ESERCIZIO 4A: Calcolare l’antitrasformata Zeta della seguente funzione F(z)
) 5 )·(
2 (
) 3 ) (
( + +
= −
z z
z z F
La funzione F(z)èrazionale fratta coldenominatore di gradomaggiore del gradodelnumeratore.
La procedura di antitrasformazione consiste nello sviluppare la funzione F(z) nella somma di funzioni elementari la cui antitrasformata è nota e pertanto, per la proprietà di linearità, pervenire all’antitrasformata della F(z) come somma delle antitrasformate dei singoli addendi.
Dato che le trasformate di interesse hanno un fattore z al numeratore, al fine di ottenere che i singoli termini dello sviluppo assumano appunto tale forma, è utile applicare lo sviluppo in fratti semplici di Heaviside alla funzione [F(z)/z] anziché alla funzione F(z).
I poli di F(z) sono reali e distinti. Lo sviluppo di Heaviside assume, pertanto, la forma:
) 5 ( ) 2 ( )
5 ( ) 2
·(
) 3 ( )
(
1 2 3+ + + +
+ =
⋅ +
= −
z k z
k z
k z
z z
z z
z F
La determinazione del valore dei coefficienti ki mediante il calcolo dei residui porge le scritture che di seguito si esplicitano:
10 3 5
· 2
3 )
5 )·(
2 (
) 3 ( )
5 )·(
2
·(
)·
3 ) (
) ·(
(
) 0 ( )
0 ( )
( 1 1
1
−
− = + =
+
= − +
+
= −
−
=
=
=
=p z z
z
z z
z z
z z
z p z
z z z k F
6 5 3
· 2
5 )
5
·(
) 3 ( )
5 )·(
2
·(
) 2 )·(
3 ) (
) ·(
(
) 2 ( )
2 ( )
( 2 2
2
− =
= − +
= − +
+
+
= −
−
=
−
=
−
=
=p z z
z
z z
z z
z z
z p z
z z z k F
15 8 )
3
·(
5 8 )
2
·(
) 3 ( )
5 )·(
2
·(
) 5 )·(
3 ) (
) ·(
(
) 5 ( )
5 ) (
( 3 3
3
−
− =
−
= − +
= − +
+
+
= −
−
=
−
=
−
=p z= z
z
z z
z z
z z
z p z
z z z k F
La determinazione del valore dei coefficienti ki mediante il principio di identità dei polinomi porge le scritture che di seguito si riportano:
) 5 )·(
2
·(
) 2 ( )
5 ( )
5 )(
3 ( ) 5 ( ) 2 ( )
5 )·(
2
·(
) 3
(
1 2 3 1 2 3+ +
+ +
+ +
+
= + + +
+ + + =
+
−
z z
z
z z k z
z k z
z k z
k z
k z
k z
z z
z
) 5 )·(
2
·(
2 5
) 10 7 (
) 5 )·(
2
·(
) 3
(
1 2 2 2 2 3 2 3+ +
+ +
+ +
+
= + + +
−
z z
z
z k z
k z k z
k z
z k z
z z
z
Poiché le due frazioni hanno uguale il denominatore, esse sono uguali allora e solo allora che anche i numeratori sono uguali; ciò implica la posizione seguente:
z k z
k z k z
k k z k z
k
z 3 )
1 27
110
1 2 25
2 3 22
3( − = + + + + + +
Ordinando il polinomio a secondo membro secondo le potenze decrescenti dell’indeterminata z si ottiene la relazione:
3 10
)·
2 5
7 ( )·
( k
1+ k
2+ k
3z
2+ k
1+ k
2+ k
3z + k
1= z −
Il ricorso al principio di identità dei polinomi consente di validare le posizioni seguenti:
=
= + +
= + +
3 10
1 2 5
7
0
1
3 2
1
3 2 1
k
k k
k
k k k
⇒
= + +
−
= +
−
=
1 2 5
) 10 21 (
10 3
) 10 3 (
3 2
3 2 1
k k
k k k
⇒
= +
−
−
=
−
=
10 31 2
] ) 10 3 [(
5
) 10 3 (
) 10 3 (
3 3
3 2
1
k k
k k
k
= +
−
−
=
−
=
10 31 2
5 ) 2 3 (
) 10 3 (
) 10 3 (
3 3
3 2
1
k k
k k
k
⇒
=
−
−
=
−
=
10 16 3
) 10 3 (
) 10 3 (
3
3 2
1
k
k k
k
⇒
−
−
=
−
=
−
=
−
=
) 15 8 ( ) 10 3 (
) 15 8 ( ) 30 16 (
) 10 3 (
2 3 1
k k k
Si conclude, pertanto, che i coefficienti k1, k2 e k3 assumono, rispettivamente, i seguenti valori:
15 8 6
5 10
3
3 2
1
= − k = k = −
k
⇒0
1
∑ =
= n
i
k
iSi evince, inoltre, che essendo n = 3 il grado del polinomio a denominatore e m = 1 il grado del polinomio a numeratore, è soddisfatta la condizione (n–m)≥≥≥≥2; quindi, è verificata la proprietà in base alla quale la somma dei coefficienti ki è nulla.
