Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

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Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 5 ottobre 2017

I simboli i, j, k, m, n indicano sempre numeri naturali variabili.

I simboli p, q, r, s, t,. . . , x, y, z indicano numeri reali variabili.

Premessa.

Una serie `e una somma infinita, come per esempio:

X ∞ n=0

1 2

ⁿ

= 1 + 1 2 +

1 2

²

+ · · · +

1 2

ⁿ

+ · · · (1)

Dire che questa somma esiste finita, ovvero che la serie `e convergente, significa che la successione delle somme parziali ha limite finito; la successione delle somme parziali di (1) `e la seguente:

s 0 = 1, s 1 = 1 + 1

2 , s 2 = 1 + 1 2 +

1 2

²

, s n = 1 + 1 2 +

1 2

²

+ · · · +

1 2

ⁿ , . . . Se questa successione ha limite finito, tale limite si chiama somma della serie e si ha:

X ∞ n=0

1 2

ⁿ

= 1 + 1 2 +

1 2

²

+ · · · +

1 2

ⁿ

+ · · · = lim _n→∞ s n

1. Esercizio. Sia 0 < q < 1. Allora:

n→∞ lim q ⁿ = 0

Soluzione. Da 0 < q < 1, moltiplicando per q si ottiene 0 < q ² < q da cui, moltiplicando ancora per q, si ha 0 < q ³ < q ² < q. Al passo n-esimo si ottiene dunque:

0 < q ⁿ⁺¹ < q ⁿ < · · · < q ² < q < 1

Allora la successione {q ⁿ : n = 1, 2, . . . } `e positiva e decrescente (formata cio`e da numeri positivi sempre pi` u piccoli) e quindi ha limite finito non negativo:

n→∞ lim q ⁿ = l ≥ 0

Poich´e {q ⁿ⁺¹ : n = 1, 2, . . . } `e la successione che comincia dal secondo termine, abbiamo ancora:

l = lim

n→∞ q ⁿ⁺¹ = lim

n→∞ q · q ⁿ = q lim

n→∞ q ⁿ = ql

Uguagliando il primo e l’ultimo termine si ha l = ql; se fosse l 6= 0, semplificando si otterrebbe q = 1, assurdo.

Perci`o deve essere l = 0 e la dimostrazione `e conclusa.

2. Esercizio. Se q 6= 1 si ha:

X n k=0

q ^k = 1 + q + q ² + · · · + q ⁿ⁻¹ + q ⁿ = 1 − q ⁿ⁺¹ 1 − q Soluzione. Poich´e:

(1 + q + q ² + · · · + q ⁿ⁻¹ + q ⁿ )(1 − q) = 1 + q + q ² + · · · + q ⁿ⁻¹ + q ⁿ − q − q ² − · · · − q ⁿ − q ⁿ⁺¹ = 1 − q ⁿ⁺¹

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il risultato si ottiene dividendo per 1 − q.

3. Esercizio. Sia 0 < q < 1. La serie geometrica di ragione q `e convergente e si ha:

X ∞ n=0

q ⁿ = 1 1 − q Soluzione.

X ∞ n=0

q ⁿ = lim

n→∞

X n k=0

q ^k = lim

n→∞

1 − q ⁿ⁺¹

1 − q = 1 − 0 1 − q = 1

1 − q 4. Esercizio.

0.3 = 1 3 Soluzione.

0.3 = 3

10 + 3

10 ² + · · · + 3

10 ⁿ + · · · = X ∞ n=1

3 10 ⁿ =

= 3

10 X ∞ n=1

1 10

ⁿ⁻¹

m=n−1

======= 3 10

X ∞ m=0

1 10

^m

= 3 10

1 1 − 10 ¹

= 3 9 5. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti1.pdf

(Materiali didattici–Numeri naturali. Numeri reali. Numeri complessi.) studiare il capitolo 1 e svolgere gli esercizi risolti e gli esercizi proposti.

6. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A1.pdf (Esercizi settimanali, Foglio 1) svolgere gli esercizi proposti.

7. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A2.pdf (Esercizi settimanali, Foglio 2) svolgere l’esercizio 1.

8. Esercizio. Sia

f 1 (x) = x x + 1 e

f n+1 = f 1 ◦ f ⁿ , per n = 1, 2, 3, . . .

Trovare una formula per esprimere f n (x) e dimostrarla per induzione. Disegnare il grafico di f 1 (x) e di f n (x).

Stesso lavoro con:

f 1 (x) = 1 2 − x

9. Esercizio. Il volume di una sfera `e funzione della sua area. Trovare tale funzione.

10. Esercizio. Un cilindro `e inscritto in una sfera di raggio a. Siano h l’altezza del cilindro e r il raggio della sua base. Esprimere volume e superficie totale del cilindro sia in funzione di h sia in funzione di r.

