TRACCIA DI SOLUZIONE
Complementi di Matematica -primo modulo (Analisi) 13 febbraio 2008 1) 4y” − 12y0+ 9y = 0 → y(x) = e
3
2x(A + Bx) 2) tema A) y0=cos x
sin xy + 5 sin x cos x, y(π 2) = 4;
Poich`e x0 = π
2, la soluzione sar`a definita in (0, π), .e si noti che ivi si ha
| sin x| = sin x, e sin(π 2) = 1.
→ (x) = sin x(c + 4 sin x), c = −1, 0 < x < π (tema B) y0 = −sin x
cos xy − 3 sin x cos x, y(π) = 2;
Poich`e x0 = π, la soluzione sar`a definita in (π 2,3
2π), .e si noti che ivi si ha
| cos x| = − cos x e cos(π) = −1.
→ y(x) = − cos x(c − 3 cos x), c = −1,π
2 < x < 3 2π
3) Estremi di f (x, y) = 8 log(x + y) − 5 arctan(x − y) − x − 3y
Dominio: D = {(x, y) : x + y > 0} , D insieme aperto ove f `e differenziabile
⇒ gli estremi di f sono punti stazionari di D.
∇f = 0
8
x + y − 5
1 + (x − y)2− 1 = 0 (a) 8
x + y + 5
1 + (x − y)2− 3 = 0 (b) →
16
x + y − 4 = 0 (a + b = 0) 10
1 + (x − y)2 − 2 = 0 (−a + b = 0)
→
½ 4 = x + y
5 = 1 + (x − y)2 →
½ 4 = x + y
4 = (x − y)2 → x − y = ±2 Si hanno quindi due casi:
1)
½ x + y = 4
x − y = 2 → P = (3, 1) 2)
½ x + y = 4
x − y = −2 → Q = (1, 3)
H(x, y) =
−8
(x + y)2 + 5.2.(x − y)
(1 + (x − y)2)2; −8
(x + y)2 − 5.2.(x − y) (1 + (x − y)2)2
... −8
(x + y)2 + 5.2.(x − y) (1 + (x − y)2)2
Nei punti P e Q si ha (x + y)2= 16 e 1 + (x − y)2= 5, pertanto H(P ) =
−1 2+4
5 = 3 10; −1
2 −4 5 = −13
10
−13 10
3 10
, H(Q) =
−1 2 −4
5 = −13 10; −1
2 +4 5 = 3 3 10
10 −13
10
Quindi P `e sella e Q `e massimo.
b) Se v = (2, −2), e C = (0, 1), allora Dv/kvkf (C) = 1
2√
2(2fx(C) − 2fy(C)) = −3
√2
1
4) Calcolare R R
E(x + 2y)dxdy dove E `e la regione del piano limitata dalle rette y = x, y = −x, y = −2x − 3.
La regione E `e il triangolo di vertici (0, 0), (−3, 3), (−1, −1).
R R
E(x + 2y)dxdy =R−1
−3(R−x
−2x−3(x + 2y)dy)dx +R0
−1(R−x
x (x + 2y)dy)dx = 13 −2
3 = 37 oppure...3
———————————————
RECUPERI
C*) Estremi di f (x, y) = 3x4+ y4− 2x2y2− 1
L’unico punto stazionario `e O=(0,0), e la matrice hessiana presenta un caso dubbio.
∆f = f (x, y) − f (0, 0) = 3x4+ y4− 2x2y2> x4+ y4− 2x2y2= (x2− y2)2≥ 0 Quindi (0,0) `e un minimo.
D*) Sia f (x, y) = p
1 − 4x2− y2. Calcolare R R
Df (x, y)dxdy dove D `e il dominio di f.
D =©
(x, y) : 1 − 4x2− y2≥ 0ª
, cio`e i punti interni all’ellisse di equazione
4x2− y2= 1 In coordinate ellittiche
½ 2x = ρ cos θ
y = ρ sin θ , |J(ρ, θ)| = ρ
2, la regione dsi trasforma nel rettangolo
D0= {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}
e l’integrale R R
Df (x, y)dxdy =R R
D0f (x(ρ, θ), y(ρ, θ)) |J(ρ, θ)| dρdθ =
=R2π
0 (R1
0
p1 − ρ2ρ
2dρ)dθ = 2π.(−1
6(1 − ρ2)3/2|10= π 3
2
