Un'onda elettromagnetica

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Onde elettromagnetiche

Equazione dell'onda - Onde piane Sistemi di unità di misura

Lezione n. 39 – 13.05.2021

Corrente superficiale

• Una densità di corrente superficiale infinita genera un campo magnetico parallelo al piano della corrente e perpendicolare alla direzione della stessa (vedi )

• La legge di Biot e Savart implica che B non possa essere parallelo a K e quindi B_y = 0

• La componente B_x deve essere nulla per simmetria

• Infatti se u → −u deve anche essere B → −B

• Ma la trasformazione della velocità può essere ottenuta da una rotazione di π intorno all'asse x

• Non cambia il segno di B_x e quindi B_x = 0

• Pertanto il campo magnetico è diretto lungo l'asse z

• Sempre utilizzando la legge di Biot e Savart ci si può convincere che

• Utilizziamo la legge di Ampère

1061156

Un'onda elettromagnetica

• Consideriamo ancora l'esempio precedente

• Ignoriamo il campo elettrico generato dal piano di carica

• Possiamo sempre immaginare che ci sia un altro piano di densità −σ che si muove con velocità –u

• Il piano è fermo per t < 0, inizia a muoversi a t = 0

• Per t < 0 il campo magnetico è nullo

• Per t > 0 il campo diventa B = μ₀K/2

• Tuttavia per distanze x > vt il campo deve essere nullo

• Chiamiamo v la velocità di propagazione del campo magnetico

• Visto dall'alto il campo magnetico appare come in figura

• La regione di transizione fra B ≠ 0 e B = 0 è determinata dal modo in cui il piano

di carica passa dallo stato di quiete al moto

• Se l'accelerazione è molto rapida la transizione è più netta

entrante uscente

Un'onda elettromagnetica

• Nella regione di transizione c'è una variazione del campo magnetico nello spazio e nel tempo

• Studiamo la transizione con l'equazione di Maxwell

• Il rotore ha una sola componente non nulla

• Le componenti B_x e B_y sono nulle

• Pertanto nella regione di transizione compare un campo elettrico

J ≠ 0 solo per z = 0

Un'onda elettromagnetica

• Possiamo utilizzare anche l'altra equazione di Maxwell

• Dato che solo la componente z di B è diversa da zero → solo (∇×E)_z ≠ 0

• La componente E_x potrebbe essere costante. La assumiamo nulla

• Tutto il nostro ragionamento è definito a meno di campi costanti

• Possiamo calcolare il campo magnetico

• La variazione del campo elettrico genera a sua volta un campo magnetico

• Le due relazioni trovate devono essere compatibili

La velocità di propagazione è determinata dalle costanti ε e μ

Un'onda elettromagnetica

• Riassumiamo quanto abbiamo capito

• Il passaggio dallo stato di quiete allo stato di moto del piano di carica genera un'onda elettromagnetica

• L'onda viaggia con velocità

• Nelle immediate vicinanze della corrente superficiale il campo magnetico è generato dalla corrente superficiale

• Allontanandosi dalla sorgente i campi sono generati dalle loro variazioni spazio-temporali

• Le variazioni del campo B generano localmente il campo E (Faraday)

• Le variazioni del campo E generano localmente il campo B (Maxwell)

• I campi sono perpendicolari fra di loro

• Perpendicolarità imposta dalle equazioni di Maxwell (introdotta dal rotore)

• I campi sono perpendicolari alla direzione di propagazione

• Vedremo che dipende dalle equazioni ∇⋅E = 0 _e ∇⋅B = 0

v risulta essere la velocità della luce

Un'onda elettromagnetica

• Supponiamo che dopo un tempo T lo strato di carica venga arrestato

• L'andamento della corrente nel tempo è stato come in figura

• La corrente non genera più il campo magnetico

• Si forma una zona senza campo

• Il campo generato nell'intervallo 0 ≤ t ≤ T continua a viaggiare nelle due direzioni

