Sistemi numerici

(1)

Rappresentazione di

dati numerici

(2)

Sistemi numerici

• Si suddividono in:

- Non posizionali : quali ad esempio il sistema di numerazione

romano (i cui simboli sono: I, II, III, IV, V, X, L, C, D, M) oppure quello egiziano

- Posizionali : quali ad esempio il sistema arabo (decimale) e il sistema maya (ventesimale).

• Nei sistemi posizionali le operazioni aritmetiche risultano molto agevoli mentre in quelli non posizionali sono

alquanto complicate.

(3)

Sistema posizionale a base fissa

• Nei sistemi numerici a base fissa, un numero N può essere rappresentato in uno del seguenti modi:

N = d_n-1 d_n-2... d₁ d₀. d_-1 ... d_-m

N = d_n-1· r^n-1 + ... + d₀· r⁰ + d_-1· r^-1+ ... + d_-m· r^-m

1 n

i i

i m

N d r

−

= −

= ∑ ⋅

(4)

Sistemi numerici

• Proprietà di un sistema numerico a base fissa

- è a

rango illimitato

: ogni numero intero vi può essere rappresentato;

- è a

rappresentazione unica

: ad ogni numero intero corrisponde un solo insieme ordinato di cifre;

- è

irridondante

: ad ogni insieme ordinato di cifre

corrisponde un solo numero non rappresentato da altri insiemi ordinati.

(5)

Sistema decimale

• r = 10

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

- Esempio:

101₁₀ = 1 × 10² + 0 × 10¹ + 1 × 10⁰

= 100 + 0 + 1

= 101₁₀

(6)

Sistema binario

• r = 2

• cifre: { 0, 1 }

- Esempio:

101₂ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

= 4 + 0 + 1 = 5₁₀

(7)

Sistema ottale

• r = 8

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

- Esempio:

101₈ = 1 × 8² + 0 × 8¹ + 1 × 8⁰

= 64 + 0 + 1 = 65₁₀

• molto utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 3 cifre binarie corrisponde una cifra ottale)

( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) ₂ = ( 6 6 1 ) ₈

(8)

Sistema esadecimale

• r = 16

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

- Esempio:

101_H = 1 × 16² + 0 × 16¹ + 1 × 16⁰

= 256 + 0 + 1 = 257₁₀

• anch’esso utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 4 cifre binarie corrisponde 1 cifra

esadecimale)

( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) ₂ = ( 1 B 1 )

(9)

Sistema base 5

• r = 5

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4 }

- Esempio:

101₅ = 1 × 5² + 0 × 5¹ + 1 × 5⁰

= 25 + 0 + 1 = 26₁₀

(10)

Sistema binario

• Caratteristiche

- su n cifre si rappresentano 2ⁿnumeri; ad esempio su 4 cifre:

- Prime 16 potenze del 2:

0 ... 0 1000 ... 8

1 ... 1 1001 ... 9

10 ... 2 1010 ... 10

11 ... 3 1011 ... 11

100 ... 4 1100 ... 12

101 ... 5 1101 ... 13

110 ... 6 1110 ... 14

111 ... 7 1111 ... 15

2⁰ ... 1 2⁹ ... 512

2¹ ... 2 2¹⁰ ... 1024

2² ... 4 2¹¹ ... 2048

2³ ... 8 2¹² ... 4096

2⁴ ... 16 2¹³ ... 8192

2⁵ ... 32 2¹⁴ ... 16384

2⁶ ... 64 2¹⁵ ... 32768 2⁷ ... 128 2¹⁶ ... 65536

(11)

Sistema binario

• La cifra binaria è detta bit

parola che deriva dall’unione di due elisioni:

binary digit

• I bit estremi di un numero binario si chiamano:

1 0 1 1 1 0 0 1 0 0

MSB

(Most Significant Bit)

LSB

(12)

Limiti del sistema binario

• Poiché su

n

bit si rappresentano 2ⁿ numeri, per

rappresentare la stessa grandezza occorrono molte più cifre rispetto al sistema numerico decimale.