La determinazione dei coefficienti dello sviluppo in fratti semplici consente, quindi, di relazionare nella seguente forma:
) 5 (
1 15
8 ) 2 (
1 6 5 1 10
3 )
5 ( ) 2 ( )
(
1 2 3⋅ + + −
⋅ +
⋅
− + =
+ + +
= z z z z
k z
k z
k z
z F
da cui, moltiplicando ambo i membri per la variabile z al fine di ricostruire l’originaria funzione F(z), si ottiene la scrittura:
5 15
8 2 6
5 10
3 5
1 15
8 2 1 6 5 1 10
3 )
) (
( − ⋅ +
⋅ + +
−
=
⋅
⋅ + + −
⋅ +
⋅
−
=
⋅
= z
z z
z z z
z z z
z z z F
F
Procedendo al calcolo dell’antitrasformata Zeta della funzione F(z), si ottengono le scritture che di seguito si esplicitano:
) (
* )
5 15 ( ) 8 (
* )
2 6 ( ) 5 ( 10 *
3
5 15
8 2
6 5 10
3
5 15
8 2 6
5 10 )] 3
( [ )
(
1 1
1
1 1
k sca k
sca k
imp
z Z z
z Z z
Z
z z z
Z z z F Z k f
k
k
− ⋅ −
−
⋅ +
⋅
−
=
=
⋅ +
−
⋅ +
+
−
=
=
⋅ + + −
⋅ +
−
=
=
−
−
−
−
−
Pertanto, la funzione f(k), antitrasformata Zeta della funzione F(z) assegnata, è:
) (
*
· ) 5 15 ( ) 8 2 6 ( ) 5 ( 10 *
) 3
( k imp k sca k
f
k k
⋅ − − ⋅ −
+
⋅
−
=
k ≥ ≥ ≥ ≥ 0
Calcoliamo i primi cinque valori della funzione discreta f(k); si ottiene:
15 0 8 6 5 10 ) 3
0 (
*
· ) 5 15 ( ) 8 2 6 ( ) 5 0 ( 10 *
) 3 0
(
0 0 = − + − =
⋅ − − ⋅ −
+
⋅
−
= imp sca
f
30 1 30 15 40 6 0 10 ) 1 (
*
· ) 5 15 ( ) 8 2 6 ( ) 5 1 ( 10 *
) 3 1
(
1 1 = − + = =
⋅ − − ⋅ − +
⋅
−
= imp sca
f
3 10 30 15
200 6
0 20 ) 2 (
*
· ) 5 15 ( ) 8 2 6 ( ) 5 2 ( 10 *
) 3 2
(
2 2 = + − = − = −
⋅ − − ⋅ −
+
⋅
−
= imp sca
f
3 60 180 3
200 3
0 20 ) 3 (
*
· ) 5 15 ( ) 8 2 6 ( ) 5 3 ( 10 *
) 3 3
(
3 3 = − + = =
⋅ − − ⋅ −
+
⋅
−
= imp sca
f
3 320 960 3
1000 3
0 40 ) 3 (
*
· ) 5 15 ·(
) 8 2 6 ( ) 5 4 ( 10 *
) 3 4
(
4 4 = + − = − = −
⋅ − − −
+
⋅
−
= imp sca
f
Se si rinuncia a ottenere l’antitrasformata di F(z) in forma chiusa e si vuole solo calcolare i valori assunti dalla funzione f(k) nei singoli istanti di tempo, come sopra fatto, si può ricorrere al metodo della lunga divisione. Il metodo si basa sulla classica divisione fra il polinomio N(z) a numeratore e il polinomio D(z) a denominatore al fine di scrivere la funzione F(z) nella classica forma:
...