• Complessivamente il fenomeno è stato

• La corrente ha generato un'onda elettromagnetica

• Radiazione

• Il campo si è disaccoppiato dalla sorgente

• I campi E e B si sostengono a vicenda

• Propagazione

• Nelle regioni in cui i campi sono diversi da zero è immagazzinata energia

• Questa energia proviene dal lavoro fatto per generare l'onda

• Nello "spingere" la carica si deve vincere una "resistenza" di radiazione

Equazione dell'onda

• Scriviamo adesso l'equazione di propagazione dei campi E e B dopo che l'onda è stata generata

• Utilizziamo le equazioni di Maxwell nel vuoto con ρ = 0 e J = 0

• Si tratta di un sistema di equazioni differenziali accoppiate

• Per disaccoppiare i campi E e B calcoliamo il rotore delle ultime due equazioni

• Utilizziamo l'identità (diapositiva )

• Applichiamola alla terza equazione

• Utilizziamo la quarta equazione

• È una forma compatta per indicare le tre equazioni 63788

Il Sistema Internazionale SI

• Per definire le grandezze fondamentali (spazio, tempo, massa) c'è stata una evoluzione delle metodologie

• Il problema è gestito da organizzazioni internazionali fra le quali la più nota è la Conférence générale des poids et mesures

• Storicamente

• L'unità di misura del tempo è il secondo

• Il secondo era definito sulla base della lunghezza dell'anno terrestre

• L'unità di misura delle lunghezze è il metro

• Il metro era definito per confronto con il

metro campione, un manufatto conservato a Sèvres

• L'unità di misura della massa è il chilogrammo

• Il chilogrammo era definito per confronto con la massa campione, un manufatto conservato a Sèvres

• In tempi più recenti si è passati a definire le unità di misura in funzione di fenomeni più facilmente controllabili o di costanti fondamentali

• Secondo

• Unità di misura del tempo

• Nel 1967 la 13ª Conférence générale des poids et mesures lo ha definito come la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli dell'atomo di Cesio-133

Il Sistema Internazionale SI

• Velocità della luce

• È una costante universale

• Il suo valore è per definizione (quindi esatto) c = 299 792 458 m/s

• Metro

• Unità di misura dello spazio

• Nel 1983 la 17ª Conférence générale des poids et mesures lo ha definito in funzione della velocità della luce

come distanza percorsa dalla luce nel vuoto in

un intervallo di tempo pari a Δt = 1/299 792 458 s

• Costante di Planck

• È una costante universale

• Il suo valore è per definizione (quindi esatto) h = 6.626 070 15×10 ³⁴ J·s

• Chilogrammo

• Unità di misura della massa

• Nel 2018 la 26ª Conférence générale des poids et mesures lo ha definito come la massa equivalente

all'energia di un fotone di frequenza ν = 1.356 392 489 652×10⁵⁰

• Nel sistema MKS le unità sono metro, chilogrammo, secondo

• Nel sistema CGS le unità sono centimetro, grammo, secondo

Forza elettrica e forza magnetica

• Forza elettrica

• Fissare la costante k_e determina

• Le dimensioni della carica elettrica e del campo elettrico

• Le unità di misura della carica elettrica e del campo elettrico

• Forza magnetica

• Fissare la costante k_m determina

• Le dimensioni della corrente elettrica

• Le unità di misura della corrente elettrica

• Ruolo della costante α

• Permette di definire indipendentemente scala e unità di B rispetto a E

• Ci ritorneremo fra poco

F₂ F₁

r q₁

q₂

Le unità di misura elettromagnetiche

• Carica elettrica e corrente elettrica non sono indipendenti

• Poiché le cariche e le correnti sono collegate, le dimensioni del rapporto fra le due costanti k_e e k_m risulta determinato

• È il quadrato di una velocità

• In realtà la natura fissa anche il valore numerico del rapporto

• Assumiamo un valore per i₁ e i₂

• Fissiamo q₁ = i₁⋅Δt e q₂ = i₂⋅Δt con Δt = 1 s

• Il risultato sperimentale è che il rapporto fra le

due forze è uguale al quadrato della velocità della luce

• A questo punto fissare una delle due costanti k determina

• Le scale di unità con cui misurare le sorgenti e le loro dimensioni

• Il valore dell'altra costante k

• Nel Sistema Internazionale SI si fissa il valore di k_m

Le unità di misura elettromagnetiche

• In linea di principio le tre costanti k_e, k_m e α sono sufficienti

• La legga di Faraday ha bisogno di una costante in dipendenza delle dimensioni scelte per i campi E e per B