bit simboli val. minimo val. massimo

4 16 0 15

8 256 0 255

16 65,536 0 65,535

32 4,294,967,296 0 4,294,967,295

(13)

Conversione da binario a decimale

• Si applica direttamente la definizione effettuando la somma pesata delle cifre binarie:

101₂ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

= 4 + 0 + 1

= 5

1101.1₂ = 1 ⋅ 2³ + 1 ⋅ 2² + 0 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰+ 1 ⋅ 2^-1

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5

= 13.5₁₀

(14)

Conversione da binario a decimale (2)

B) Metodo consigliato: da

0 1

2 2 2

2 1

1

...

)

( N d r d r d r d r d

V =

_n₋ ⁿ⁻

+

_n₋ ⁿ⁻

+ + +

0 1

2 3

2 1

0 1

2 3

2 2

1

0 1

2 2 2

2 1

1

) )

....

) )

(...(

. ...

) ...

(

...

) (

d r

d

d r

d

d r

d N

V

n n

n

n n

+ +

+

=

= +

+ +

=

= +

+ +

=

−

− −

mettendo in evidenza i fattori comuni, si ricava:

(15)

Conversione da binario a decimale (3)

Si deduce il seguente algoritmo:

1. Si parte dalla cifra più significativa 2. Si moltiplica per la base

3. Si somma la cifra successiva

4. Si ripete da 2. fino ad arrivare a d₀

Esempio: 1010₂ = ((1*2+0)*2+1)*2+0 = 10₁₀

(16)

Conversione da decimale a binario

N = d_n-1· r^n-1 + ... + d₀· r⁰ + d_-1· r^-1+ ... + d_-m· r^-m

• Consideriamo la sola parte intera e riscriviamo il numero binario nel modo seguente:

N = d₀ + 2 · (d₁ + 2 · (d₂+ ... + d_n-1))

• Si può osservare che dividendo N per la base 2, si ottiene un

quoziente (d₁ + r · (d₂ + ... + d_n-1)) e un resto d₀, che costituisce proprio la cifra meno significativa del numero nella base 2.

• Dividendo successivamente il quoziente per la base 2 si trova ancora un quoziente e un resto d₁, che è la cifra di peso uno cercata, e così via.

(17)

Esempio

• Esempio:

13 6 3 1 0 quozienti

1 0 1 1 resti

d₀ d₁ d₂ d₃

13₁₀ = 1101₂

(18)

Numero di bit della

rappresentazione binaria

Problema: dato N₁₀, quanti bit (n) occorrono per rappresentarlo in base 2 ?

Con n bit il massimo numero rappresentabile è:

1 2

2

1

0

max =

∑

⁻ = −

=

n n

i

N i

Con n-1 bit il massimo numero rappresentabile è:

1 2

2 ¹

2

0 '

max = ⁻ = ⁻ −

∑

ⁿ= ⁿ i

N i

(19)

rappresentazione binaria (2)

Pertanto per rappresentare un numero x tale che x ≤ 2ⁿ-1 e x > 2^n-1-1 occorrono n bit.

Esempio: 3=2²-1 < 5 < 7=2³-1: 5 si rappresenta su 3 bit (infatti 5₁₀ = 101₂).

Ora:

2^n-1-1 < x ≤ 2ⁿ-1 2^n-1 < x+1 ≤ 2ⁿ n-1 < log₂(x+1) ≤ n

(20)

n = ⎡log₂ (x+1)⎤

⎡k⎤ = intero superiore o uguale a k In generale, per una base r:

n = ⎡log_r (x+1)⎤

(21)

Dato N, il rapporto tra cifre decimali e bit occorrenti per rappresentarlo:

D / B = ⎡log₁₀(N+1)⎤ / ⎡log₂(N+1)⎤

non è costante al variare di N.

Si può però osservare che:

2¹⁰ = 1024 ≅ 1000 = 10³ → 10 bit ogni 3 cifre decimali.

