1. Siano X e Y due spazi metrici e sia f : X → Y un’applicazione uniformemente continua. Provare che se A ` e un sottoinsieme totalmente limitato di X allora f (A) ` e un sottoinsieme totalmente limitato di Y .

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 11

19 Dicembre 2013

1. Siano X e Y due spazi metrici e sia f : X → Y un’applicazione uniformemente continua. Provare che se A ` e un sottoinsieme totalmente limitato di X allora f (A) ` e un sottoinsieme totalmente limitato di Y .

2. Mostrare che un sottoinsieme di R

euclideo ` e limitato se e soltanto se ` e totalmente limitato.

3. Sia X uno spazio metrico compatto e separabile e sia ∼ una relazione di equivalenza aperta su X. Provare che X/ ∼ ` e metrizzabile se e solo se X/ ∼ ` e di Hausdorff.

4. Sia X uno spazio topologico normale e 2-numerabile. Dimostrare che ogni chiuso di X

` e intersezione di una famiglia numerabile di aperti di X.

5. Se R ` e un anello commutativo unitario indichiamo con m-Spec(R) l’insieme degli ideali massimali di R. Siano X uno spazio topologico compatto e C(X) l’anello delle funzioni continue su X a valori in C. Per ogni x ∈ X definiamo

m

:= f ∈ C(X) | f (x) = 0 . Dimostrare che

(a) m

∈ m-Spec(C(X)) per ogni x ∈ X;

(b) m-Spec(C(X)) = {m

}

.

6. Dimostrare che uno spazio metrico X ` e compatto se e solo se ogni funzione continua su X a valori reali ` e limitata.

7. Dati due spazi topologici X e Y , sia C(X, Y ) l’insieme delle applicazioni continue da X a Y . Se K ` e un sottoinsieme compatto di X e U ` e un aperto di Y si ponga

W (K, U ) := f ∈ C(X, Y ) | f (K) ⊂ U .

Sia infine τ

l’unica topologia su C(X, Y ), detta topologia compatto-aperto, che ha per sottobase la collezione dei sottoinsiemi W (K, U ) al variare di K nei compatti di X e di U negli aperti di Y (in altre parole, gli elementi di τ

sono ∅, C(X, Y ) e le unioni di intersezioni finite di sottoinsiemi della forma W (K, U )).

(a) Provare che se {?} ` e uno spazio con un solo punto allora C({?}, Y ), τ

∼ = Y . (b) Provare che se Y ` e di Hausdorff (rispettivamente, regolare) allora (C(X, Y ), τ

)

`

e di Hausdorff (rispettivamente, regolare).

(c) Provare che se X ` e compatto e Y ` e discreto allora τ

coincide con la topologia discreta su C(X, Y ).

8. Sia X uno spazio T

localmente compatto e sia e X = X ∪ {∞} la compattificazione di Alexandroff di X. Provare che e X ` e metrizzabile se e soltanto se X ` e 2-numerabile e

∞ ha un sistema fondamentale di intorni numerabile.