Integrali curvilinei di prima specie o integrale curvilineo al differenziale d’arco

(1)

Integrali curvilinei di prima specie o integrale curvilineo al differenziale d’arco

Consideriamo la superficie gobba  di equazione ^z ^ ^{f x y}   ^, e sia D il suo insieme di esistenza.

Consideriamo poi la curva  (avente sostegno ) di equazioni:

 

: x x t  

y y t

 ^ _ ^

  t

_o

 t  t

₁

Proiettiamo ortogonalmente sulla superficie  tutti i punti di ; otteniamo una curva 

₁

che giace per intero sulla superficie  . Col simbolo   ^,

o

t

f x y ds

 intendiamo riferirci a quell’integrale curvilineo che va sotto il nome di integrale curvilineo al differenziale della lunghezza d’arco, dove d s rappresenta l’elemento infinitesimo di lunghezza della curva  considerata. Abbiamo visto che risulta: d s  [ ( )] x t  ²  [ ( )] y t  ²  dt

y

x

z

O

 z  f x y ( , )

D



1

Esistono anche integrali curvilinei scritti così:  ^{f x y dx}   ^, oppure  ^{f x y dy}   ^,

detti rispettivamente integrali curvilinei in dx ed integrali curvilinei in dy .

Con l‘integrale curvilineo al differenziale d’arco vogliamo trovare un integrale

definito che è una generalizzazione in R

³

dell’integrale definito introdotto precedentemente in R

²

.

Come si vede l’interpretazione geometrica di integrale curvilineo è sempre la stessa: area al di

sotto del grafico di una funzione (nel nostro caso quella colorata).

(2)

Tutto quello che dobbiamo fare è mettere al posto dell’incremento infinitesimo di una variabile rettilinea (perché il dx sta su una retta) l’incremento infinitesimo d s di una coordinata curvilinea (l’ascissa curvilinea s). Per completare la definizione bisogna dire che il valore ^{f x y}   ^, ^{non va}

calcolato in tutti i punti del piano x y ma esclusivamente nei punti che siano proiezione ortogonale della curva  sulla superficie  .

  ^, [ ( ), ( )) [ ( ), ( )] [ ( )] ² [ ( )] ²

o o

t t

f x y ds f x t y t ds f x t y t x t y t dt



 

     

  

Infatti, la variabile x non è una x qualsiasi ma deve essere espressa mediante la legge che ci dà la nostra curva  e lo stesso deve verificarsi per la variabile y .

Il primo elemento dell’integrale curvilineo sarà rappresentato da una certa variabile reale t la quale serve per costruire una funzione vettoriale ^ ^{( )} ^t ^  ^{x t} ^{( ) , ( )} ^{y t}  ^ ^{x t i} ^{( )} ^{ } ^ ^{y t} ^{( )} ^ ^ ^j

che ha come grafico la curva di base che abbiamo chiamato  ( ) t : t   ( ) : t R  R

²

cioè  ( ) t è una funzione che ad ogni t [ , ] t

_o

t associa il punto P x t [ ( ) , ( )] di R y t

²

.

Il secondo elemento necessario sarà rappresentato dalla funzione ƒ che fornisce la superficie

 . Essa è una funzione definita in un insieme D di due variabili, quindi il suo insieme di definizione è un sottoinsieme del piano x y cioè di R

²

.

Allora ƒ è una funzione che va da R

²

 R : ^{f x y}   ^, ^: ^R

²

^ ^R

Ricordando che: ^ ^   ^t  ^{[ ( )]} ^{x t} ^ ²  ^{[ ( )]} ^{y t} ^ ² possiamo scrivere:

  ^, [ ( ), ( ))   [ ( ), ( )] [ ( )] ² [ ( )] ²

o o

t t

f x y ds f x t y t t dt f x t y t x t y t dt



   

      

  

Questo integrale prende il nome di integrale curvilineo al differenziale d’arco ed il suo significato è quello di area (colorata nel disegno)

Proprietà additiva rispetto alla curva d’integrazione Se   

₁

 

₂

con 

₁

 

₂

  allora

1 2

f d s f d s f d s

  

 

  

Proprietà di linearità rispetto alla funzione integranda

 ^f ^{f ds}  ^{f ds} ^{f ds}

  

      

  

(3)

Elenchiamo le formule da applicare per calcolare l‘integrale curvilineo di prima specie della funzione ^{f x y}   ^, su una curva  dello spazio a due dimensioni R

²

 

: x x t  

y y t

 ^ _ ^

  a   t b

 



^,



2 2

, [ ( ), ( )) [ ( ), ( )] [ ( )] [ ( )]

b b

A B a a

f x y ds f x t y t ds f x t y t x t y t dt



 

     

  

 

 : y  g x x

_A

 x  x

_B

d s  1  [ g x  ( )]

²

 dx

 

²

( , )