Questo rapporto si mantiene per un largo intervallo di valori.

(22)

2¹⁰ = 1024 ≅ 10³ → Kilo

2²⁰ = 1.048.576 ≅ 10⁶ → Mega 2³⁰ = 1.073.741.824 ≅ 10⁹ → Giga

(23)

Conversione da decimale a binario

• Dato un numero frazionario:

N = a_-1 2^-1+ a_-2 2^-2 + ... + a_-m 2^-m

• moltiplicando N per la base 2, si ricava come parte intera la cifra a_-1, cioè la prima cifra binaria.

• Eliminata questa parte intera, moltiplicando quanto resta ancora per 2, si ricava come parte intera a_-2, ecc.

• Le parti intere, scritte nel medesimo ordine con cui sono state ricavate, rappresentano il numero frazionario

binario cercato.

(24)

Esempio

• Regola: si moltiplica per due la parte frazionaria e si

prende la cifra intera prodotta dal risultato proseguendo fino alla precisione richiesta.

- Esempio: 0.34 x 2

0.68 x 0.34₁₀= 0.0101₂

2 1.36 x

2 0.72 x

2

1.44 ecc. 13.34₁₀= 1101.0101₂

(25)

Per convertire un numero con parte intera e parte

frazionaria, si convertono separatamente le due parti e poi si giustappongono.

Esempio: 25.8125₁₀ = (?)₂

25₁₀ = 11001₂ (metodo delle divisioni successive) 0.8125₁₀ = 0.1101₂ (metodo dei prodotti successivi) 25.8125₁₀ = (11001.1101)₂

(26)

Conversioni tra sistemi in base qualsiasi

• E’ ovvio che le regole di conversione decimale-binario

sono del tutto generali e valgono qualsiasi siano i sistemi numerici coinvolti.

• Ad esempio per convertire il numero decimale 365 in base 7 si divide per 7:

365 52 7 1 0 1 3 0 1

365₁₀= 1031₇

(27)

Operazioni aritmetiche

• Le operazioni aritmetiche in un qualsiasi sistema

numerico si possono eseguire nello stesso identico modo che conosciamo così bene per il sistema numerico

decimale.

• L’avvertenza è solo quella di costruire la “tabellina”

opportuna per quel particolare sistema numerico: si

ricordi che la tabellina per il sistema numerico decimale ce la siamo studiata a memoria sin dall’infanzia!!!!

• Il nostro interesse è però particolarmente concentrato sul sistema numerico binario e sono proprio le operazioni

aritmetiche in binario che affronteremo ora.

(28)

Somma in binario

• Regole base:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 con riporto (carry) di 1

• Si effettuano le somme parziali tra i bit dello stesso peso, propagando gli eventuali riporti:

1 1

0 1 1 0 + 6 + 0 1 1 1 = 7 = 1 1 0 1 13

(29)

Somma completa

• La somma completa (full addition) tiene conto del riporto per cui si sommano due bit ed un carry ottenendo come risultato

un bit di somma

e

un bit di riporto

A B Carry S Rip

0 0 0 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 1 0

1 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 1 0 1

1 1 1 1 1

(30)

Sottrazione in binario

• Regole base:

0 – 0 = 0

0 – 1 = 1 con prestito (borrow) di 1 1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

• Si eseguono le sottrazioni bit a bit tenendo conto dei prestiti:

1

1 1 0 0 - 12 -

1 0 1 0 = 10 = 0 0 1 0 2

(31)

Sottrazione completa

• Analogamente alla somma, è possibile definire la sottrazione completa (sottrazione tra due bit ed un borrow )

A B Borrow S Prest

0 0 0 0 0

0 1 0 1 1

1 0 0 1 0

1 1 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 1 0 1

1 0 1 0 0

1 1 1 1 1

(32)

Moltiplicazione in binario

• Il prodotto tra due numeri binari si può calcolare con la tecnica già nota per i numeri in base 10, detta della

somma e scorrimento

.