11. Esercizio. Un cono circolare retto fissato ha altezza H e raggio di base R. Inscrivere nel cono un cilindro di raggio di base r ed esprimere il volume del cilindro in funzione di r.

12. Esercizio. L’area di un cerchio `e funzione della sua circonferenza? Se s`ı, esprimere tale funzione.

L’area di un triangolo `e funzione del suo perimetro? L’area di un’ellisse `e funzione della sua lunghezza?

Importante. Una combinazione lineare di cos ωt e sin ωt `e una funzione del tipo:

c 1 cos ωt + c 2 sin ωt, c 1 , c 2 ∈ R (2)

Ogni moto del tipo (2) `e detto moto armonico.

2

(3)

Osservazione. Ogni funzione del tipo (2) si pu`o riscrivere nella forma:

a cos(ωt + Φ), a ≥ 0, Φ ∈ R (3)

(a ampiezza, Φ fase iniziale, τ = ^2π _ω periodo, ν = ¹ _τ = _2π ^ω frequenza, ω frequenza angolare.) Infatti, posto a = p

c ² 1 + c ² 2 , risulta ^c _a

¹

²

+ ^c _a

²

= 1, quindi i due termini fra parentesi sono rispet- tivamente coseno e seno di un opportuno angolo −Φ. Allora la (2) diventa:

a c 1

a cos ωt + c 2

a sin ωt

= a (cos Φ cos ωt − sin Φ sin ωt) =

= a cos(ωt + Φ)

Il moto armonico (3) si pu` o pensare come proiezione su un diametro del moto di un punto

P (t) = (x(t), y(t)) che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio a (po- niamo l’origine nel centro della circonferenza; fare un disegno). Chiamiamo ω la velocit` a angolare del punto P (detta anche frequenza angolare); ω `e costante. Detto ϑ = ϑ(t) l’angolo spazzato dal raggio che congiunge il centro con il punto P (t), comunque scelti due istanti distinti t 1 e t 2 , si ha che:

ϑ(t 2 ) − ϑ(t ¹ )

t 2 − t ¹ = ω (costante) indipendentemente dalla scelta di t 1 e t 2 .

Detto Φ = ϑ(0), si ha in particolare:

ϑ(t) − ϑ(0)

t − 0 = ϑ(t) − Φ

t = ω

e perci`o:

ϑ(t) = ωt + Φ (4)

Per definizione di seno e coseno, si ha:

P (t) = (x(t), y(t)) = (a cos ϑ(t), a sin ϑ(t)) Uguagliando la prima componente e tenendo conto di (4), si ottiene:

x(t) = a cos ϑ(t) = a cos(ωt + Φ) che `e l’equazione di un moto armonico dipendente dalle costanti a, ω, Φ.

13. Esercizio. Scrivere cos 2t − √

3 sin 2t nella forma (3). Quali sono le costanti caratteristiche di questo moto? Disegnarne il grafico.

14. Esercizio. Dimostrare che ogni dilatazione (o contrazione) verticale della funzione f (x) = e ^x `e equivalente a una traslazione orizzontale verso sinistra (o verso destra).

15. Esercizio. Svolgere esercizi scegliendoli da:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/disequazioni_funzioni.pdf

16. Esercizio. Svolgere esercizi su disequazioni, funzioni, induzione scegliendole dalle pagine seguenti.

BIBLIOGRAFIA

[M] Roberto Monti, http://www.math.unipd.it/~monti/A1ING-2015.html

3

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Analisi Matematica 1- 2014-2015- Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

Esercizi primi due capitoli

• Determinare estremo superiore e inferiore, e dire se sono massimo e minimo rispettivamente, dei seguenti insiemi:

1. E = {x ∈ R | x = (−1) ⁿ + 4, n ∈ N } . 2.

E =

x ∈ R | x = 2 + (−1) ⁿ

1 n + 1

, n ∈ N

. 3.

E =

x ∈ R | x = n ² (cos(nπ) − 1), n ∈ N .

• Risolvere le seguenti disequazioni:

1. 3 sin ² x + cos ² x < 2 + cos x 2. arcsin

x x

²

−1

> ^π ₆

3. √

2 − x + √

x + 4 ≤ 6 4. q

9 −x

x+1 > x − 3

5. |x + 3| ≤ α, con α ∈ R 6. log _x (x + 2) > 1

7. p

|x + 1| − 1 ≥ x

• Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicit`a delle seguenti funzioni reali di variabile reale:

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Argomenti 5 ottobre 2017

I simboli i, j, k, m, n indicano sempre numeri naturali variabili.

I simboli p, q, r, s, t,. . . , x, y, z indicano numeri reali variabili.

Premessa.

