Sia f (x) funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f (x) ammette massimo e minimo in [a, b]: esistono x

3. IMMAGINE DI UNA FUNZIONE CONTINUA 105

Teorema 4.5. (di Weierstrass)

Sia f (x) funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f (x) ammette massimo e minimo in [a, b]: esistono x

, x

2 [a, b] tali che f (x

)  f(x)  f(x

) per ogni x 2 [a, b].

Dim. Posto M = sup

f (x) 2 R[{+1}, sia (y

)

una successione crescente tale che y

! M per n ! +1. Per ogni n 2 N, sia

A

= {x 2 [a, b] | f(x) y

} e a

= inf A

.

Per ogni n 2 N, essendo y

 y

, risulta A

⇢ A

⇢ [a, b] e quindi che a  a

 a

 b per ogni n 2 N.

La successione (a

)

`e successione crescente e limitata in [a, b] e quindi, dal Teo- rema di regolarit` a delle successioni monotone, tale successione risulta convergente, sia x

= lim

n!+1

a

2 [a, b].

Proviamo che f (x

) = M e dunque che M 2 R e che x

2 [a, b] `e punto di mas- simo. A tale scopo osserviamo che, dalla caratterizzazione di estremo inferiore, per ogni n 2 N esiste x

2 A

tale che

a

 x

 a

+ 1 n .

Dal Teorema del confronto per i limiti, otteniamo che anche x

! x

per n ! +1, da cui, essendo f (x) continua f (x

) ! f(x

) per n ! +1. D’altra parte, essendo x

2 A

, abbiamo che M f (x

) y

per ogni n 2 N e poich`e y

! M per n ! +1, sempre dal Teorema del confronto per i limiti, risulta f(x

) ! M per

n ! +1 e dunque che f(x

) = M ⇤