- Esempio:

1 0 1 1 x 11 x 1 0 1 = 5 = 1 0 1 1 55 0 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1 1 1

• Nella pratica si usano accorgimenti particolari basati sull’operazione di scorrimento (

shift

).

(33)

Divisione in binario

• Come per le altre operazioni applichiamo le stesse regole che usiamo col sistema decimale:

- Esempio:

1 0 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 21 / 3 = 7 1 0 1

0 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1

1 1 0 0

(34)

L’operazione di shift

• Equivale ad una moltiplicazione o divisione per la base.

• Consiste nel “

far scorrere

” i bit (a sinistra o a destra) inserendo opportuni valori nei posti lasciati liberi.

• In decimale equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 10.

• In binario equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 2.

(35)

Shift a sinistra

• Si inserisce come LSB un bit a zero

• Equivale ad una moltiplicazione per due 0011 « 1 = 0110 ( 3 × 2 = 6 )

0011 « 2 = 1100 ( 3 × 2² = 12 ) 0011 « 3 = 11000 ( 3 × 2³ = 24 )

0 0 1 1

0 1 1 0

« 1 (shift a sinistra di 1 posizione)

0

(36)

Shift a destra

• Si inserisce come MSB un bit a zero

• Equivale ad una divisione per due

0110 » 1 = 0011 ( 6 : 2 = 3 )

0110 » 2 = 0001 ( 6 : 4 = 1 ) troncamento!

0 1 1 0

»

¹(shift a destra di 1 posizione) 0

(37)

Moltiplicazioni

• Una qualsiasi moltiplicazione tra due numeri può essere trasformata in una serie di shift e di somme, operazioni che vengono eseguite molto velocemente dai

microprocessori.

• Ad esempio il prodotto 14 x 13 diventa:

14 · 13 = 14 · (8 + 4 + 1) = 14 · 8 + 14 · 4 + 14 · 1

14₁₀ = 1110₂ 1 1 1 1

1110000 + 1110 « 3 + 1110 « 2 + 1110 111000 + 1110 = 10110110

(38)

Limiti della rappresentazione

• Quando scriviamo sulla carta non ci preoccupiamo quasi mai della grandezza dei numeri (a meno di particolari necessità).

• Nelle macchine numeriche un numero deve essere rappresentato in un particolare dispositivo elettronico interno che si chiama registro ed è paragonabile ad una cella di memoria.

• Caratteristica fondamentale di questo dispositivo è la sua dimensione (numero di bit) stabilita in sede di progetto:

ovvero in un elaboratore potremo rappresentare solo una quantità limitata di numeri.

(39)

Limiti della rappresentazione

• Ad esempio se il nostro contenitore (registro) è lungo 5 bit:

potremo rappresentare solamente i numeri binari compresi tra 0

0 0 0 0 0 e 31

1 1 1 1 1

• Inoltre dovremo in qualche modo introdurre il segno dei numeri!

(40)

I numeri con segno

• Oltre al problema relativo al valore del numero bisogna trovare il modo di rappresentare il segno.

• Il segno dei numeri può essere solo di due tipi:

positivo ( + ) negativo ( - )

• Sembrerebbe quindi facile rappresentarlo in binario, tuttavia la soluzione più semplice (1 bit riservato al segno) non è sempre conveniente.

• Per tener conto del segno anziché il sistema numerico binario si utilizzano dei

codici binari

che hanno tuttavia come base, ovviamente, il sistema numerico binario.

(41)

Modulo e segno

• Su N bit, un bit è destinato al segno (in binario 0 = +, 1 = -) e N-1 bit al valore assoluto (anche detto

modulo

)

S modulo

• E’ un codice che ricorda molto il nostro modo di rappresentare i numeri sulla carta.

• Presenta però gravi svantaggi dovuti alla doppia

rappresentazione dello zero (esistono e sono leciti infatti sia + 0, che - 0) e alla complessità delle operazioni

aritmetiche.

