dello strumento non è simmetrica, infatti la catena e l'anima formano onde diverse che cambiano anche a causa della differenza di materiale tra fondo e anima.
L'accoppiamento tra tavola armonica, fondo e aria rinchiusa nella cavità determina principalmente i modi di vibrazione di un violino.
Le risonanze del violino si trovano tra 300Hz (risonanza dell'aria), 400 e 800Hz. I modi del violino sono principalmente ad X e O.
Nel risonatore di Helmholtz: f=v/(2π)*√(S/(VL)). Dove S e L sono quelli dell'apertura, V il volume del gas.
Lavorando sulle dimensioni, posizioni e forme è possibile costruire violini con risultati simili (come il violino semplificato di Savart e quello di Chanot, il primo trapezoidale).
Pianoforte
Normalmente ha 88 tasti.
Per mantenere l'armonicità soprattutto sulle basse frequenze c'è bisogno di corde lunghe e con molta massa. Non si possono usare corde in nylon avvolte, bisogna usare dei metalli a causa delle tensioni in gioco e delle armonicità.
Il pianoforte moderno permette suoni più potenti grazie alla tensione sostenibile dal telaio in ghisa anziché in legno.
Le corde del fortepiano e clavicembalo sono più lunghe e hanno un rapporto diverso rispetto al pianoforte, in più le corde (che sono più sottili) sono tutte parallele al contrario del
pianoforte dove ci sono anche due ponticelli diversi.
La tavola armonica è ricavata da più parti incollate e le varie parti possono avere concavità diverse per opporsi alla pressione delle corde sul ponticello. Sono presenti anche catenature.
Per ottenere alta intensità su corde piccole bisogna usare martelletti più duri al contrario delle corde più lunghe, quindi i martelletti non sono tutti uguali.
Per accordare un pianoforte secondo il gusto del musicista, si può agire sulla rigidità del martelletto.
L'impulso del martelletto durante la fase di contatto conferisce una forma che dipende dalle sue caratteristiche di rigidità, poi la corda vibra liberamente.
Il moto del martelletto è un lancio, non c'è accompagnamento, il tasto del pianoforte non è vincolato dalla forza della corda.
Il pianoforte crea una sensazione timbrica attraverso la velocità con cui viene schiacciato il tasto, modificando l'impulso di partenza.
Il transitorio di attacco viene governato principalmente dal martelletto.
L'agraffe è la distanza del martelletto dall'inizio della corda e anche da questa dipende il risultato sonoro, il rapporto con la distanza (d/L) aumenta con l'aumentare della frequenza.
Portando il martelletto alla posizione d/L, si forma una curva armonica dove si annulla la frequenza d/L.
Si ha preferenza a 1/8 perché all'ottava frequenza comincia a mostrarsi un comportamento inarmonico.
Il martelletto viene bloccato con un meccanismo che impedisce di rimbalzare dopo la pressione del tasto.
Un feltro smorza il movimento della corda quando il tasto non è premuto.
Rest, acceleration, let-off, check sono le fasi meccaniche di movimento del martelletto.
L'armonicità di uno strumento non è mai perfetta, dipende dalle dimensioni della corda.
Le armoniche diminuiscono di intensità all'aumentare della frequenza.
Le note quindi sono timbricamente diverse, perché quelle basse sono più calde, mentre quelle alte più metalliche perché contengono meno armoniche visto che le superiori non sarebbero udibili.
Il decadimento delle note del pianoforte è rapido il una prima fase (doppio decadimento) e più lento in una seconda.
A un tasto possono corrispondono 3 corde bloccate da un cavicchio, si può suonarne solo una per diminuire l'intensità spostando il martelletto attraverso un meccanismo.
Il cavicchio viene rotato per accordare lo strumento.
Il suono caratteristico del pianoforte è dato dalle 3 corde che sono colpite
contemporaneamente ma presentano delle diversità nell'oscillazione di ciascuna corda col passare del tempo (polarizzazioni), dovute all'irregolarità della superficie del martelletto che al contatto con le corde provoca delle oscillazioni in altre direzioni.
Questo fa si che il ponticello riceve dalle 3 corde oscillazioni non in fase che provocano un decadimento meno rapido rispetto all'inizio dove le corde sembrano in fase, perchè le corde non cooperano.
La durata media di un suono arriva a decine di secondi, per ridurre la durata bisogna lavorare sulla rigidità del ponticello diminuendola.