) 4 ( )
3 ( )
2 ( )
1 ( ) 0 ( )
( )
(
1 2 3 40
+ +
+ +
+
=
⋅
=
− − − −+∞
=
∑ f k z
−f f z f z f z f z
z F
k
k (1)
In tale modo il coefficiente della potenza di z-k assume il significato di valore della funzione f(k) proprio al tempo k.
Verifichiamo, quindi, i valori appena ricavati per la funzione f(k) applicando il metodo della lunga divisione. La procedura è di seguito evidenziata.
z – 3
z2 + 7·z + 10-z –7 – 10·z-1 z-1 – 10·z−−2−− + 60·z−3−−− – 320·z−−4−−
+ … –10 – 10·z
-110 + 70·z
-1 + 100·z-260·z
-1+ 100·z
-2–60·z
-1 – 420·z-2 – 600·z-3– 320·z
-2– 600·z
-3320·z
-2 + 2240·z-3 +3200·z-4………
La funzione F(z), alla luce del risultato della divisione fra polinomi, può scriversi nell’equivalente forma che di seguito si riporta:
...
320 60
10 )
( z = z
−1− z
−2+ z
−3− z
−4+ F
che può altresì completarsi e formalizzarsi nella seguente scrittura:
...
320 60
10 1
· 0 )
( z = z
0+ z
−1− z
−2+ z
−3− z
−4+ F
a cui si associata, in base alla relazione (1), la lettura seguente di immediata interpretazione:
320 )
4 ( 60
) 3 ( 10 )
2 ( 1 ) 1 ( 0
) 0
( = f = f = − f = f = −
f ; ; ; ;
ESERCIZIO 4B: Calcolare l’antitrasformata Zeta della seguente funzione F(z)
)
25 (
) 10 ) (
( +
= − z z z F
La funzione F(z)èrazionale fratta coldenominatore di gradomaggiore del gradodelnumeratore.
Dato che le trasformate di interesse hanno un fattore z al numeratore, al fine di ottenere che i singoli termini dello sviluppo assumano appunto tale forma, è utile applicare lo sviluppo in fratti semplici di Heaviside alla funzione [F(z)/z] anziché alla funzione F(z).