(42)

Modulo e segno

• Esempi - usando una codifica su quattro bit:

+ 3₁₀ → 0011_MS

− 3₁₀→ 1011_MS

• Si ha una doppia rappresentazione dello zero:

0000_MS→ + 0₁₀ 1000_MS→ − 0₁₀

• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:

- ( 2^N-1- 1 ) ≤

x

≤ + ( 2^N-1- 1 )

8 bit => [ -127 ÷ +127 ]

16 bit => [ -32.767 ÷ +32.767 ]

(43)

Complemento a 1

• Considerando numeri binari di

n

bit, si definisce

complemento a uno

di un numero A la quantità:

A = 2ⁿ - 1 – A

• Viene anche detto semplicemente complemento.

• Regola pratica:

il complemento a uno di un numero binario A si ottiene cambiando il valore di tutti i suoi bit (complementando ogni bit)

- Esempio:

A = 1011 → A = 0100

(44)

Complemento a 2

• Considerando numeri binari di

n

bit, si definisce

complemento a due

di un numero A la quantità:

A = 2ⁿ – A Regola pratica:

il complemento a due di un numero binario A si ottiene sommando uno al suo complemento (a uno)

- Esempio:

A = 1011 → A = 0100 → A = 0101

(45)

Complemento a 2

• E’ usato per rappresentare numeri relativi:

( A ≥ 0 ) 0 A₂ (= A_MS)

( A < 0 ) complemento a 2 di A

• In questo modo l’MSB indica il segno: 0 = +, 1 = -

• Regola alternativa per la determimazione del complemento a due:

si parte da destra, si lasciano inalterati tutti gli zeri fino al primo uno che si lascia inalterato, si complementano tutti gli altri bit

• Esempio:

A = 001101001000; A = 110010111000

(46)

Complemento a 2

• Esempio - usando una codifica su 4 bit:

+ 3₁₀→ 0 ( 3₂) → 0011_CA2

- 3₁₀→ - 0011 → 1100 + 1 → 1101_CA2

• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:

- ( 2^N-1 ) ≤

x

≤ + ( 2^N-1- 1 )

8 bit => [ -128 ÷ +127 ]

16 bit => [ -32.768 ÷ +32.767 ]

(47)

Somma e sottrazione in complemento a 2

• La somma si effettua direttamente, senza badare ai segni degli operandi, come fossero due normali numeri binari.

• La sottrazione si effettua sommando al minuendo il complemento a 2 del sottraendo:

A – B → A + (- B) ovvero: A + B

• Esempio:

0 1 0 1 0 + 10 + 1 0 1 0 0 = - 12 = 1 1 1 1 0 - 2

(48)

Overflow

• Si usa il termine

overflow

per indicare l’errore che si verifica in un sistema di calcolo automatico

quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile con la medesima codifica e numero di bit degli operandi.

• Nella somma in binario puro si ha overflow quando si opera con un numero fisso di bit e si genera un riporto (carry) sul bit più significativo (MSB, quello più a sinistra).

Esempio: somma tra numeri di 4 bit in

binario puro

0 1 0 1 +

1 1 1 0 = overflow! → 1 0 0 1 1

(49)

Overflow in complemento a 2

1. Operandi con segno discorde:

- non si può mai verificare overflow!!!!!

2. Operandi con segno concorde:

- c’è overflow quando il risultato ha segno discorde da quello dei due operandi

3. In ogni caso, si trascura sempre il carry (riporto) oltre il MSB

Esempi:

0 1 0 1 + 1 1 1 0 +

0 1 0 0 = 1 1 0 1 =

1 0 0 1 1 1 0 1 1 =

carry, risultato OK

(50)

Fixed-point

• Si usa un numero fisso di bit per la parte intera e per quella frazionaria (e non si rappresenta la virgola!)

