Aliasing Aliasing Aliasing Aliasing ∑ Campionamento Campionamento

1

• L’ interferogramma misurato W_inon e’ una funzione continua, ma campionata su un insieme di punti a posizioni x_idello specchio mobile, separate da Δx

• Quindi si puo’ calcolare solo una trasformata di Fourier discreta.

• Esiste un insieme di frequenze σ_ialle quali la trasformata discreta di Fourier dell’ interferogramma campionato e’

esattamente uguale alla trasformata di Fourier dell’

interferogamma, cioe’ allo spettro vero. Queste frequenze sono

• A queste frequenze

• Lo spettro campionato e’ ambiguo: ci sono infinite frequenze possibili che possono generare esattamente gli stessi segnali di interferenza nei punti x_i.

Campionamento

,...

2 , 1 , 0

2 = ± ±

= Δ n

x n σ

n

( ) W ( m x ) ( m x ) x

S

_n

N

N m n

s

= ∑ Δ Δ Δ

−

=

πσ

σ cos 4

(

m x m

) (

m x

)

x m

x ⎟⎟⎠= Δ + = Δ

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ Δ πσ π πσ

σ

π cos4 2 cos4

2 4

cos l l

• Per ogni frequenza dello spettro campionato esistono infinite altre frequenze che generano uno spettro indistinguibile dal primo.

• Quindi lo spettro campionato sara’ corretto solo nel primo intervallo, poi si ripetera’ uguale.

• L’ intervallo spettrale libero e’ quindi

Campionamento

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + Δ

=

⇒

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

Δ Δ Δ

=

Δ

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦ ⎤ Δ

⎢⎣ ⎡ + Δ

∑

=−

S x S x x m x

m W S

x m x

x m

n s n s n

N

N m n s

4 2 cos

4 2 cos

4

cos l

l

σ σ πσ

σ

πσ σ

π

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

∈ Δ

n

x 2 , 1 σ 0

• Inoltre:

• quindi

Aliasing

( )

( ) ( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤ Δ

⎢⎣⎡ +Δ

= Δ Δ Δ +

= Δ Δ

−

−

=

= Δ Δ

−

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤ Δ

⎢⎣⎡ −Δ Δ

x x m x

m m x m m

x m m x x m

σ π σ

π π σ

π π

σ π π σ

π

4 4 1 cos 4

cos 4

cos

4 4 cos

4 1 cos

• Quindi, all’ interno dell’

intervallo spettrale libero, lo spettro campionato si riflette attorno alla frequenza di Nyquist:

N

= Δ x 4 σ 1

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ + Δ

= Δ

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ − Δ

Δ σ σ

S x

S

_s

x

_s

4 1 4

1

Δx 4

1 Δx 2

1 σ

S

• Si noti che σ_Ne’ meta’ della freq. di campionamento σ_C=1/(2Δx).

• Questo fenomeno e’ caratteristico di tutti i segnali campionati. Da segnali campionati ad intervalli Δx non c’e’ modo di sapere se il segnale proviene dalla frequenza σ o dalla frequenza σ_N+(σ_N-σ).

• E’ quindi necessario rimuovere con un filtro passa-basso molto efficiente tutte le frequenze superiori a quella di Nyquist.

• Esempio tipico: musica digitale. Nei CD il suono e’ campionato ad una frequenza di 44kHz. In questo modo, tutte le frequenze udibili dall’ orecchio umano (10Hz-20 kHz) sono inferiori alla frequenza di Nyquist di 22kHz. Solo frequenze superiori a 22kHz potrebbero contaminare le frequenze udibili. Ma sono inudibili, e quindi possono essere rimosse con un filtro passa-basso opportuno, che taglia le frequenze inudibili e lascia inalterate quelle udibili.

Aliasing

N

= Δ x 4 σ 1

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ + Δ

= Δ

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ − Δ

Δ σ σ

S x

S

s

x

s

4 1 4

1

• L’ aliasing negli spettri FTS deve essere ridotto in due modi:

– Utilizzando filtri passa basso ottici opportuni

– Infittendo il passo di campionamento Δx finche’ la frequenza di Nyquist diventa superiore a quella della massima frequenza contenuta nel segnale da analizzare.

• Il problema e’ particolarmente sentito nel lontano IR, sub-mm e mm, dove la radiazione da analizzare ha normalmente intensita’ molto inferiore a quella di frequenze piu’ alte (IR e visibile).

Queste ultime devono quindi essere rimosse con filtri passa-basso estremamente efficienti.

