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ALCOLO DELLEP
ROBABILITÀP
ROVA SCRITTA DEL27/1/2010
Esercizio 1
La diagnosi di un’infezione è effettuata mediante un test clinico a cui risulta positivo il 98% dei soggetti infetti e il 4% dei soggetti non infetti. Scelto a caso un soggetto, si considerino gli eventi
I = {soggetto infetto} e T = {soggetto positivo al test}.
(1.1) Si stabilisca se I e T sono incompatibili e/o indipendenti, motivando le risposte.
Sapendo, inoltre, che un soggetto su mille ha l’infezione, si calcolino e si interpretino le seguenti probabilità:
(1.2) P( T );
(1.3) P( T − I );
(1.4) P( I | T );
(1.5) P(I |T ).
Soluzione
Definiti gli eventi I = {soggetto infetto} e T = {test positivo}, si ha P( T | I ) = 0.98 e P( T |I ) = 0.04.
(1.1) I e T non sono incompatibili [se lo fossero, P(T | I) = 0] e non sono indipendenti [se lo fossero, P(T | I) = P(T |I)].
Inoltre, se P( I ) = 0.001,
(1.2) P( T ) = P( T | I )P( I ) + P( T |I )P(I ) = (0.98)(0.001) + (0.04)(1-0.001) = 0.00098 + 0.03996
= 0.04094 […];
(1.3) P( T − I ) = P( T |I )P(I ) = (0.04)(1-0.001) = 0.03996 […];
(1.4) P( I | T ) = P( T | I )P( I ) / P( T ) = (0.98)(0.001) / 0.04094 = 0.00098 / 0.04094 = 0.023937 […];
(1.5) P(I |T ) = P(T |I )P(I ) / P(T ) = (1-0.04)(1-0.001) / (1-0.04094) = 0.95904 / 0.95906
= 0.99998 […].
Esercizio 2
Si consideri un’urna contenente 12 palline, delle quali 2 verdi e 10 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 6 estratto con reinserimento dall’urna.
(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. X (con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano) e si calcoli P(-0.12 < X < 1.23).
(2.2) Si ricalcoli P(-0.12 < X < 1.23) mediante un’opportuna approssimazione di Poisson per X e si enunci la proprietà che giustifica tale approssimazione.
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte dall’urna prima di ottenere la prima pallina verde, supponendo che le estrazioni avvengano sempre con reinserimento.
(2.3) Si specifichi la distribuzione della v.c. Y e si calcoli P(Y > 1).
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 6 estratto senza reinserimento dall’urna considerata.
(2.4) Si specifichi la distribuzione della v.c. Z (con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano) e si calcoli la probabilità che il campione contenga una sola pallina verde.
(2.5) Si determinino il valore atteso e la varianza di Z.
Soluzione
Si consideri un’urna contenente 12 palline, delle quali 2 verdi e 10 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 6 estratto con reinserimento.
(2.1) X ha distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 6 e θ = 1/6;
P(-0.12 < X < 1.23) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.3349 + 0.4019 = 0.7368.
(2.2) Essendo X ≈ Poisson(λ) con λ = nθ = 1, P(-0.12 < X < 1.23) ≅ e-λ + e-λ λ = 0.3679 + 0.3679
= 0.7358; […].
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte dall’urna prima di ottenere la prima pallina verde, supponendo che le estrazioni avvengano sempre con reinserimento.
(2.4) Y ha distribuzione Geometrica(θ) con θ = 1/6; P(Y > 1) = P(Y ≥ 2) = (1 − θ)2 = (5/6)2 = 0.6944.
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 6 estratto senza reinserimento.
(2.5) Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 6, K = 2 e N = 12;
P(Z = 1) =
11 6 2
3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 2 3 4 5
6 7 8 9 210 6
12 5
10 1
2 =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= 0.5455.
(2.6) E(Z) = nθ = 1 e Var(Z) = nθ(1−θ) (N – n) / (N – 1) = 0.4545.
Esercizio 3
Si consideri la funzione di probabilità della v.c. bidimensionale discreta (X,Y) definita dalla tabella seguente.
Y = 1 Y = 2 Y = 3 X = 0 0.06 0.08 0.06 X = 1 0.24 0.32 0.24 (3.1) Si determinino le distribuzioni delle due v.c. marginali.
(3.2) Si stabilisca se le v.c. X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.
(3.3) Si calcolino la varianza di Y e P(X < Y).
Siano X1 e X2 v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X1 + X2. (3.4) Si determini la distribuzione della v.c. S e si calcoli Cov(X1,S).
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia Tn = Y1 + … + Yn.
(3.5) Per n = 60 si calcoli P(115 < Tn < 130), giustificando la risposta con un opportuno teorema (di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi).
Soluzione
(3.1) Le funzioni di probabilità delle v.c. marginali X e Y sono date, rispettivamente, da:
p(0) = 0.2 e p(1) = 0.8; q(1) = 0.3, q(2) = 0.4 e q(3) = 0.3.
(3.2) Le v.c. X e Y sono indipendenti ma non identicamente distribuite [...].
(3.3) Var(Y) = E(Y2) − E(Y)2 = 0.6, essendo E(Y) = 2 e E(Y2) = 4.6; P(X < Y) = 0.76.
Le v.c. X1 e X2 sono indipendenti e distribuite come X ∼ Binomiale(1,0.8).
(3.4) S = X1 + X2 ∼ Binomiale(2,0.8) per la proprietà riproduttiva della distribuzione Binomiale;
Cov(X1,S) = Cov(X1, X1) + Cov(X1, X2) = Var(X) = 0.16.
Le v.c. Y1,…,Yn sono indipendenti e distribuite come Y che ha media 2 e varianza 0.6.
(3.5) In virtù del Teorema centrale del limite Tn = Y1 + … + Yn ≈ N(2n,0.6n), cosicché per n = 60 P(115 < Tn < 130) ≅ P(-0.8333 < Z < 1.6667) = Φ(1.6667) − Φ(-0.8333) = 0.9522 – 0.2023
= 0.7499.
Quesito
Si enunci e si dimostri la Legge dei grandi numeri.
[…]