I poli di F(z) sono reali e coincidenti. Lo sviluppo di Heaviside assume, pertanto, la forma:
2 2
2
2
·( 5 )
· ) 5
·(
· ) 5
·(
) 5 ) (
5 ) (
5
·(
) 10 ( ) (
+
+ + +
= + + +
+ + + =
= −
z z
z C z
z B z
A z
C z
B z
A z
z z z
z F
La determinazione del valore dei coefficienti A, B, C con il principio di identità dei polinomi porge le scritture che di seguito si riportano:
2 2
2
·( 5 )
· ) 5 ( )
25 10
·(
) 5
·(
) 10 (
+
+ +
⋅
⋅ + +
= + +
−
z z
z C z
z B z
z A z
z z
2 2
2
·( 5 )
25 )·
5 10 ( )·
( ) 5 (
) 10 (
+
+ +
+ +
= + +
⋅
−
z z
A z
C B A z
B A z
z z
Poiché le due frazioni hanno uguale il denominatore, esse sono uguali allora e solo allora che anche i numeratori sono uguali; ciò implica la posizione seguente:
C z
C B A z
B A
z 10 ) ( )· ( 10 5 ) 25
( − = +
2+ + +
2+
L’applicazione del principio di identità dei polinomi consente di relazionare come segue::
10 25
1 5
10 0 )
( A + B = ; A + B + C = ; A = −
da cui si evince con immediatezza che:
= + +
−
=
−
=
−
=
⇒
= + +
−
=
−
=
−
=
⇒
= + +
=
−
=
−
=
1 2
4
) 5 2 (
) 5 2 ( 1
) 5 2 (·
5 ) 5 2 (
· 10
) 5 2 ( ) 5 2 ( 1
5 10
) 5 2 (
) 25 10 (
C A B A
C A
B A
C B A
A B A
In conclusione il valore dei coefficienti A, B, C dello sviluppo in fratti è dato da:
3 )
5 2 ( )
5 2
( − = =
= B C
A
La determinazione dei coefficienti dello sviluppo in fratti semplici consente, quindi, di relazionare nella seguente forma:
2
2
( 5 )
3 )
5 (
1 5 2 1 5 2 )
5 ) (
5 ( )
(
+ +
⋅ + +
⋅
− + =
+ + +
= z z z z
C z
B z
A z
z F
da cui, moltiplicando ambo i membri per la variabile z al fine di ricostruire l’originaria funzione F(z), si ottiene la scrittura:
2
2
( 5 )
3 5
5 2 5 2 )
5 (
3 5
1 5 2 1 5 2 )
) (
( + +
⋅ + +
−
=
⋅
+ +
⋅ + +
⋅
−
=
⋅
= z
z z
z z z
z z z
z z z F
F
Procedendo al calcolo dell’antitrasformata Zeta della funzione F(z), si ottengono le scritture che di seguito si esplicitano:
) (
* )
5 5 (
) 3 (
* )
5 5 ( ) 2 ( 5 *
2
) (
* )
5 5 ( ) 3 (
* )
5 5 ( ) 2 ( 5 *
2
) 5 (
3 5
3 5
5 2 5
2
) 5 (
3 5
5 2 5 )] 2
( [ )
(
2 1
1 1
2 1
1
k sca k
k sca k
imp
k ram k
sca k
imp
z Z z
z Z z
Z
z z z
Z z z F Z k f
k k
k k
−
⋅
⋅
−
−
⋅ +
⋅
−
=
=
−
⋅
−
−
⋅ +
⋅
−
=
=
+
⋅ −
−
+
⋅ +
+
−
=
=
+ +
⋅ + +
−
=
=
−
−
−
−
−
Pertanto, la funzione f(k), antitrasformata Zeta della funzione F(z) assegnata, assume la forma:
[ 2 ( 5 ) 3 ( 5 ) ] * ( )
5 ) 1 ( 5 *
) 2
( k imp k k sca k
f = − ⋅ + ⋅ ⋅ −
k− ⋅ ⋅ −
k⋅
k ≥ ≥ ≥ ≥ 0
OSSERVAZIONE: Si desidera verificare il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in fratti semplici di Heaviside mediante l’applicazione della procedura dei residui. Si ottiene quanto di seguito viene esplicitato.