Aliasing

mm IR Vis

Logν

LogB(ν) • Esempio tipico: misura dello spettro della CMB:

• L’ intensita’ di un corpo nero a 2.728K e’ 100 volte inferiore a quella di un corpo nero a 273K nella regione di Raileigh-Jeans, ma e’ enormemente inferiore nella regione di Wien.

• Esercizio: ricavare il fattore di reiezione che deve avere un filtro passa-basso per permettere la misura al 10% della brillanza CMB a σ=5,10 e 20 cm^-1, in presenza di un fondo di origine strumentale a 273K con emissivita’ del 5%.

•

Aliasing

2

FFT

• DFT:

1 ...

2 , 1 , 0

;

; )

( = Δ = −

= h t t k k N

h

_{k k k}

,..., 2

; N 2 N

N n

f

_n

n = − +

= Δ

∑

⁻

=

=

¹

0

/

)

2

( ) (

N

k

N ikn k

n

h t e

f

H

^π

N i N

k nk k

n

h W W e

H

^{2 /}

1

0

=

π

= ∑

⁻

=

) ( N

²

O

FFT

• Lemma di Danielson-Lanczos :

O k k E k

N

k

j N ikj k k N

k

j N ikj k

N

k

j N j ik k N

k

j N j ik k N

k

j N ijk k n

F W F

f e h W f e h

f e

h f e h

f e h F

+

=

= +

=

= +

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

−

=

+

−

=

−

=

+

− +

=

−

=

1 2 /

0

1 2 ) 2 / /(

2 1

2 /

0

2 ) 2 / /(

2

1 2 /

0

1 2 / ) 1 2 ( 2 1

2 /

0

2 / ) 2 ( 2 1

0 / 2

π π

π π

π

Trasformata di Fourier di lunghezza N:

2 Trasformate di Fourier di lunghezza N/2 N

e

i

W

^{2 /}

dove =

^π

FFT

• Se il numero di punti da trasformare è una potenza di 2, si può iterare il lemma un numero di volte Log

₂

N , arrivando a calcolare trasformate di Fourier di lunghezza N=1 (che sono identità).

• Quindi, per qualche valore di n succede che

• Si tratta poi di trovare quale sequenza di trasformazioni è quella giusta per tutti gli n.

• Ma già questo dimostra che il numero di operazioni da fare stavolta è solo Nlog

2

N invece di N

²

.

n EEO EOOEEOEO

k

f

F

^..

=

• Ma come si fa la divisione del fascio in due da ritardare e ricombinare ?

• Ci vuole un beamsplitter.

• Soluzione piu’

semplice: film dielettrico

• Indice di rifrazione n, angolo di incidenza θ, angolo di rifrazione θ’.

• Trattazione identica al Fabry- Perot

Il beamsplitter

r rt²

r³t² r⁵t²

r⁷t² t rt

r²t

t² r²t²

r⁴t² r⁶t²

n

• Come per il FP lo sfasamento tra un raggio e il successivo e’

• Il campo riflesso totale sara’ la somma di tutti i campi riflessi:

Il beamsplitter

r rt²

r³t² r⁵t²

r⁷t² t rt

r²t

t² r²t²

r⁴t² r⁶t²

n

σ θ π

δ = 4 nd cos '

( ) ( )

( 2 3 ) ...

cos

2 2 cos 2

cos 2

cos (

2 5

2 3 2

+ + +

+ + +

+ +

−

=

δ πσ

δ πσ δ

πσ πσ

ct t r

ct t r ct rt ct r E

E

_o

La riflessione in un mezzo con n inferiore di quello dello specchio provoca uno sfasamento di π (equazioni di Fresnel)

• E passando alla notazione esponenziale

• Analogamente si trova il campo trasmesso

Il beamsplitter

( ) ( )

( 2 3 ) ...

cos

2 2 cos 2

cos 2

cos (

2 5

2 3 2

+ + +

+ + +

+ +

−

=

δ πσ

δ πσ δ

πσ πσ

ct t r

ct t r ct rt ct r E E

R o

( )

[ ]

( )

( )

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

= −

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− + −

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ + −

−

=

= + + + + +

−

=

= + + + + +

−

=

δ πσ δ

δ πσ δ

δ δ πσ

δ δ δ δ πσ

δ δ δ δ πσ

i i ct i o R

i i ct

i i o i ct i o

i i i i ct i o

i i i i ct i o R

e r

e e r

E E

e r

e re r

e E e r t re E

e r e r e r e t re E

e t r e t r e t r e t re E E

2 2

2 2 2

2 2 2

3 6 2 4 2 2 2

4 2 6 3 2 4 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

1 1

...