• Ad esempio (4 + 4 bit, binario puro):

15.9375 = 11111111 0.0625 = 00000001

virgola sottintesa

(51)

Fixed-point

• Vantaggi:

- gli operandi sono allineati per cui le operazioni aritmetiche risultano facili ed immediate;

- la precisione assoluta è fissa

• Svantaggi:

- l’intervallo di valori rappresentati è assai modesto

- la precisione dei numeri frazionari rappresentati molto scarsa

• Utilizzo tipico:

- DSP (Digital Signal Processor)

- Sistemi digitali per applicazioni specifiche (special-purpose) - Numeri interi nei calcolatori

(52)

Rappresentazione di numeri interi

• A causa dell’estrema semplicità che presentano le

operazioni aritmetiche in complemento a 2, in tutte le

macchine numeriche i numeri interi vengono rappresentati in questo codice.

• Il numero di bit utilizzati dipende dalla macchina: si tratta generalmente di 16 bit (

interi corti

) o 32 bit (

interi lunghi

).

• La rappresentazione è nota col nome di fixed-point e il punto frazionario è supposto all’estrema destra della sequenza di bit (parte frazionaria nulla).

(53)

Rappresentazione di numeri reali

• Le rappresentazioni fin qui considerate hanno il pregio di rappresentare esattamente i numeri (almeno quelli interi) ma richiedono un numero di bit esorbitante quando il

numero da rappresentare ha valore elevato.

• La rappresentazione dei numeri frazionari che deriva dai codici precedenti, ovvero in fixed point, a causa delle forti approssimazioni che impone è usata raramente.

• Generalmente viene utilizzato un apposito codice noto come floating point che consente di rappresentare in un numero limitato di bit grandezze di qualsiasi valore anche se condizionate da approssimazioni più o meno elevate.

(54)

Rappresentazione di numeri in floating point

Realizza un compromesso tra l'intervallo dei valori rappresentati e la precisione della rappresentazione.

Utilizza una notazione del tipo mantissa + esponente dove il numero di bit dedicati

• alla mantissa influisce sulla precisione

• all' esponente influisce sull' ampiezza

dell'inter-vallo di valori rappresentabili

(55)

La notazione scientifica

• Numeri in virgola fissa su 6 cifre decimali. Intervallo esprimibile:

0 ÷ 999999 (≅ 10

⁶

)

• Numeri in notazione scientifica su 6 cifre. Forma:

X.YYY⋅10

^WW

• Dove la parte intera X esprime la quantità, il numero di cifre della parte frazionaria YYY la precisione,

l’esponente WW l’ordine di

grandezza.

(56)

La notazione scientifica (2)

• Intervallo di valori espressi:

0 (0.000⋅10

⁰

) ÷ 10

¹⁰⁰

(9.999⋅10

⁹⁹

)

• Con 6 cifre, si rappresentano sempre 10

⁶

numeri differenti, ma

– Nella rappresentazione in virgola fissa, sono equispaziati

– Nella rappresentazione in virgola mobile, non sono distribuiti uniformemente: vicino allo zero, i numeri differiscono di 10^-3; vicino al valore massimo, differiscono di 10^-3⋅10⁹⁹= 10⁹⁶.

(57)

Standard IEEE P754

Definisce i formati per la rappresentazione dei numeri in virgola mobile ma anche:

• le conversioni tra formati floating point differenti;

• le conversioni tra numeri f. p. ed interi o numeri rappresentati in codice BCD;

• i risultati delle operazioni aritmetiche;

• i metodi di trattamento di situazioni di

eccezione (es. divisione per zero, errori di

overflow, under-flow etc.).

(58)

Single basic format P754 (32 bit)

I numeri sono pensati nella forma normalizzata:

X = (-1) s _(1.m)2 e dove:

• s è il bit di segno;

• e è l'esponente rappresentato in codice

eccesso 127 (cioè esponente vero + 127)

su 8 bit ( -126 ≤ e ≤ 127);

(59)

Single basic format P754 (32 bit)

• m è la mantissa rappresentata in forma normalizzata su 23 bit in modo che il primo bit abbia peso 2

^-1

;(il bit 2

⁰

sempre uguale a 1 non viene rappresentato ed è detto hidden bit)

Esempio:

13.25

₁₀

va trasformato nella forma normalizzata:

+1101.01

₂

= +1.10101

₂

⋅2

³

(60)

Struttura della

rappresentazione single basic format

s e m

11.75

₁₀

= 1011.11

₂

**= 1.01111*2**

³

⇒ ^{s = 0} e = 10000010 m = 01111....