5 2 25
10 )
5 (
) 10 ( )
5
·(
)·
10 ) (
) ( (
) 0 ( 2 )
0 ( ) 2
( 1
1
−
− = + =
= − +
= −
−
⋅
=
=
=z z= z
z
z
z z
z
z z z
z z z A F
5 3 15 )
10 ( )
5
·(
) 5 )·(
10 ) (
) ( (
) 5 ) (
5 ( 2
2
) ( 2 2
1
− =
= −
= − +
+
= −
−
⋅
=
−
− =
=z z= z
z
z
z z
z z z z
z z z C F
5 2 25 10 10
10 1
)·
10 (
· 1
) 10 ( )
5
·(
) 5 )·(
10 ) (
) ( (
) 5 2 ( )
5 2 (
) 5 2 (
) 5 ) (
5 ( 2
2
) ( 2 2
1
=
=
=
− +
=
− −
=
=
−
=
+ +
= −
−
⋅
=
−
=
−
=
−
=
−
− =
= =
z z
z
z z z
z
z z
z z z
z z
z z dz
d z
z z z
dz z d
z z
z
F
dz
B d
Volendo evitare l’operazione di derivazione, che nel caso di poli multipli con ordine di molteplicità maggiore di due è decisamente laboriosa, si può ricorrere a una combinazione delle due procedure;
nel caso particolare in esame, si avrebbe:
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
) 5
·(
5
50 )
25 5 ( ) 5 2 (
) 5
·(
5
15 25
5 ) 25 10
·(
2 )
5
·(
5
15 ) 5
·(
5 ) 5
·(
2
) 5 (
3 )
5 ( 1 5 2 )
5 ) (
5 ) (
5
·(
) 10 ( ) (
+
− +
− + +
= −
+ =
+ +
+ + +
= − +
+ + +
+
= −
+ = + +
+
⋅
− + =
+ + + + =
= −
z z
z B z
B
z z
z Bz Bz
z z
z z
z z
Bz z
z z B z z
C z
B z
A z
z z z
z F
Dall’uguaglianza delle due forme di rappresentazione della funzione F(z)/z si ottiene la relazione:
2 2
2
5 ·( 5 )
50 )
25 5 ( ) 5 2 ( ) 5
·(
10
+
− +
− + +
= − +
−
z z
z B z
B z
z z
Dalla quale, rendendo uguali i denominatori si ottiene la scrittura:
2 2
2
5 ·( 5 )
50 )
25 5 ( ) 5 2 ( ) 5
·(
5
) 10
·(
5
+
− +
− + +
= − +
−
z z
z B z
B z
z z
Mediante il principio di identità dei polinomi si validano le seguenti scritture fra loro linearmente dipendenti:
5 2 10
25 2 5 5
25 5
0 5
2 ⇒ =
=
⇒ =
= +
−
= +
− B
B B B
B
ESERCIZIO 4C:Calcolareivaloridellafunzione f(k) nei singoli istanti di tempo sapendo che
) 5 )·(
2 ( )] 10 ( [ )
( + +
= −
= z z
k z f Z z F
Poiché vengono richiesti i valori assunti dalla funzione f(k) nei singoli intervalli di tempo (si ritiene sufficiente fermarsi ai primi cinque valori, corrispondenti a k = 5) si adotta la procedura della lunga divisione. Si ottiene quanto di seguito mostrato.
z – 10
z2 + 7·z + 10-z –7 – 10·z-1 z-1 – 17·z−−2−− + 109·z−3−−− – 593·z−−−−4
+ … –17 – 10·z
-117 + 119·z
-1 + 170·z-2109·z
-1+ 170·z
-2–109·z
-1 – 763·z-2 – 1090·z-3– 593·z
-2– 1090·z
-3593·z
-2 + 4151·z-3 +5930·z-4………
La funzione F(z), alla luce del risultato della divisione fra polinomi, può scriversi nell’equivalente forma che di seguito si riporta:
...
593 109
17 )
( z = z
−1− z
−2+ z
−3− z
−4+ F
che può altresì completarsi e formalizzarsi nella seguente scrittura:
...
593 109
17
· 1
· 0 )
( z = z
0+ z
−1− z
−2+ z
−3− z
−4+ F
a cui si associata, in base alla relazione (1), la lettura seguente di immediata interpretazione:
593 )
4 ( 109
) 3 ( 17
) 2 ( 1 ) 1 ( 0
) 0
( = f = f = − f = f = −
f ; ; ; ;
OSSERVAZIONE 1: Si può considerare la funzioneF(z)comerispostaY(z)diunsistemalineare a tempo discreto forzato in ingresso dal segnale impulso di area unitaria u(k)=imp*(k); infatti si può scrivere, ricorrendo al concetto di funzione di trasferimento G(z) e posto G(z)=F(z), come di seguito evidenziato:
) ( 1 ) ( ) ( )]
(
* [ ) ( ) ( )
( ) ( )
( z G z U z Y z F z Z imp k Y z F z F z
Y = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =
Pertanto, i valori assunti dalla funzione ƒƒƒƒ(k) altro non sono che i valori assunti dalla funzione y(k) come risposta all’impulso discreto unitario.
