C
ALCOLO DELLEP
ROBABILITÀP
ROVA SCRITTA DEL23/6/2009
Esercizio 1
(1.1) Si definisca l’indipendenza di tre eventi.
Sapendo che A, B e C sono tre eventi tali che P(A) = 0.4 = P(B), P(C) = 0.5, P(A∩B) = 0.16, P(A∩C) = 0.2, P(B | C) = 0.4 e P(B | A∩C) = 0.5,
(1.2) si stabilisca se i tre eventi A, B e C sono indipendenti, motivando la risposta;
(1.3) si calcolino P(A∩B∩C) e P(B∩C);
(1.4) si stabilisca se gli eventi A, B e C sono a due a due incompatibili, motivando la risposta;
(1.5) si calcoli P(A∪B∪C).
Soluzione
(1.1) A, B e C si dicono indipendenti se P(A∩B) = P(A) P(B), P(A∩C) = P(A) P(C), P(B∩C) = P(B) P(C) e P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C).
A, B e C sono tre eventi tali che P(A) = 0.4 = P(B), P(C) = 0.5, P(A∩B) = 0.16, P(A∩C) = 0.2, P(B|C) = 0.4 e P(B|A∩C) = 0.5.
(1.2) I tre eventi A, B e C non sono indipendenti perché P(B|A∩C) ≠ P(B).
(1.3) P(A∩B∩C) = P(B|A∩C) P(A∩C) = (0.5) (0.2) = 0.1;
P(B∩C) = P(B) P(C) = (0.4) (0.5) = 0.2.
(1.4) A, B e C non sono a due a due incompatibili [...].
(1.5) P(A∪B∪C) = P(A∪B) + P(C) − P[(A∪B)∩C]
= P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P[(A∩C)∪(B∩C)]
= P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C)
= 0.4 + 0.4 + 0.5 − 0.16 − 0.2 − 0.2 + 0.1 = 0.84.
Esercizio 2.
Si consideri un’urna contenente 20 palline, delle quali 8 sono verdi e 12 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 5 estratto con reinserimento.
(2.1) Si determini il numero atteso di palline verdi estratte e si calcoli P(-0.5 < X < 1.5).
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte prima di ottenere la prima pallina verde estraendo con reinserimento.
(2.2) Si specifichi la distribuzione della v.c. Y e si calcoli P(Y > 2).
(2.3) Si determinino E(Y) e Var(Y), motivando le risposte.
(2.4) Si dimostri la formula del valore atteso per la v.c. Geometrica.
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto senza reinserimento.
(2.5) Si specifichi la distribuzione della v.c. Z (con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano) e si calcoli P(1.5 < Z < 2.5).
Soluzione
Si consideri un’urna contenente 20 palline, delle quali 8 verdi e 12 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 5 estratto con reinserimento.
(2.1) Avendo X distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 5 e θ = 0.4, E(X) = nθ = 2 e
P(-0.5 < X < 1.5) = P(X = 0) + P(X = 1) = (0.6)5 + 5 (0.4)1 (0.6)4 = 0.07776 + 2 (0.1296)
= 0.33696.
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte prima di ottenere la prima pallina verde estraendo con reinserimento.
(2.2) Y ha distribuzione Geometrica(θ) con θ = 0.4;
P(Y > 2) = P(Y ≥ 3) = (1 − θ)3 = (0.6)3 = 0.216.
(2.3) E(Y) = (1 − θ) / θ = (0.6) / (0.4) = 1.5;
Var(Y) = (1 − θ) / θ2 = (0.6) / (0.16) = 3.75.
(2.4) E(Y) = (1 − θ) / θ [...].
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto senza reinserimento.
(2.5) Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 4, K = 8 e N = 20;
P(1.5 < Z < 2.5) = P(Z = 2) =
4 20 2
12 2
8 = (28) (66) / (4845) = 0.3814.
Esercizio 3.
Si consideri la funzione di probabilità di una v.c. bidimensionale discreta (X,Y) definita dalla tabella seguente.
Y = -1 Y = 0 Y = 1 X = 0 0.08 0.16 0.16 X = 2 0.12 0.24 0.24 (3.1) Si determinino le distribuzioni delle v.c. marginali X e Y.
(3.2) Si calcolino la media e la varianza di Y.
(3.3) Si calcolino E(XY) e P(X + Y < 1.5).
(3.4) Si stabilisca se le v.c. X / 2 e |Y| sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y.
(3.5) Si fornisca un’opportuna approssimazione Normale per la v.c. somma Sn = ∑Yi e mediante questa si calcoli P(-10 < S100 < 10), motivando le risposte.
Soluzione
(3.1) Le funzioni di probabilità delle v.c. marginali X e Y sono date, rispettivamente, da:
p(0) = 0.4 e p(2) = 0.6; q(-1) = 0.2, q(0) = 0.4 e q(1) = 0.4.
(3.2) E(Y) = -1 (0.2) + 0 (0.4) + 1 (0.4) = 0.2 e Var(Y) = E(Y2) − E(Y)2 = 0.56, essendo E(Y2) = 1 (0.2) + 0 (0.4) + 1 (0.4) = 0.6.
(3.3) Grazie all’indipendenza di X e Y, E(XY) = E(X) E(Y) = (1.2) (0.2) = 0.24;
P(X + Y < 1.5) = 0.52.
(3.4) Le v.c. X / 2 e |Y| sono indipendenti e identicamente distribuite [...].
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y.
(3.5) Per il TCL, la v.c. somma Sn = ∑Yi si può approssimare mediante N(0.2 n, 0.56 n);
per n = 100 si ha P(-10 < S100 < 10) = Φ(-10 / 7.48) − Φ(-30 / 7.48) = Φ(-1.34) − Φ(-4.01)
= 0.0901 − 0 = 0.0901.
Quesito
Si enunci e si dimostri la Legge dei grandi numeri.
[…]
