Esercitazione del 9 Dicembre

(1)

Esercitazione del 9 Dicembre

Es 1

 

       

    ^{ }

1

2 2 1

,..., 2 1

1 0

2 1 0

Quando è funzione di densità?

1

0 1

Media e varianza?

1 1 0 0 1 1

2 2 0

1* 1* 0

2 2

Considerando i due stimatori:

ˆ 1

k

n i

i

X X

x p x x

x altrove

p k

E X P P P

Var X E X E X

n x



 

  



   

   

   

 





 

     

   

      





   

  ^ ^ ^ ^{ } ^

     

 

     

  ^{ }

1

1 1

2

correzione della stima 2

0

1

; ˆ Calcolare

1 1

è non distorto N.B.

ˆ ,

,

ˆ ˆ ˆ

ˆ 1

n

n n

n n i

i i

bias

n n n

n i

i

T x

E E x E X

n n

EQM r d E d x

r d Var d b d

EQM E Var distorsione

Var Var E X

n



 

  



   





 



 

   

 

    

 

   





 

 

      ^ ^

   

2 1

2 2 2

1

1 1 1

Comportamento per

Il campione coincide con la popolazione, lo scarto si annulla.

1 1

n n

i i

n

Var X n

Var X E X

n n n

n

EQM

EQM Tn n

  





   

 

 

    

 

 

 

(2)

Es 2

 

           

     

   

 

1 2 3

2

, ,

campione bernoulliano da X

1 3

12

1 1 36 36 73

3 3

12 12 12

73 12

73 61

12 12

1 2 *9 1

144

18*144 1 61

144 1 12

i i

X X X

T x x x

E T E X E X E X E X E X

EQM T E T Var T distorsione b T E T

EQM T



 



  

 

  

  

 

     

 

 

     

   

 

    

  

    

 

2

Sia * stimatore non distorto 73

12

*73 12

12 73

Per casa: calcolare e trovare lo stimatore migliore per la media W C T

E T E W c c

EQM W







(3)

Es 3

  ^{ }

   

 

       

 

   

 

1

2

1 2

,...,

1 1

Dimostrare che ˆ è stimatore non distorto di ˆ 1

ˆ ˆ 1

Esiste | 1 6 1 è migliore di ˆ ?

1

1 1 1

1 ˆ 1

1

n

n i

i

n i

n n

n

T T

n E T E T

EQM T Var T n

c n n W cT c T T

E W cE T c E T

c c

EQM W EQM T

EQM W E w



  





 

        

   



  





      ^{ }

    ^ ^

 

2

2 2

1 2

2 2

2 2 2 2

2

1

1 1 1 1

2

2 2 1

ˆ Prendo 6

6 2 2 1

ˆ

6 2 2 1 1

12 12 5 0

mai

lo stimatore W non è mai il migliore

n

Var W c Var T c Var T

c c c

c c W

EQM W

n c c EQM T

n EQM W

c c EQM T

c c

   



      

  

  

 

   

 



  



  

  



(4)

Es 4

 

       

   

 

1

1 2

1

1 2

1

1 0

,..., ,

, * , *... ,

1

1 se 0 1 0 altrove

Determinare k affinchè x sia una densità 1

n

x x x i

i n

i

x x i x

x

n x x

discreta p x p x p x

continua x x x

kx x x

f x

k x x dx



  





 



 

 

   

 



 



   



 

  

         

       

   

1 2 1

1 1

0

1

1 1

1

1 2

2 1

1 1

1 2 1 2

1 2 1

1 2

1 2 1

log log 1 log 2 log log 1

log 1 log 2 log

n n n

i i

i

n n

i i

x x

k x x dx k k k

k

L x x

L n n x x

n n x

 



 

   

 

  

   

  

 





 



 

       

  

 

       

 

 

   

    

   

         

   

     





 

 

      

  

 

  

1 1

1

2

1

2

1 1 1

1

log 1

log log

1 2

2 1 1 2 log

1 2 0

2 2 2 log

1 2 0

log 2 3 log 3 2 log

1 2 0

2 3 log

ˆ

n n

i i

n i i

n n n

i i i

i i

i

x

d n n

L x

d

n n x

n n n n x

x n x n x

n x

   

 

    

 





  



 

    

 

     

 

 

      

  

     

   

    

 

 



 



  

2

1

2 4 log

2 log

n n

i i

n i i

n x

x







Esercitazione del 9 Dicembre