• In pratica, per determinare i valori delle costanti, è utile introdurre una ulteriore costante (ridondante)

• Scriviamo le equazioni Maxwell con le definizioni fin qui adottate

• Abbiamo visto che da queste equazioni si può ricavare l'equazione di propagazione delle onde elettromagnetiche

• Con le definizione adottate si ottiene

Sistemi a confronto

• Un'ultima scelta è dove avere il fattore 4π

• Nelle equazioni di Maxwell: sistema non razionalizzato

• Nelle equazioni della forza: sistema razionalizzato

• Come abbiamo detto nel sistema SI si fissa k_m = 10⁻⁷ MLT⁻²I⁻²

• Nel sistema SI

Sistemi a confronto

• Un'ultima scelta è dove avere il fattore 4π

• Nelle equazioni di Maxwell: sistema non razionalizzato

• Nelle equazioni della forza: sistema razionalizzato

• Come abbiamo detto nel sistema SI si fissa k_m = 10⁻⁷ MLT⁻²I⁻²

• Nel sistema SI

Sistemi a confronto

• Equazioni di Maxwell e forza di Lorentz

Sistemi a confronto

Convertire da SI a sistema Gauss

• Considerare l'equazione SI

• Sostituire le grandezze elettriche con l'espressione della tabella

• Trasformare le potenze di ε₀μ₀ nelle corrispondenti potenze di c

Convertire da SI a sistema Gauss

• Esempi

• Forza fra due fili

• Campo magnetico del filo infinito

Equazione dell'onda

• Si può dimostrare che anche le componenti B_x, B_y, B_z del campo magnetico soddisfano la stessa equazione

• Inoltre verificheremo in seguito che anche il potenziale vettore A _{e il}

potenziale scalare φ soddisfano la stessa equazione dell'onda

• Da un punto di vista matematico si tratta di una equazione differenziale alle derivate parziali di tipo iperbolico

• Per risolverla occorre definire le condizioni iniziali

• Ad esempio nel caso unidimensionale

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Le equazioni trovate sono una generalizzazione a tre dimensioni dell'equazione dell'onda in una dimensione

• Com'è noto nel caso unidimensionale la soluzione generale è

• Naturalmente la funzione E_y = −μ₀cKR_T(x−ct) soddisfa il nostro problema della corrente superficiale infinita

• Per correnti parallele ai piani x−y e x−z le soluzioni avrebbero potuto essere

• La caratteristica saliente di queste soluzioni è che il campo è costante sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione

• Ad esempio

• Nel caso in cui la direzione di propagazione sia arbitraria

u,v sono funzioni continue con derivata continua

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Cerchiamo le soluzioni dell'equazione dell'onda uni- dimensionale utilizzando la trasformata di Fourier

• La trasformata di Fourier è definita come

• Applicando le formule precedenti alla funzione di due variabili f(x,t)

• Calcoliamo le derivate di f(x,t)

• Introduciamo nell'equazione

• L'integrando deve essere identicamente nullo

***

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Abbiamo pertanto ricondotto il problema alla ricerca della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria (oscillatore armonico)

• Per ogni valore di k la soluzione è

• Rimandiamo la discussione delle "costanti" U(k) e V(k) che dipendono dalle condizioni iniziali

• Inserendo nell'espressione per f(x,t)

***

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Esaminiamo la soluzione trovata

• Abbiamo ritrovato la soluzione di D'Alembert

• La soluzione generale dell'equazione è la somma di due onde

• Un'onda che propaga nel senso negativo delle x

• Un'onda che propaga nel senso positivo delle x

• È facile verificare che per una arbitraria funzione h(x), due volte continua h(x ± ct) è soluzione dell'equazione delle onde