Esempio: rappresentare 11.75

₁₀

in P754 s.b.f.

0 10000010 01111000000000000000000

(61)

Caratteristiche della

rappresentazione P754 su 32

Range della rappresentazione: si bit

considerano i valori assoluti dei numeri normalizzati rappresentabili:

N

_max

= 1.111... ·2

¹²⁷

= 3.4 · 10

³⁸

N

_min

= 1.000... ·2

^-126

= 1.17 · 10

^-38

Precisione della rappresentazione: due valori rappresentabili e consecutivi differiscono per 2

^e-23

dove “e” è

l’esponente vero (non in codice eccesso

127)

(62)

Distribuzione dei numeri in f.p.

1 2 4 8

-1 -2

- 4 - 8

1.0..*

2⁰

1.0..*

2¹

1.0..*

2²

1.0..*

2³

2²³numeri 2²³numeri

(63)

Interpretazione di un numero f.p.

Sia s il bit del segno, e l’esponente, f la parte frazionaria.

• Se e = 0 ed f = 0, il valore è (-1)

^s

⋅0, cioè +0 oppure -0

• Se e = 0 ed f ≠ 0, è una forma

denormalizzata (esempio: si

possono rappresentare gli interi su

(64)

Interpretazione di un numero f.p. (2)

• Se 0 < e < 255, è una forma normalizzata e il valore è

(-1)

^s

⋅(1.f)⋅2

^(e-127)

• Se e = 255 ed f ≠ 0, si rappresenta (-1)

^s

(∞)

cioè un numero infinitamente

grande o infinitamente piccolo

(65)

Interpretazione di un numero f.p. (3)

• Se e = 255 ed f = 0, non si tratta di un numero valido (not a number,

NAN): permette di codificare condizioni particolari, quali operazione non valida, overflow,

ecc.

(66)

Operazioni in f.p.

Gli operandi sono da riportare nella forma:

±1.xxxxx…x⋅2

^a

±1.yyyyy…y⋅2

^b

dove a e b sono gli esponenti eccesso 127

SOMMA – SOTTRAZIONE

Si eseguono le operazioni con gli

algoritmi del modulo e segno.

(67)

Operazioni in f.p. (2)

Si devono allineare i numeri rispetto al punto decimale, riportandoli allo stesso esponente. Si fa scorrere a destra il valore minore (in modulo) di un numero di posizioni pari alla differenza degli esponenti.

La differenza degli esponenti si può fare direttamente sui valori eccesso 127: (a’+127)-(b’+127) = a’-b’.

L’esponente del risultato è quello

del modulo maggiore.

(68)

Operazioni in f.p. (3)

PRODOTTO

Si sommano gli esponenti normalizzati e si sottrae 127:

(a’+127) + (b’+127) = (a’+b’+127)+127.

Si moltiplicano le mantisse di 24 bit, ottenendo il prodotto su 48 bit: il risultato deve essere troncato ai 24 bit più significativi (precisione di 2

^-

23

).

Può essere richiesta una ri-

normalizzazione: 1.x… ⋅ 1.y… < 100

₂

(69)

Operazioni in f.p. (4)

DIVISIONE

Si sottraggono gli esponenti normalizzati e si somma 127:

(a’+127) - (b’+127) = (a’-b’).

Il dividendo, di 24 bit, si estende a 48 bit, inserendo zeri a destra, e si divide per il divisore, di 24 bit: il risultato, di 24 bit, ha la precisione di 2

^-23

.

Può essere richiesta una ri-

normalizzazione.