In conformità a quanto sopra esposto si ottiene:
) ) (
5 )·(
2 (
) 10 ) (
( )
( ) ( )
( U z
z z
z z Y z
U z F z
Y ⋅
+ +
= −
⋅ ⇒
=
, da cui si ricava la relazione:) ( )·
10 ( ) ( )·
10 7
( z
2+ z + Y z = z − U z
⇒z
2· Y ( z ) + 7 z · Y ( z ) + 10 · Y ( z ) = z · U ( z ) − 10 · U ( z )
L’applicazione della procedura di antitrasformazione consente di determinare la legge temporale del
“sistema lineare a tempo discreto” che ha y(k) come uscita. Facendo ricorso alle proprietà della trasformata Zeta relative a ritardi e anticipi si può relazionare come di seguito mostrato:
) ( 10 ) 1 ( ) ( 10 ) 1 ( 7 ) 2
( k y k y k u k u k
y + + + + = + −
Ora si deve risolvere nei confronti dell’uscita più recente ottenendo:
) ( 10 ) 1 ( ) ( 10 ) 1 ( 7 ) 2
( k y k y k u k u k
y + = − + − + + −
e, data la stazionarietà del sistema, scalare per comodità tutti gli indici in modo da ottenere y(k);
si perviene così alla seguente relazione:
) 2 (
· 10 ) 1 ( ) 2 ( 10 ) 1 ( 7 )
( k = − y k − − y k − + u k − − u k − y
È, a questo punto, immediato calcolare i valori che la funzione f(k) assume nei singoli istanti di tempo; infatti ricordando che per l’ingresso u(k)=imp*(k) è Y(z)=F(z) allora è anche y(k)=ƒƒƒ(k). ƒ
0 0
· 10 0 0
· 10 0
· 7 ) 2 (
* 10 ) 1 (
* )
2 ( 10 ) 1 ( 7 ) 0
( = − y − − y − + imp − − imp − = − − + − = f
1 0
· 10 1 0
· 10 0
· 7 ) 1 (
* 10 ) 0 (
* )
1 ( 10 ) 0 ( 7 ) 1
( = − y − y − + imp − imp − = − − + − =
f
17 10 7 1
· 10 0 0
· 10 1
· 7 ) 0 (
* 10 ) 1 (
* )
0 ( 10 ) 1 ( 7 ) 2
( = − y − y + imp − imp = − − + − = − − = −
f
109 10 119 0
· 10 0 1
· 10 ) 17
·(
7 ) 1 (
* 10 ) 2 (
* )
1 ( 10 ) 2 ( 7 ) 3
( = − y − y + imp − imp = − − − + − = − =
f
593 170
763
0
· 10 0 ) 17
·(
10 ) 109
·(
7 ) 2 (
* 10 ) 3 (
* )
2 ( 10 ) 3 ( 7 ) 4 (
−
= +
−
=
=
− +
−
−
−
=
− +
−
−
= y y imp imp
f
Si sono, pertanto, confermati i risultati ottenuti con la lunga divisione.
