1) Data la funzione f (x, y) = (x − 2y)(y 2 − x)

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19 giugno 2013 – A

1) Data la funzione f (x, y) = (x − 2y)(y ² − x)

a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, c) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

D = {(x, y) ∈ IR ² | |x| − 1 ≤ y ≤ 2}.

2) Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (yz ² , x ² y, z(x ² + y)) uscente dalla superficie semplice S frontiera del solido

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | 0 ≤ z ≤ 2 − (x ² + y ² ), z ≤ 1}

3) Data la curva semplice e regolare γ avente per sostegno l’intersezione del cilindro x ² + z ² = 1 con il piano x + y + z = 1 nella regione z ≥ 0 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P (0, 0, 1) verifichi T · j > 0,

a) determinarne versore tangente, normale e binormale nel punto P , b) calcolarne curvatura e torsione in P ,

c) calcolare il lavoro del campo F(x, y, z) = (x, 0, z ² ) lungo γ.

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy



 

 

y ⁰⁰ − 4y ⁰ = (x + 1)e ^4x y(0) = 0

y ⁰ (0) = 0

1) La ammette come unici punti stazionari i punti O(0, 0), P (4, 2) e Q( ³ ₂ , 1). I punti O(0, 0) e P (4, 2) risultano punti di sella mentre Q( ³ ₂ , 1) risulta punto di massimo relativo con f (1, ³ ₂ ) = ¹ ₄ .

Risulta min _D f (x, y) = f (−3, 2) = −49 mentre max _D f (x, y) = f (0, −1) = 2 (si osservi che il punto di massimo relativo Q( ³ ₂ , 1) ` e interno al dominio D ma che f ( ³ ₂ , 1) < f (0, −1)).

2) Utilizzando il Teorema della divergenza si ha che Z Z

S

F · N u dσ = Z Z Z

T

2x ² + y dxdydz = 7 6 π essendo

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | z ∈ [0, 1], (x, y) ∈ D _z } con D _z = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ² ≤ 2 − z}

3) Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(θ) = (cos θ, 1 − cos θ − sin θ, sin θ) con θ ∈ [0, π]. Poich` e ϕ( ^π ₂ ) = P (0, 0, 1) e ϕ ⁰ ( ^π ₂ ) = (−1, 1, 0) si ha che ϕ ⁰ ( ^π ₂ ) · j = 1 > 0 e dunque che l’orientamento ` e quello richiesto. Si ottiene allora

T( π

2 ) = (− 1

√ 2 , 1

√ 2 , 0), B( π

2 ) = (− 1

√ 3 , − 1

√ 3 , − 1

√ 3 ), N( π

2 ) = ( 1

√ 6 , 1

√ 6 , − 2

√ 6 ).

Inoltre k( ^π ₂ ) =

√ 3 2 √

2 mentre τ ( ^π ₂ ) = 0 (si osservi che la curva ` e piana e dunque che τ (θ) = 0 per ogni θ ∈ [0, π]). Infine il lavoro del campo ` e pari a 0.

4) La soluzione del problema di Cauchy proposto ` e y(x) = − 3

64 − 3

64 e ^4x + ( x ² 8 − 3

16 x)e ^4x

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19 giugno 2013 – B

1) Data la funzione f (x, y) = (2x − y)(x ² − y)

a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

D = {(x, y) ∈ IR ² | |y| − 1 ≤ x ≤ 2}.

2) Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (xy ² , x ² z, z(y ² + x)) uscente dalla superficie semplice S frontiera del solido

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | 0 ≤ z ≤ 3 − (x ² + y ² ), z ≤ 2}

3) Data la curva semplice e regolare γ avente per sostegno l’intersezione del cilindro y ² + z ² = 1 con il piano x + y − z = 1 nella regione z ≥ 0 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P (2, 0, 1) verifichi T · j < 0,

a) determinarne versore tangente, normale e binormale nel punto P , b) calcolarne curvatura e torsione in P ,

c) calcolare il lavoro del campo F(x, y, z) = (0, y ² , z) lungo γ.

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy



 

 

y ⁰⁰ − 3y ⁰ = (x − 1)e ^3x y(0) = 0

y ⁰ (0) = 0

1) La ammette come unici punti stazionari i punti O(0, 0), P (2, 4) e Q(1, ³ ₂ ). I punti O(0, 0) e P (2, 4) risultano punti di sella mentre Q(1, ³ ₂ ) risulta punto di minimo relativo con f (1, ³ ₂ ) = − ¹ ₄ .