, [ , ( )] 1 [ ( )]

A B

f x y ds f x g x g x dx



    

 

 :    ( )  

_A

   

_B

^x

y sin sin

 

 



 

cos ( ) cos ( )

  

d x sin d

d y sin d

  

  

 



[ ( ) cos ( ) ]

[ ( ) ( ) cos ]

 

    

     ds  ( dx )

²

 ( dy )

²

 [   ( )] 

²

  ( )] 

²

 d 

 

2 2

,

, [ cos , sin ) [ [ cos , sin )] [ ( )] ( )]

B B

A A

A B

f x y ds f ds f f d d



     

 

             

  

Elenchiamo le formule da applicare per calcolare l‘integrale curvilineo di prima specie della funzione ^{f x y z}  ^{, ,}  su una curva  dello spazio a tre dimensioni R

³

 

:

x x t y y t z z t





 

 

  

a   t b ds  [ ( )] x t  ²  [ ( )] y t  ²  [ ( )] z t  ²  dt

 

dx x t dt dy y t dt dz z t dt

 

 

 

   



 

2 2 2

, , [ ( ), ( ), ( )) [ ( ), ( ), ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]

,

b b

f x y z ds f x t y t z t ds f x t y t z t x t y t z t dt

a a

 A B ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

: ( )

( ) y g x z p x

 ^ _{ } ^

 x

_A

  x x

_B

 

2 2

, , [ , ( ), ( )] 1 [ ( )] [ ( )]

,

B

A

x

f x y z ds f x g x p x g x p x dx

 A B ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

(4)

Calcolare  ( x  y ds )



dove  è il perimetro del triangolo di vertici ^{O 0 0}   ^, ^, ^{A 1 0}   ^, ^, ^{B 0 1}   ^, ¹

Calcoliamo l’integrale curvilineo proposto percorrendo il

perimetro del triangolo OAB in senso antiorario. ^o ^A(1,0) B(0,1)

x y



1



2



3

equazioni parametriche del segmento OA orientato da O verso B



₁

: x t 0 y



 



0 t 1

O A

 

  d s  d t

equazioni parametriche del segmento AB orientato da A verso B



₂

: x ¹ t

y t

 



 



0 t 1

A B

 

  d s  2  d t

equazioni parametriche del segmento BO orientato da B verso O



₃

⁰

: x 1

y t



 

 



0 t 1

B O

 

  d s  d t

Complessivamente avremo:

1 1 1

 

0 0 0

( x y ds ) t 1 0 dt 1 1 1 dt 1 t 0 1 dt



        

    ⁼

=

² ¹ ¹

 

² ¹

0

0 0

1 1 1

2 2 1 2

2 2 2 2

t t

t   

              

   

     

 

A B A

x x x x t

y y y y t

  

 

  



0   1

 t 

A B equazioni parametriche del segmento AB orientato da A verso B

1

Lonzi 19 giugno 1992

(5)

Calcolare l’integrale  e

^x²^^y²

 d s



esteso alla frontiera , percorsa in senso antiorario, del settore circolare nel primo quadrante, di vertice l’origine O, di ampiezza 

4 ed avente come primo estremo dell’arco il

punto A( , ) 1 0 . ^x

y

o A

B A(1,0)

B 2

2 2 , 2



  

 

 4

Indicato con B 2 2

2 , 2



  

  l’altro estremo dell’arco, abbiamo:

OA : ^x ^x  ^x ^{x t} 

y

o A o

  



 

 0 ^x ^t

y



 

 0

0   1

 

t

O A d s  dt

AB : ^x ^t y sin t



 



cos

0

4  

 

t

A B



^   ^{ }

 

 



x t sin t

y t ( ) cos t ds  x   

²

y dt

²

 sin t

²

 cos

²

tdt  dt

BO :  

 

x x x x t

y y y y t

B o B

  

 





x t

y t

 



 



 

2 2

2 2 2 2

2 2

0   1

 t 

B O

 

  



 



 

x t

y t

2 2

2 2 ( )

ds  1  dt  dt 2

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3

1 4 1

1

0 0 0

x y x y x y x y t t t

e d s e d s e d s e d s e dt e dt e dt



   



 



 



 



  



      

2 2

4 4

1 1 1 2 3

x y

e d s e e e e e

 





         



2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

0 0 0

sin 1 cos 2

sin cos sin

sin cos 2

x t t

ds t t d t t d t d ta

x y t t

  



       

 

   

2 2

0

1 1

sin 2

2 4

x ds t t

x y





  

    

  



: cos sin

x t

y t

 ^ _{ } ^



0   2

 t 

A A



  ^sin

( ) cos

x t t

y t t

 

 

  

2 2 2 2

sin cos

ds  x   y dt   t  tdt dt 

y

o x

A 1

1



(6)

Integrali curvilinei di prima specie o integrale curvilineo al differenziale d’arco