Integrali di superficie & Teoremi della divergenza e di Stokes
Richiami di teoria
• Sia S una superficie, con rappresentazione parametrica data da T ⊂ R2 e
−
→r : T → R3, −→r = −→r (u, v) regolare.
Il versore normale a S `e
−
→n = 1
°°
°°
°
∂−→r
∂u × ∂−→r
∂v
°°
°°
°
Ã∂−→r
∂u × ∂−→r
∂v
!
Flusso di un campo vettoriale attraverso S
• Sia A ⊂ R3 aperto, −→r (T ) ⊂ A,
−
→F : A → R3 di classe C1. Il flusso di −→
F attraverso S `e
ZZ S
−
→F · −→n dS con · il prodotto scalare. Quindi
ZZ S
−
→F · −→n dS
=
ZZ T
−
→F (−→r (u, v)) ·
Ã∂−→r
∂u (u, v) × ∂−→r
∂v (u, v)
!
dudv
• Nel caso di S in forma cartesiana
S : z = f (x, y), (x, y) ∈ T ⊂ R2 si ha
−
→n = 1
vu
ut1 +
¯¯
¯¯
∂f
∂x
¯¯
¯¯ 2
+
¯¯
¯¯
¯
∂f
∂y
¯¯
¯¯
¯ 2
Ã
−∂f
∂x
−
→i 1 − ∂f
∂y
−
→i 2 + 1−→ i 3
!
quindi
ZZ S
−
→F · −→n dS
=
ZZ T
−
→F (x, y, f (x, y)) ·
Ã
−∂f
∂x
−
→i 1 − ∂f
∂y
−
→i 2 + 1−→ i 3
!
dxdy
Il teorema di Stokes
• Sia S una superficie, con rappr. parametrica
−
→r : T → R3, −→r = −→r (u, v) regolare e semplice
e versore normale −→n e sia
Γ = ∂S (curva semplice, chiusa, reg. tratti) orientata in modo da lasciare a sinistra il versore normale −→n di S, e sia
−
→F : A → R3 di classe C1.
Si ha
ZZ S
−→rot(−→
F ) · −→n dS =
I Γ
−
→F · dΓ
Si passa da un integrale di superficie a un integrale curvilineo!
Il teorema della divergenza
• Sia V ⊂ R3 un aperto limitato
• Sia S = ∂V la superficie bordo di V , rego- lare e chiusa, con versore normale −→n
• Sia −→
F : A ⊂ R3 → R3, −→
F ∈ C1(A), con A aperto tale che V ⊂ A.
Allora
ZZZ
V div(−→
F ) dxdydz =
ZZ S
−
→F · −→n dS
ove
div(−→
F ) = ∂F1
∂x + ∂F2
∂y + ∂F3
∂z
Si passa da un integrale di volume a un integrale di superficie!