• Inoltre osserviamo che le funzioni exp[±ik(x ± ct)] sono soluzioni dell'equazione delle onde

• Sono funzioni sinusoidali

• I parametri ω e k non sono indipendenti ω = kc

• Le funzioni exp[±ik(x ± ct)] dette anche onde monocromatiche di frequenza ω = kc

• La soluzione generale, espressa sotto forma di trasformata, è una sovrapposizione (integrale) di onde sinusoidali

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Per finire determiniamo U(k) e V(k) in funzione delle condizioni iniziali

• Abbiamo

• Inoltre

• Otteniamo

***

Onde piane e monocromatiche

• Ritorniamo alle onde elettromagnetiche

• Abbiamo visto che i campi E e B soddisfano le equazioni

• In coordinate cartesiane le 6 componenti dei campi soddisfano le equazioni dell'onda

• Una soluzione dell'equazione dell'onda non soddisfa necessariamente le equazioni di Maxwell (che accoppiano E _e B )

• Le equazioni d'onda per E _{e per} B sono disaccoppiate

• La richiesta che le soluzioni soddisfino anche le equazioni di Maxwell restringe le soluzioni accettabili: onde elettromagnetiche

• Le equazioni ∇⋅E = 0 _e ∇⋅B = 0 impongono che E e B siano perpendicolari alla direzione di propagazione

• Le equazioni del rotore impongono che i campi E e B siano perpendicolari fra loro e i loro moduli collegati

• Consideriamo soluzioni del tipo E(r,t) = E₀ e−i(ωt − kx)

• Un'onda che propaga lungo l'asse x

• I campi E(r,t) e B(r,t) hanno lo stesso valore sui piani perpendicolari all'asse x

• Un'onda di questo tipo si chiama onda piana

Soluzioni: onde piane

• In un'onda piana i campi E e B non cambiano spostandosi sul piano

• Non necessariamente il piano deve essere perpendicolare ad uno degli assi coordinato

iI campi dipendono solo dalla lunghezza ζ della

proiezione di r nella direzione della normale al piano

• Il fatto che il campo dipenda solo da ζ implica che le derivate abbiano una forma particolare

• Espressioni analoghe per le altre derivate

• Specializziamo queste considerazioni all'operatore ∇ applicato a un'onda piana (in coordinate cartesiane) o a una sua componente f(ζ)

ζ è la distanza del piano dall'origine

Soluzioni: onde piane

• Utilizzando l'espressione dell'operatore ∇ trovata per l'onda piana possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell nel vuoto

• Ricaviamo adesso la proprietà di trasversalità dell'onda piana

• Moltiplichiamo per la quarta equazione

• Analogamente per la prima equazione si ha

• Sommando le due equazioni

• Il differenziale dE è la variazione del campo elettrico se ci si muove nella direzione di propagazione o se varia il tempo

definiamo

Soluzioni: onde piane

• Analogamente dalla seconda e dalla terza equazione si ricava

• Il significato di queste equazioni è il seguente

• In un'onda piana le variazioni dE e dB dovute a spostamenti lungo ζ e/o a variazioni nel tempo sono perpendicolari a

• È possibile che la condizione sia verificata anche per campi con componente lungo ζ

• Ad esempio, il campo E potrebbe avere una componente uniforme lungo ζ

• Implica che anche

• Non sono onde che si propagano

• Quindi i campi E _e B di un'onda giacciono sul piano perpendicolare a

• Utilizziamo un sistema di riferimento locale ξ−η

• I campi possono essere scomposti nelle componenti E_ξ e E_η, B_ξ e B_η

Verifichiamo adesso che queste componenti soddisfano l'equazione dell'onda inoltre

Significa che sono anche campi statici ricordiamo la precedente

Soluzioni: onde piane

• Ricaviamo l'equazione dell'onda nella coordinata ζ

• Utilizziamo la terza e la quarta equazione

• Moltiplichiamo vettorialmente la terza per

• Deriviamo rispetto a ζ l'equazione ottenuta e rispetto a t la quarta

• Eliminiamo B

Analogamente per il campo B

Ci siamo ricondotti all'equazione dell'onda unidimensionale