Lo scopo di questo articolo ` e di dimostrare il classico teorema della diver- genza in R n , il quale dice
Teorema: 1. Sia A un aperto limitato a frontiera regolare, n : ∂A → S n la normale uscente e sia f un campo vettoriale C 1 su un intorno di A. Allora
Z
∂A
hf (x), n(x)idV = Z
A
div f (x)dx
Nella dimostrazione useremo il teorema di Stokes per le variet` a. In partico- lare un aperto a frontiera regolare per noi sar` a una n-sottovariet` a a bordo di R n (con la normale uscente definita di conseguenza).
Consideriamo ora per ogni i = 1, . . . , n le seguente n-forma ω i = (−1) i dx 1 ∧ · · · ∧ c dx i ∧ · · · ∧ dx n
ω f =
n
X
i=1
f i ω i
e applichiamo il teorema di Stokes a ω f : Z
∂A
ω f = Z
A
d(ω f )
Ora, a che scopo tutto questo? L’osservazione fondamentale ` e che
d(ω f ) = d
n
X
i=1
f i ω i
!
=
n
X
i=1
∂f
∂x i
dx 1 ∧ · · · ∧ dx n
perci` o
Z
A
div f dx = Z
A
d(ω f ) Quindi il nostro obiettivo adesso ` e dimostrare che
Z
∂A
hf (x), n x idV = Z
∂A
ω f
Prendiamo quindi {(U, φ) i } i=1,...,k un ricoprimento finito di carte di ∂A che rispettano l’orientazione, e sia {σ i } i=1,...,k una partizione dell’unit` a subordinata al ricoprimento. Allora
Z
∂A
ω f =
k
X
i=1
Z
U
iφ # (σ i ω f ) =
k
X
i=1
Z
U
in
X
j=1
φ # (σ i f j ω j ) =
= X
i,j
Z
U
iσ i (φ(t))f j (φ(t))hω j | ∂ 1 φ, . . . , ∂ n−1 φidt =
k
X
i=1
Z
U
iσ i (φ(t))hf (φ(t)), v(t)idt
1
Dove v(t) ` e il vettore la cui componente j-esima ` e
v j (t) = hω j | ∂ 1 φ(t), . . . , ∂ n−1 φ(t)i = (−1) j det
∂ 1 φ 1 (t) · · · ∂ n−1 φ 1 (t)
.. . .. .
∂ \ 1 φ j (t) · · · ∂ n−1 \ φ j (t)
.. . .. .
∂ 1 φ n (t) · · · ∂ n−1 φ n (t)
Ora noi vorremmo che questo fosse uguale a
Z
∂A
hf (x), n(x)idx =
k
X
i=1
Z
U
iσ i (φ(t))hf (φ(t)), n(φ(t))iJ φ(t)dt Perci` o ` e sufficiente dimostrare che, per ogni t ∈ U i vale v(t) = n(φ(t))J φ(t).
Cominciamo dimostrando che v ` e ortogonale al piano tangente in φ(t) per ogni t ∈ U i . Noi sappiamo che il piano tangente ` e generato da ∂ r φ(t) per r = 1, . . . , n − 1. Ora
hv(t), ∂ r φ(t)i =
n
X
j=1
∂ r φ j (t)(−1) j det
∂ 1 φ 1 (t) · · · ∂ n−1 φ 1 (t)
.. . .. .
∂ \ 1 φ j (t) · · · ∂ n−1 \ φ j (t)
.. . .. .
∂ 1 φ n (t) · · · ∂ n−1 φ n (t)
che ` e uguale allo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna di
det
∂ r φ 1 (t) ∂ 1 φ 1 (t) · · · ∂ n−1 φ 1 (t)
.. . .. . .. .
∂ r φ n (t) ∂ 1 φ n (t) · · · ∂ n−1 φ n (t)
= 0
che ` e uguale a zero perch` e ha due colonne uguali. Quindi v(t) ` e ortogonale al piano tangente in φ(t). Inoltre da una nota formula il quadrato del fattore jacobiano J φ(t) ` e uguale alla somma dei quadrati dei determinanti dei minori (n − 1) × (n − 1) della matrice, che ` e proprio la norma quadra di v(t). Perci` o v(t) = ±n(φ(t))J φ(t) 1 .
Rimane da controllare solo il verso di v. Ora, poich` e n ` e la normale uscente, la base n, ∂ 1 φ, . . . , ∂ ( n − 1)φ ` e positiva per l’orientazione standard di R n . Perci` o quello che rimane da controllare ` e che v, ∂ 1 φ, . . . , ∂ ( n − 1)φ sia anch’essa una base positiva. Ma, sviluppando lungo la prima colonna
det v(t) | ∂ 1 φ | · · · | ∂ ( n − 1)φ =
n
X
j=1
(−1) j v j (t) det
∂ 1 φ 1 (t) · · · ∂ n−1 φ 1 (t)
.. . .. .
∂ \ 1 φ j (t) · · · ∂ n−1 \ φ j (t)
.. . .. .
∂ 1 φ n (t) · · · ∂ n−1 φ n (t)
=
1