Risulta max _D f (x, y) = f (2, 3) = 49 mentre min _D f (x, y) = f (−1, 0) = −2 (si osservi che il punto di minimo relativo Q(1, ³ ₂ ) ` e interno al dominio D ma che f (1, ³ ₂ ) > f (−1, 0)).

2) Utilizzando il Teorema della divergenza si ha che Z Z

S

F · N u dσ = Z Z Z

T

2y ² + x dxdydz = 13 3 π essendo

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | z ∈ [0, 2], (x, y) ∈ D _z } con D _z = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ² ≤ 3 − z}

3) Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(θ) = (1 − cos θ + sin θ, cos θ, sin θ) con θ ∈ [0, π]. Poich` e ϕ( ^π ₂ ) = P (2, 0, 1) e ϕ ⁰ ( ^π ₂ ) = (1, −1, 0) si ha che ϕ ⁰ ( ^π ₂ ) · j = −1 < 0 e dunque che l’orientamento ` e quello richiesto. Si ottiene allora che

T( π

2 ) = ( 1

√ 2 , − 1

√ 2 , 0), B( π

2 ) = ( 1

√ 3 , 1

√ 3 , − 1

√ 3 ), N( π

2 ) = (− 1

√ 6 , − 1

√ 6 , − 2

√ 6 ).

Inoltre k( ^π ₂ ) =

√ 3 2 √

2 mentre τ ( ^π ₂ ) = 0 (si osservi che la curva ` e piana e dunque che τ (θ) = 0 per ogni θ ∈ [0, π]). Infine il lavoro del campo ` e pari a − ² ₃ .

4) La soluzione del problema di Cauchy proposto ` e y(x) = − 4

27 + 4

27 e ^3x + ( x ² 6 − 4

9 x)e ^3x

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 11 luglio 2013 – A

1) Data la funzione f (x, y) = log(16 − x ² − 4y ² )

a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

K = {(x, y) ∈ IR ² | x ²

9 + y ² ≤ 1}.

2) Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano D = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ²

4 ≤ 4, y ≥ 2 3 x ² } di densit` a di massa costante.

3) Data la curva γ di equazione cartesiana x = p1 + y ² , y ∈ [−2, 2]

a) determinarne versore tangente e normale orientato nel punto P (1, 0);

b) determinare l’equazione della circonferenza osculatrice nel punto P (1, 0), c) calcolare il lavoro del campo F(x, y) = (xy, x ² y) lungo γ.

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy ( y ⁰ = _x ^y + ^3x _y

y(−1) = 1

specificandone il dominio.

1) La funzione ammette come unico punto stazionario l’origine O(0, 0) che risulta punto di massimo assoluto (difatti f (0, 0) = log(16) ≥ log(16−x ² −4y ² ) per ogni (x, y) ∈ Dom(f )).

Risulta allora max _K f (x, y) = f (0, 0) = log(16), mentre min K f (x, y) = min

∂K f (x, y) = f (±3, 0) = log(7).

2) Per simmetria risulta x(B) = 0 mentre

y(B) = 1 µ(D)

Z Z

D

y dxdy = 1 µ(D)

Z

√ 3

− √ 3

( Z 2 √

4−x

2 3

x

y dy) dx = ... = 3 2 √

3 + 8π 56 √

3

5 ' 2, 03 3) Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(t) = ( √

1 + t ² , t) con t ∈ [−2, 2]. Poich` e ϕ(0) = P (1, 0), avremo

T(0) = ϕ ⁰ (0) = (0, 1) e N(0) = (−1, 0). ˜

Inoltre ˜ k(0) = ^ϕ _kϕ

^{(0)· ˜}

(0)k ^N(0)

= −1, dunque N(0) = − ˜ N(0) = (1, 0), k(0) = |˜ k(0)| = 1 e r(0) = 1. L’equazione della circonferenza osculatrice ` e quindi (x − 2) ² + y ² = 1.

Infine, il lavoro del campo dato lungo γ risulta pari a ¹⁶ ₃ . 4) La soluzione del problema di Cauchy proposto ` e

y(x) = p

x ² (6 log(−x) + 1) = −x p

6 log(−x) + 1

nell’intervallo (−∞, −e ⁻

). Si noti che l’equazione differenziale ` e equazione differenziale

di Bernoulli con α = −1, ` e possibile quindi risolverla ponendo z(x) = y ² (x). D’altra parte

l’equazione ` e equazione differenziale omogenea (ovvero della forma y ⁰ = g( ^y _x )) e potremo

risolverla ponendo z(x) = ^y(x) _x .