(70)

Osservazioni sul f.p.

I risultati delle operazioni in f.p.

possono dipendere dall’ordine di esecuzione.

Esempio

10

¹⁶

+ 2 - 10

¹⁶

e

10

¹⁶

- 10

¹⁶

+ 2

danno risultati diversi.

(71)

Osservazioni sul f.p. (2)

In generale, in f.p. vale a + b = a se

a / b > 2

²⁴

≅ 16⋅10

⁶

Esempio:

non ha senso incrementare di uno un valore positivo a se a è molto maggiore di 1.

6

24 16 10

2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a 24 6

10 16 2 ≅ ⋅ b〉

a

(72)

Floating-point

• E’ basata sul formato esponenziale (

notazione scientifica

) N = mantissa ⋅ base ^esponente

- Ricorda le notazioni:

standard 3.5 × 10⁴ 3.5E+4 scientifico 0.35 × 10⁵ 0.35E+5

• Nei sistemi di elaborazione

- Base = 2

- Mantissa ed esponente sono rappresentati in binario

(73)

Floating-point

• Vantaggi:

- grande intervallo di valori rappresentabili - errore relativo fisso

• Svantaggi:

- operandi non allineati per cui le operazioni aritmetiche risultano molto complesse

- errore assoluto variabile e dipendente dal valore del numero

• E’ la rappresentazione utilizzata da tutti i calcolatori

elettronici per rappresentare i numeri frazionari ed è stata standardizzata dall’IEEE.

(74)

Formato IEEE-P754

• Standard IEEE per il floating-point:

- Rappresentazione binaria di mantissa

esponente segno

• Singola precisione: 32 bit (float)

• Doppia precisione: 64 bit (double)

23 bit 8 bit

esponente

segno mantissa

1 bit

52 bit 11 bit

esponente

segno mantissa

1 bit

precisione: circa 7 cifre decimali

precisione: circa 17 cifre decimali

(75)

Overflow e Underflow

• A causa della precisione variabile è possibile avere errori di rappresentazione:

- numeri troppo grandi: overflow - numeri troppo piccoli: underflow

Esempio: IEEE P754

-10³⁸ -10^-38 0 10^-38 10³⁸

overflow

underflow

(76)

Rappresentazioni di dati non numerici

• Qualunque insieme finito di oggetti può essere

codificato

tramite valori numerici associando ad ogni oggetto un

codice

(ad esempio un numero intero).

• Nel sistema numerico binario per rappresentare K oggetti distinti occorre un numero minimo di bit pari a:

N = ⎡ log₂ K ⎤

(77)

Caratteri

• E’ sicuramente il tipo di informazione più scambiata:

occorre pertanto una codifica standard.

- la più usata fa riferimento al codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

- in passato era molto diffuso il codice EBCDIC (Extended BCD Interchange Code)

- codice UNICODE

(78)

Codice ASCII

• E’ usato anche nelle telecomunicazioni.

• Usa 8 bit per rappresentare:

- i 52 caratteri alfabetici (a ÷ z , A ÷ Z) - le 10 cifre (0 ÷ 9)

- i segni di interpunzione (,;:!?&%=+-/ ecc.) - un gruppo di caratteri di controllo tra cui:

CR ( 13 ) Carriage Return

LF,NL ( 10 ) New Line, Line Feed FF,NP ( 12 ) New Page, Form Feed HT ( 9 ) Horizontal Tab

VT ( 11 ) Vertical Tab NUL ( 0 ) Null

BEL ( 7 ) Bell

EOT ( 4 ) End-Of-Transmission

(79)

Codice ASCII

• Ad esempio per rappresentare il messaggio “Auguri a tutti!” è necessaria la seguente sequenza:

01000001 A 00100000 spazio

01110101 u 01110100 t

01100111 g 01110101 u

01110101 u 01110100 t

01110010 r 01110100 t

01101001 i 01101001 i

00100000 spazio 00100001 ! 01100001 a

(80)