OSSERVAZIONE 2: Si può procedere al calcolo della funzione temporale ƒƒƒƒ(k) applicando la fase relativa all’antitrasformata Zeta della funzione complessa F(z). Poiché la F(z) presenta poli reali e semplici, può utilizzarsi il metodo dei residui per il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in fratti semplici della funzione [F(z)/z]; si ottiene:
) 5 ( ) 2 ( )
5 )·(
2
·(
10 )
(
1 2 3+ + + +
+ = +
= −
z K z
K z
K z
z z
z z
z F
Il calcolo dei coefficienti Ki porge le relazioni di seguito evidenziate:
) 1 5 )·(
2 (
) 10 ( )
5 )·(
2
·(
)·
10 ) (
) ·(
(
) 0 ( )
0 ) (
( 1 1
1
− + =
+
= − +
+
= −
−
=
=
=z z= z
z
z z
z z
z z
z z z
z z z K F
6 2 12 )
5
·(
) 10 ( )
5 )·(
2
·(
) 2 )·(
10 ) (
) ·(
(
) 2 ( )
2 ) (
( 2 2
2
− =
= − +
= − +
+
+
= −
−
=
−
=
−
=z z= z
z
z z
z z
z z
z z z
z z z K F
15 1 15 )
2
·(
) 10 ( )
5 )·(
2
·(
) 5 )·(
10 ) (
) ·(
(
) 5 ( )
5 ( )
( 3 3
3
−
− = + =
= − +
+
+
= −
−
=
−
=
−
=z z= z
z
z z
z z
z z
z z z
z z
z
K F
Si constata, che essendo m=1 il grado del polinomio a numeratore di [F(z)/z] e n=3 il grado del polinomio a denominatore, è soddisfatta la condizione (n – m) ≥≥≥≥ 2 per cui deve risultare verificata la nota relazione:
0 1 2 1
3
0
2 1 1
=
− + +
⇒ −
= + +
∑ =
=
K K K K
n
i i
La conoscenza del valore dei residui consente di relazionare come segue:
5 1 2 2 1 ) 5 ( ) 2 ( )
(
1 2 3− + + +
− + =
+ + +
= z z z z
K z
K z
K z
z F
Moltiplicando ambo i membri per la variabile complessa z si ottiene:
5 2 2
5 1 1 2 2
· 1 )
( − +
⋅ + +
−
=
− + + +
−
= z
z z
z z
z z z
z F
Eseguendo ora l’antitrasformata Zeta della funzione F(z) si ricava l’espressione temporale della funzione ƒƒƒƒ(k); si relaziona come di seguito evidenziato:
) (
* )
5
·(
1 ) (
* )
2
·(
2 ) (
* )
( k imp k sca k sca k
f = − + −
k− −
kche ammette l’equivalente forma:
) (
* ]·
) 5 ( ) 2
·(
2 [ ) (
* )
( k imp k sca k
f = − + −
k− −
kFacendo riferimento alle caratteristiche dei segnali canonici discreti, cioè imp*(k)=1 per k=0 e imp*(k)=0 per ogni k≠≠≠≠0, nonché sca*(k)=1 per ogni k≥≥≥≥0 e sca*(k)=0 per k<0, il calcolo dei valori assunti dalla funzione ƒƒƒƒ(k) nei singoli istanti di tempo fornisce ciò che di seguito si mostra:
0 1 )·
1 2 ( 1 ) 0 (
* ]·
) 5 ( ) 2
·(
2 [ ) 0 (
* )
0
( = − imp + −
0− −
0sca = − + − = f
1 1 ]·
5 4 [ 0 ) 1 (
* ]·
) 5 ( ) 2
·(
2 [ ) 1 (
* )
1
( = − imp + −
1− −
1sca = + − + = f
17 1 ]·
25 8 [ 0 ) 2 (
* ]·
) 5 ( ) 2
·(
2 [ ) 2 (
* )
2
( = − imp + −
2− −
2sca = + − = − f
109 125 16 1 )]·
125 ( 16 [ 0 ) 3 (
* ]·
) 5 ( ) 2
·(
2 [ ) 3 (
* )
3
( = − imp + −
3− −
3sca = + − − − = − + =
f
593 625
32 1 )]·
625 ( 32 [ 0 ) 4 (
* ]·
) 5 ( ) 2
·(
2 [ ) 4 (
* )
4
( = − imp + −
4− −
4sca = + − = − = −
f
Anche con questa terza procedura si confermano gli stessi risultati conseguiti con le due precedenti scelte risolutive del problema proposto.
ESERCIZIO 4D: Si consideri il sistema lineare discreto che definisce la gestione della Cassa Pensioni.