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 11 luglio 2013 – B

1) Data la funzione f (x, y) = log(36 − 9x ² − y ² )

a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

K = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ² 4 ≤ 1}.

2) Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano D = {(x, y) ∈ IR ² | 4x ² + y ² ≤ 4, x ≥ 1

6 y ² } di densit` a di massa costante.

3) Data la curva γ di equazione cartesiana y = √

1 + x ² , x ∈ [− ¹ ₂ , ¹ ₂ ] a) determinarne versore tangente e normale orientato nel punto P (0, 1);

b) determinare l’equazione della circonferenza osculatrice nel punto P (0, 1), c) calcolare il lavoro del campo F(x, y) = (xy, x ² y) lungo γ.

4) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy ( y ⁰ = _x ^y − ^3x _y

y(−1) = 2

specificandone il dominio.

1) La funzione ammette come unico punto stazionario l’origine O(0, 0) che risulta punto di massimo assoluto (difatti f (0, 0) = log(36) ≥ log(36−9x ² −y ² ) per ogni (x, y) ∈ Dom(f )).

Risulta allora max _K f (x, y) = f (0, 0) = log(36), mentre min K f (x, y) = min

∂K f (x, y) = f (±1, 0) = log(27).

2) Per simmetria risulta y(B) = 0 mentre

x(B) = 1 µ(D)

Z Z

D

x dxdy = 1 µ(D)

Z

√ 3

− √ 3

( Z

√

4−y

1 6

y

x dx) dy = ... = 6

√ 3 + 4π 7 √

3 10 ' 0, 5 3) Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(t) = (t, √

1 + t ² ) con t ∈ [− ¹ ₂ , ¹ ₂ ]. Poich` e ϕ(0) = P (0, 1), avremo

T(0) = ϕ ⁰ (0) = (1, 0) e N(0) = (0, 1). ˜

Inoltre ˜ k(0) = ^ϕ _kϕ

^{(0)· ˜}

(0)k ^N(0)

= 1, dunque N(0) = ˜ N(0) = (1, 0), k(0) = |˜ k(0)| = 1 e r(0) = 1.

L’equazione della circonferenza osculatrice ` e quindi x ² + (y − 2) ² = 1.

Infine, il lavoro del campo dato lungo γ risulta nullo.

4) La soluzione del problema di Cauchy proposto ` e y(x) = p

x ² (4 − 6 log(−x)) = −x p

4 − 6 log(−x)

nell’intervallo (−e

, 0). Si noti che l’equazione differenziale ` e equazione differenziale di

Bernoulli con α = −1, ` e possibile quindi risolverla ponendo z(x) = y ² (x). D’altra parte

l’equazione ` e equazione differenziale omogenea (ovvero della forma y ⁰ = g( ^y _x )) e potremo

risolverla ponendo z(x) = ^y(x) _x .

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 9 settembre 2013

1) Data la funzione f (x, y) =

( _sin(x

−y

)

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) stabilire in quali punti del suo dominio risulta continua, derivabile parzialmente e differenziabile.

2) Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = (yz ³ , xz ² , z) attraverso la su- perficie S ottenuta dalla rotazione della curva γ di equazione cartesiana x = √

1 + z ² , z ∈ [− √

3, √

3], attorno all’asse z di un angolo pari a π ed orientata in modo tale che nel punto P (0, 1, 0) risulti N · j < 0.

3) Dato il campo vettoriale F(x, y) =

 6y

(x−3y)

, _(x−3y) ^kx



dove k ` e un parametro reale a) determinarne il dominio e stabilire per quali valori di k ∈ IR risulta irrotazionale;

b) stabilire per quali valori di k ∈ IR risulta conservativo e per tali valori determinarne un potenziale.

