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Dimostrazioni 1
I numeri complessi
Teorema 1 C non `e un campo ordinato.
Ricordiamo che in un campo ordinato valgono le (10) e (11) del testo di riferimento
1, che riscriviamo:
∀x, y, z : x y → x + z y + z; (1)
∀x, y, z : x y e z 0 → x · z y · z (2) Premettiamo alla dimostrazione del teorema 1 il seguente
Lemma 1 −1 ≺ 0 dimostrazione
Se, per assurdo, fosse −1 0, per la (2) sarebbe (−1)·(−1) 0, quindi 1 0, da cui, sommando −1 ad ambo i membri, si avrebbe (per la (1)) 0 −1.
Confrontando con l’ipotesi iniziale, seguirebbe −1 = 0, che `e assurdo.
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dimostrazione del teorema 1
Affinch´ e ( C, ) sia un campo ordinato, l’ordinamento deve essere to- tale. Dimostreremo che gli elementi 0 (zero) e i (unit`a immaginaria) non sono confrontabili tra loro.
Se fosse i 0, moltiplicando ambo i membri per i si avrebbe, per la (2), i · i 0, ossia −1 0, contrariamente a quanto stabilito dal lemma.
Se fosse i 0, sommando −i ad ambo i membri si avrebbe, per la (1), i + (−i) −i, ossia 0 −i, da cui, moltiplicando ambo i mebri per −i si otterrebbe, per la (2), 0 (−i) · (−i), da cui 0 −1. Anche questo caso `e in contraddizione con il lemma.
Pertanto non ` e possibile dotare C di un ordinamento che lo renda un campo ordinato.
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1M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw- Hill