Sono definite le seguenti variabili di stato e le due variabili di uscite:
x1(k) = neonati anni k x2(k) = genitori anni k
x3(k) = pensionati anni k x4(k) = consistenza cassa inizio anni k y1(k) = x3(k) = pensionati anni k y2(k) = x4(k) = andamento cassa anni k
Il sistema pensionistico è governato dalle seguenti equazioni nello spazio degli stati e dalle due trasformate dell’uscita:
) ( ) (
) ( ) (
) ( )·
1 ( ) (
· ) (
· 2 ) (
· ) 1 (
) ( ) 1 (
) ( ) 1 (
) ( ) ( 5 , 0 ) 1 (
4 2
3 1
4 3
2 1
4
2 3
1 2
1 1
k x k y
k x k y
k x i k
x k
x k
x k
x
k x k
x
k x k
x
k u k x k
x
=
=
+ +
− +
= +
= +
= +
+
⋅
= +
β α
α
La matrice A della dinamica e le matrici B, C e D caratteristiche della rappresentazione nello spazio degli stati e della trasformazione delle uscite, hanno la forma che di seguito si evidenzia.
=
=
=
+
−
= 0
0 1
0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
) 1 ( 2
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
0 5 , 0
) 1 2 ( )
4 2 ( )
1 4 ( )
4 4
( x
B
xC
xD
xi A
β α
α
È utile ricordare la proprietà della trasformata Zeta per quanto attiene l’operazione di anticipo e di ritardo temporale; specificatamente si ha:
se è Z[x(k)] = X(z), allora è Z[x(k+1)] = z·X(z)- z·x(0), se è Z[x(k)] = X(z), allora è Z[x(k-1)] = z
-1·X(z)=[X(z)/z]
Per il calcolo delle Funzioni di Trasferimento si fa ricorso all’applicazione della trasformata Zeta alle equazioni di stato e alle trasformazioni delle uscite; questa procedura consente di esprimere il sistema pensionistico a tempo discreto nella forma seguente:
) ( )
(
) ( )
(
) ( )·
1 ( ) (
· ) (
· 2 ) (
· ) (
) ( )
(
) ( )
(
) ( ) ( 5 , 0 ) (
4 2
3 1
4 3
2 1
4
2 3
1 2
1 1
z X z Y
z X z Y
z X i z
X z
X z
X z
zX
z X z zX
z X z zX
z U z X z
zX
=
=
+ +
− +
=
=
=
+
⋅
=
β α
α
Svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene la seguente formulazione del sistema:
) ( )
(
) ( )
(
) (
· ) (
· 2 ) (
· ) ( )]·
1 ( [
) 1 (
) 1 (
) (
) 1 (
) (
) ( ) ( )·
5 , 0 (
4 2
3 1
3 2
1 4
2 1 2
3
1 2
1
z X z Y
z X z Y
z X z
X z
X z
X i z
z z X
z z X
z X
z z X
z X
z U z X z
=
=
− +
= +
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
−
β α
α
Risultano, pertanto, immediate le relazioni che di seguito si ricavano:
) ( ) ( )·
5 , 0
( z − X
1z = U z
⇒⇒⇒ ⇒( ) )
5 , 0 ( ) 1
1
( U z
z z
X ⋅
= − )
1 ( )
(
12
X z
z z
X = ⋅
⇒⇒⇒⇒( )
) 5 , 0
·(
) 1
2
( U z
z z z
X ⋅
= − ) 1 (
) 1 (
)
(
2 2 13
X z
z z z X
z
X = ⋅ = ⋅
⇒⇒⇒⇒( )
) 5 , 0
·(
) 1
(
23
U z
z z z
X ⋅
= −
) ) (
5 , 0
·(
) 5 , 0
·(
2 5
, 0 )
1 ( ) 1
(
24
U z
z z z
z z
i z z
X ⋅
− − + −
⋅ − +
= − α α β
Dall’ultima relazione, effettuato il minimo comune multiplo si ottiene l’espressione finale di X4(z)
) )] (
1 ( )·[
5 , 0
·(
· 2 ) ·
(
22
4