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy ( y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 5y = 2 sin x

y(0) = −y ⁰ (0) = ¹ ₄

1) La funzione risulta continua e derivabile parzialmente in IR ² con

∂f

∂x =

( _3x

(x

+y

) cos(x

−y

)−2x sin(x

−y

)

(x

+y

)

se (x, y) 6= (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0)

e

∂f

∂y =

( _−3y

(x

+y

) cos(x

−y

)−2y sin(x

−y

)

(x

+y

)

se (x, y) 6= (0, 0)

−1 se (x, y) = (0, 0)

La funzione risulta di classe C ¹ , e quindi differenziabile, in IR ² \ {(0, 0)} essendo compo- sizione, somma e quoziente di funzioni di classe C ¹ . Nell’origine non risulta differenziabile poich` e non esiste

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) − f (0, 0) − ^∂f _∂x (0, 0)x − ^∂f _∂x (0, 0)y px ² + y ²

= lim

(x,y)→(0,0)

sin(x ³ − y ³ ) − x(x ² + y ² ) + y(x ² + y ² ) (x ² + y ² )px ² + y ²

2) Utilizzando le coordinate cilindriche, una parametrizzazione della superficie di ro- tazione S risulta

Φ :



 

  x = √

1 + z ² cos θ y = √

1 + z ² sin θ z = z

(z, θ) ∈ D = [− √ 3, √

3] × [0, π].

Ne segue che Φ _z (z, θ) ∧ Φ _θ (z, θ) = (− √

1 + z ² cos θ, − √

1 + z ² sin θ, z) e dunque, essendo P (0, 1, 0) = Φ(0, ^π ₂ ), che Φ z (0, ^π ₂ ) ∧ Φ θ (0, ^π ₂ ) = (0, −1, 0) e che l’orientamento indotto sulla superficie ` e quello richiesto. Si ottiene allora

Z Z

S

F · N dσ = Z Z

D

F(Φ(z, θ)) · Φ _z (z, θ) ∧ Φ _θ (z, θ) dzdθ

= Z Z

D

(z ³ √

1 + z ² sin θ, z ² √

1 + z ² cos θ, z) · (− √

1 + z ² cos θ, − √

1 + z ² sin θ, z) dzdθ

= Z Z

D

z ² − z ² (1 + z ² )(1 + z) sin θ cos θ dzdθ = π Z

√ 3

− √ 3

z ² dz = 2π √ 3

3) Il campo risulta definito in D = {(x, y) ∈ IR ² | x 6= 3y} e risulta irrotazionale solo per

Se k 6= −6 avremo che, non essendo irrotazionale, il campo non risulta conservativo.

Per k = −6 avremo che il campo risulta conservativo sulle componenti semplicemente connesse D ^± = {(x, y) ∈ IR ² | ± (x − 3y) > 0}. Poich`e D = D ⁺ ∪ D ⁻ e D ⁺ ∩ D ⁻ = ∅, possiamo concludere che per k = −6 il campo risulta conservativo in tutto il suo dominio.

Il generico potenziale del campo ` e dato da

U (x, y) = ( _6y

3y−x + c ⁺ se (x, y) ∈ D ⁺

6y

3y−x + c ⁻ se (x, y) ∈ D ⁻ con c ^± costanti arbitrarie non necessariamente uguali.

4) La soluzione del problema di Cauchy proposto ` e

y(x) = − ¹ ₂ e ^2x sin x + ¹ ₄ (cos x + sin x)

∗ Solo le risposte di cui ` e presente lo svolgimento sono ritenute valide per la valutazione del

compito.

1) Data la funzione f (x, y) =







log(1+x √

+y

)

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

stabilire se risulta continua, derivabile parzialmente e differenziabile nell’origine O(0, 0).

2) Determinare le coordinate del baricentro del corpo solido

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | x ² + y ² + z ² ≤ 2z, z ² ≥ 2(x ² + y ² )}

di densit` a di massa costante.

3) Calcolare il lavoro del campo F(x, y) = (2x + 1, xy) lungo la curva semplice γ avente per sostegno la frontiera positivamente orientata del dominio D = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ² ≤ 1, √

3y ≤ x + 1}.

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy ( y ⁰ + y − y ² = 0

y(0) = ¹ ₂

Risposte

1) La funzione risulta continua nell’origine ma non derivabile parzialmente, e quindi nem- meno differenziabile.

2) Per simmetria risulta x _B = y _B = 0 mentre z _B = ¹⁹ ₁₅ . Per calcolare gli integrali µ(B) =

Z Z Z

T

dxdydz e z _B = _µ(B) ¹ Z Z Z

T

z dxdydz si poteva procedere integrando per strati osservato che T = T ₁ ∪ T ₂ essendo

T ₁ = {(x, y, z) ∈ IR ³ | z ∈ [0, ⁴ ₃ ], (x, y) ∈ C _z } dove C _z = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ² ≤ ^z ₂

} e

T ₂ = {(x, y, z) ∈ IR ³ | z ∈ [ ⁴ ₃ , 2], (x, y) ∈ D _z }

dove D z = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ² ≤ 2z − z ² }. In alternativa si poteva integrare per fili osservato che

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | (x, y) ∈ D, p

2(x ² + y ² ) ≤ z ≤ 1 + p

1 − (x ² + y ² )}

con D = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + y ² ≤ ⁸ ₉ }.

