1.5 CSTR NON ISOTERMO IN REGIME TRANSITORIO 1.5.1 Bilancio di materia
Analogamente a quanto fatto per il CSTR ideale in condizioni isoterme, scriviamo l’equazione di bilancio di materia per un CSTR non isotermo non stazionario con singola reazione:
0 ,
ˆ QC QC V r C T d VC
dt (1.17)
dove per semplicità si è abbandonato il pedice u per le variabili nel reattore e all’uscita, mentre ˆt è il tempo dimensionale. Se il volume e la portata sono costanti, introduciamo come prima il tempo di residenza t = V/Q ed inoltre definiamo il tempo adimensionale t ˆt
t per scrivere:
0 1
C C , dC
r C T
t t dt
(1.18)
In questo caso (regime transitorio), in cui i valori in ingresso di temperatura e concentrazione possono variare nel tempo, è opportuno introdurre valori arbitrari per le grandezze di riferimento.
Definiamo quindi rif
rif
C C
x C
da cui C C rif 1x e, in particolare, C0 Crif1x0 . La 1.17 si può scrivere quindi:
1 0 1 , 1
rif rif rif
C x C x r C T C d x
t dt
cioè
0
,
rif
r C T dx x x
dt t C (1.19)
Per una reazione del primo ordine si ha, come già visto,
, rif 1
r C T k T C k T C x . e quindi
0 1
dx x x k T x
dt t (1.20)
Se la reazione segue la legge di Arrhenius per la dipendenza dalla temperatura, si ha
0exp a/
k T k E RT (1.21)
1.5.2 Bilancio di energia
L’equazione di bilancio di energia si scrive come:
0 ,
ˆ
p p r p
Q c T Q c T US T T V H r C T d V c T
dt
In questa equazione U è il coefficiente di scambio termico (energia scambiata per unità di superficie, di tempo e per grado Kelvin), S è l’area della superficie esterna del reattore, T è la
temperatura esterna al reattore (non necessariamente uguale alla temperatura di ingresso T0. Il termine V H r C T r , rappresenta la quantità di energia che scompare nell’unità di tempo per effetto della reazione chimica ed è ovviamente proporzionale alla quantità di materia reagente che scompare nell’unità di tempo. Se il volume V, la portata Q, la densità ed il calore specifico cp sono costanti, introduciamo come prima il tempo di residenza t = V/Q ed inoltre definiamo il tempo adimensionale t ˆt
t per scrivere:
0 1
p r , p
T T US dT
c T T H r C T c
V dt
t t
Definiamo l’entalpia di reazione adimensionale:
rif r
p rif
C H
c T
e la temperatura adimensionale:
rif rif
rif r p ad
T T T T
C H c T
,
dove al denominatore con Tad si fa riferimento al valore massimo dell’incremento di temperatura raggiungibile nel reattore, in condizioni adiabatiche e per conversione totale da una concentrazione di reagente pari a quella di riferimento. Esplicitando si ha:
1
rif ad rif rif r p rif rif rif
T T T T C H c T T T
e anche, ovviamente:
0 rif 1 0 ; rif 1
T T T T e, sostituendo, si ha:
1 0 1
1 1
, 1 1
rif rif
p rif rif
r p rif
T T US
c T T
V
H r C T c d T dt
t
t
Si considera qui il caso di reazione del primo ordine, in cui r C T , k T C k T C rif 1x, da cui
0
1 1 1
rif
p rif
r rif p rif
T US
c T
V
H k T C x c d T
dt
t
t
e, dividendo tutto per c Tp rif e moltiplicando tutto per t :
0 1 1
p
US d
k T x
V c dt
t t
Sia infine
p
US V c
t
e riordiniamo per scrivere l’equazione di bilancio dell’energia in questa forma:
0 1
d k T x
dt
t
L’equazione di bilancio di materia non cambia con l’ipotesi di adiabaticità e quindi resta:
0 1
dx x x k T x
dt t
Ancora, se la reazione segue la legge di Arrhenius per la dipendenza dalla temperatura, si ha
0exp / 0exp / 1 0exp
1 = Da exp1
1
a a rif
k T k E RT k E RT k
t
dove
a rif
E
RT
e quindi, in definitiva, le due equazioni si scrivono come:
Da exp 0 Da exp
1 1
d x
dt x
Da exp 0 Da exp
1 1
dx x x
dt x x
associate alle condizioni iniziali (0) t 0
x x e (0)t0
