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Ã∂−→r ∂u × ∂−→r ∂v ! Flusso di un campo vettoriale attraverso S • Sia A ⊂ R3 aperto, −→r (T

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Integrali di superficie – Richiami di teoria

• Sia S una superficie, con rappresentazione parametrica data da T ⊂ R2 e

→r : T → R3, −→r = −→r (u, v) regolare.

Il versore normale a S `e

→n = 1

°°

°°

°

∂−→r

∂u × ∂−→r

∂v

°°

°°

°

Ã∂−→r

∂u × ∂−→r

∂v

!

Flusso di un campo vettoriale attraverso S

• Sia A ⊂ R3 aperto, −→r (T ) ⊂ A,

→F : A → R3 di classe C1. Il flusso di −→

F attraverso S `e

ZZ S

→F · −→n dS con · il prodotto scalare. Quindi

ZZ S

→F · −→n dS

=

ZZ T

→F (−→r (u, v)) ·

Ã∂−→r

∂u (u, v) × ∂−→r

∂v (u, v)

!

dudv

(2)

• Nel caso di S in forma cartesiana

S : z = f (x, y), (x, y) ∈ T ⊂ R2 si ha

→n = 1

vu

ut1 +

¯¯

¯¯

∂f

∂x

¯¯

¯¯ 2

+

¯¯

¯¯

¯

∂f

∂y

¯¯

¯¯

¯ 2

Ã

−∂f

∂x

→i 1 ∂f

∂y

→i 2 + 1−→ i 3

!

quindi

ZZ S

→F · −→n dS

=

ZZ T

→F (x, y, f (x, y)) ·

Ã

−∂f

∂x

→i 1 ∂f

∂y

→i 2 + 1−→ i 3

!

dxdy

(3)

Il teorema di Stokes

• Sia S una superficie, con rappr. parametrica

→r : T → R3, −→r = −→r (u, v) regolare e semplice.

e sia

Γ = ∂S (curva semplice, chiusa, reg. tratti) orientata in senso antiorario, e

→F : A → R3 di classe C1.

Si ha

ZZ S

−→rot(−→

F ) · −→n dS =

I Γ

→F · dΓ

Si passa da un integrale di superficie a un integrale curvilineo!

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