3) Risulta γ = γ ₁ ∪ γ ₂ essendo γ ₁ (θ) = (cos θ, sin θ) con θ ∈ [−π, ^π ₃ ] e −γ ₂ (t) = (t, ^{t+1 √}

3 ) con t ∈ [0, ¹ ₂ ]. Si ottiene quindi che

Z

γ

F · ds = Z

γ

F · ds − Z

γ

F · ds = − ³ ₈ In alternativa si poteva utilizzare il Teorema di Green e calcolare

Z

∂D

F · ds = Z Z

D

∂F ₂

∂x − ∂F ₁

∂y dxdy = Z Z

D

y dxdy essendo D = D ₁ ∪ D ₂ dove D ₁ = {(x, y) ∈ IR ² | x ∈ [−1, ¹ ₂ ], − √

1 − x ² ≤ y ≤ ^{x+1 √}

3 } e D 2 = {(x, y) ∈ IR ² | x ∈ [ ¹ ₂ , 1], − √

1 − x ² ≤ y ≤ √

1 − x ² } 4) La soluzione del problema di Cauchy proposto ` e

y(x) = 1

e ^x + 1 .

equazione di Bernoulli e poteva essere ricondotta ad un’equazione lineare a coefficienti costanti ponendo z(x) = _y(x) ¹ .

∗ Solo le risposte di cui ` e presente lo svolgimento sono ritenute valide per la valutazione del

compito.

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 8 gennaio 2014

1) Data la funzione f (x, y) = 4y − x ² (y − 4), determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo della funzione nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D = {(x, y) ∈ IR ² | p1 + y ² ≤ x ≤ 2}.

2) Calcolare Z Z

D

|y − 2| dxdy essendo D = {(x, y) ∈ IR ² | x ≥ 0, √

4x − x ² ≤ y ≤ 4 − x}.

3) Data la curva ϕ(t) = (1 + cos t, 1 − sin t, sin(2t)), t ∈ [0, π], stabilire se risulta semplice e regolare. Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto P (1, 0, 0).

4) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy ( y ⁰⁰ + y = 2e ^x cos x

y(0) = y ⁰ (0) = 0

1) La funzione non ammette punti di massimo e di minimo relativo. Risulta punto di minimo assoluto in D il punto P (

√ 10

3 , − ¹ ₃ ) mentre risultano punti di massimo assoluto tutti i punti del segmento S = {(2, y) | |y| ≤ √

3}.

2) Risulta Z Z

D

|y − 2| dxdy = Z 2

0

( Z 4−x

2

y − 2 dy)dx + Z 2

0

( Z 2− √

4−y

0

2 − y dx)dy = 8 − 2π.

3) La curva risulta semplice e regolare. Versore tangente, normale e binormale nel punto P sono rispettivamente i versori

T = (− 1

√ 5 , 0, − 2

√ 5 ), N = (0, 1, 0) e B = ( 2

√ 5 , 0, − 1

√ 5 )

mentre curvatura e torsione sono pari a k = ¹ ₅ e τ = − ⁶ ₅ . 4) La soluzione del problema di Cauchy proposto ` e

y(x) = − ² ₅ cos x − ⁶ ₅ sin x + e ^x ( ² ₅ cos x + ⁴ ₅ sin x)

∗ Solo le risposte di cui ` e presente lo svolgimento sono ritenute valide per la valutazione del

compito.

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 8 febbraio 2014

1) Data la funzione f (x, y) = xy − y (x ² + y ² ) ²

a) Determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, b) Determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

D = {(x, y) ∈ IR ² | 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4, x ≥ y ≥ 0}.

2) Determinare le coordinate del baricentro del solido S = {(x, y) ∈ IR ³ | 2 p

x ² + y ² ≤ z ≤ p

x ² + y ² + 1}

di densit` a di massa σ(x, y, z) = z + 1.

3) Data la curva ϕ(t) = (4 − t ² , t ² ), t ∈ [−2, 2], a) stabilire se risulta semplice, chiusa e regolare, b) calcolare

Z

γ

x ds essendo γ il sostegno della curva.

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy ( y ⁰ = ² _x y + _x+1 ^x

y(− ¹ ₂ ) = 1