1 1

....) 1

(

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

=

_o^iπσct

−

_iδ

T

r e

e t E

E

₂

2 2

1

3 Il beamsplitter

r rt²

r³t² r⁵t²

r⁷t² t rt

r²t

t² r²t²

r⁴t² r⁶t²

n

( )

i ct

i o i ct i o

R

r E e

e r

e e r

E

E

_δ ^πσ

πσ δ 2

2

2

ˆ

1

1 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

= −

ct i i o ct i o

T

t E e

e r e t E

E

^πσ _{2 δ} ^2πσ

2

2

ˆ

1 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

ct i o

e E

^2πσ

Specchio fisso

Specchio Mobile

Rivelatore Beamsplitter

Sorgente

Ambedue i fasci vengono sia riflessi che trasmessi dal beamsplitter prima di arrivare al rivelatore

t r e E E

_Riv

= 2

_o ^i2πσct

ˆ ˆ

• L’ intensita’ trasmessa fino al rivelatore e’

quindi

• Che diventa nulla quando

Il beamsplitter

( ) ( )

( )

( ) ( ^{( )} )

( )

( ) ( ⁽

²

)

²

⁾

2 2 Riv

4 2

2 2 2 Riv

42 2 4 2 2 42 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

*

* 2 2

* Riv Riv Riv

cos 2 1

cos 1 ) 1 ( 8 cos

2 1

cos 1 ) 1 ( 8

cos 2 1

cos 1 4 2

1

1 4 1

1 1 1

1 1

4 1

ˆ ˆ ˆ ˆ 4

R R

R I R I r r

r I r I

r r

t E r r e r e r

e e t E r

e r

t e r t e r

e r e r

e E r

t r e t r e E E E I

o o

i o i

i i o

i i

i i i

i o

ct i ct i o

+

−

−

= − + →

−

−

= −

+ →

−

= − + +

−

+ +

= −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

= −

=

=

=

−

−

−

−

−

−

δ δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ δ

δ

πσ πσ

' 2 cos

' cos 4 1

cos δ π θ σ π σ θ

nd m m

nd

m

= →

m

=

→

=

' cos θ

σ nd

m

m

=

Il beamsplitter

• Piu’ sottile e’ il beamsplitter e piu’

separati sono gli zeri (quindi e’ piu’

ampio l’ intervallo di frequenze utilizzabile, e piu’

bassa e’ la frequenza minima osservabile..)

Polyethylene Terephthalate (mylar or melinex) n=1.7

• Inoltre faremo in modo che la potenza trasmessa sia massima alla frequenza σ_iche ci interessa di piu’. Quindi per σ=σ_ideve essere

• Siccome l’ assorbimento del dielettrico di solito aumenta all’ aumentare della frequenza, in pratica si scegliera’ d tale che (con M=1)

Il beamsplitter

( )

(

²

)

²

2 Riv

cos 2 1

cos 1 ) 1 ( 8

R R

R I R

I

o

+

−

−

= −

δ δ

( ) ( )

' cos 4

1 1 2

2 ' cos 4 1

cos δ π θ σ π σ θ

nd M M

nd

_M

= − →

_m

= −

→

−

=

' cos 4

1 θ σ

_i

d = n

( ) { [ ] }

( ) ( [ ] )

[ ]

( π θ σ ) ^{{ [ πσ ] } σ}

σ θ σ π

σ πσ σ

σ

d x R

nd R

nd R

S R

d x rt

S x I

4 cos 1 '

cos 4 cos 2 1

' cos 4 cos 1 ) 1 ( 8

4 cos 1 ) ( )

(

0

22 2

0

+ +

−

−

= −

= +

=

∫

∫

∞

∞

Facendo la antitrasformata di Fourier del segnale si ricava il prodotto dello spettro da analizzare per la funzione di efficienza del beamsplitter. Questa deve essere nota per ritrovare S(s) !!!

Solo nel caso si facciano misure di trasmissione non c’e’ problema: si fa uno spettro con il filtro T (s) da caratterizzare e poi uno senza che serve per normalizzare.

Ovviamente dove rt e’ basso il rapporto segnale-rumore cala drasticamente…

Per le basse frequenze, ci sono 2 soluzioni:

4

• Il Michelson e’ uno strumento a divisione di intensita’

• Il Lamellar Grating e’ uno strumento a divisione di fronte. Funziona bene anche a basse frequenze, fino a lunghezze d’ onda confrontabili con il passo a (di solito dell’ ordine di 1 cm).

FTS a divisione di fronte

Efficienza del

Lamellar Grating Tipici interferogrammi

• I polarizzatori a fili metallici rappresentano di divisori di ampiezza ideali a grandi lunghezze d’

onda (dove il mylar non funziona piu’)

Martin Puplett

Interferometer