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Un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull’asta, in modo che il punto di contatto D non esca dall’asta

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Academic year: 2021

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Prova scritta di Meccanica Analitica Appello del 14 luglio 2017

1) Un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 8R `e libera di ruotare attorno al suo baricentro, fisso nell’origine di un sistema di riferimento piano Oxy. Un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull’asta, in modo che il punto di contatto D non esca dall’asta.

Si denoti con ξ la lunghezza con segno del vettore (D − O) e con θ l’angolo tra la parte positiva dell’asse delle ascisse e l’asta.

Su tutto il sistema agisce la forza peso e sul centro C del disco agisce una forza elastica di coefficiente k > 0 e polo il punto O. Supposti i vincoli lisci, si chiede di:

(a) trovare le posizioni di equilibrio ordinarie del sistema;

(b) discuterne la stabilit`a in funzione di λ = mg kR; (c) trovare le eventuali posizioni di equilibrio di confine;

(d) determinare l’energia cinetica del sistema.

O y

C

B

A

m, 8R

m, R

x ϑ

ξ D

2) Determinare per quali valori di k ∈ R la trasformazione (Q(q, p) = kqp

P (q, p) = log(kp) − log q

`e canonica e trovarne una funzione generatrice del tipo F (q, P ).

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