Una serie `e una somma infinita, come per esempio:

X ∞ n=0

 1 2

 n

= 1 + 1 2 +

 1 2

 2

+ · · · +

 1 2

 n

+ · · · (1)

Dire che questa somma esiste finita, ovvero che la serie `e convergente, significa che la successione delle somme parziali ha limite finito; la successione delle somme parziali di (1) `e la seguente:

s 0 = 1, s 1 = 1 + 1

2 , s 2 = 1 + 1 2 +

 1 2

 2

, s n = 1 + 1 2 +

 1 2

 2

+ · · · +

 1 2

 n , . . . Se questa successione ha limite finito, tale limite si chiama somma della serie e si ha:

X ∞ n=0

 1 2

 n

= 1 + 1 2 +

 1 2

 2

+ · · · +

 1 2

 n

+ · · · = lim n→∞ s n

1. Esercizio. Sia 0 < q < 1. Allora:

n→∞ lim q n = 0

Soluzione. Da 0 < q < 1, moltiplicando per q si ottiene 0 < q 2 < q da cui, moltiplicando ancora per q, si ha 0 < q 3 < q 2 < q. Al passo n-esimo si ottiene dunque:

0 < q n+1 < q n < · · · < q 2 < q < 1

Allora la successione {q n : n = 1, 2, . . . } `e positiva e decrescente (formata cio`e da numeri positivi sempre pi` u piccoli) e quindi ha limite finito non negativo:

n→∞ lim q n = l ≥ 0

Poich´e {q n+1 : n = 1, 2, . . . } `e la successione che comincia dal secondo termine, abbiamo ancora:

l = lim

n→∞ q n+1 = lim

n→∞ q · q n = q lim

n→∞ q n = ql

Uguagliando il primo e l’ultimo termine si ha l = ql; se fosse l 6= 0, semplificando si otterrebbe q = 1, assurdo.

Perci`o deve essere l = 0 e la dimostrazione `e conclusa.

2. Esercizio. Se q 6= 1 si ha:

X n k=0

q k = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + q n = 1 − q n+1 1 − q Soluzione. Poich´e:

(1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + q n )(1 − q) = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + q n − q − q 2 − · · · − q n − q n+1 = 1 − q n+1

il risultato si ottiene dividendo per 1 − q.

3. Esercizio. Sia 0 < q < 1. La serie geometrica di ragione q `e convergente e si ha:

X ∞ n=0

q n = 1 1 − q Soluzione.

X ∞ n=0

q n = lim

n→∞

X n k=0

q k = lim

n→∞

1 − q n+1

1 − q = 1 − 0 1 − q = 1

1 − q 4. Esercizio.

0.3 = 1 3 Soluzione.

0.3 = 3

10 + 3

10 2 + · · · + 3

10 n + · · · = X ∞ n=1

3 10 n =

= 3

10 X ∞ n=1

 1 10

 n−1

m=n−1

======= 3 10

1 2

ⁿ

1 2

²

1 2

ⁿ

1 2

²

1 2

²

1 2

ⁿ , . . . Se questa successione ha limite finito, tale limite si chiama somma della serie e si ha:

1 2

ⁿ

1 2

²

1 2

ⁿ

+ · · · = lim _n→∞ s n

n→∞ lim q ⁿ = 0

Soluzione. Da 0 < q < 1, moltiplicando per q si ottiene 0 < q ² < q da cui, moltiplicando ancora per q, si ha 0 < q ³ < q ² < q. Al passo n-esimo si ottiene dunque:

0 < q ⁿ⁺¹ < q ⁿ < · · · < q ² < q < 1

Allora la successione {q ⁿ : n = 1, 2, . . . } `e positiva e decrescente (formata cio`e da numeri positivi sempre pi` u piccoli) e quindi ha limite finito non negativo:

n→∞ lim q ⁿ = l ≥ 0

Poich´e {q ⁿ⁺¹ : n = 1, 2, . . . } `e la successione che comincia dal secondo termine, abbiamo ancora:

n→∞ q ⁿ⁺¹ = lim

n→∞ q · q ⁿ = q lim

n→∞ q ⁿ = ql

q ^k = 1 + q + q ² + · · · + q ⁿ⁻¹ + q ⁿ = 1 − q ⁿ⁺¹ 1 − q Soluzione. Poich´e:

(1 + q + q ² + · · · + q ⁿ⁻¹ + q ⁿ )(1 − q) = 1 + q + q ² + · · · + q ⁿ⁻¹ + q ⁿ − q − q ² − · · · − q ⁿ − q ⁿ⁺¹ = 1 − q ⁿ⁺¹

q ⁿ = 1 1 − q Soluzione.

q ⁿ = lim

q ^k = lim

1 − q ⁿ⁺¹

10 ² + · · · + 3

10 ⁿ + · · · = X ∞ n=1

3 10 ⁿ =

1 10

ⁿ⁻¹

1 10

^m

1 1 − 10 ¹

f n+1 = f 1 ◦ f ⁿ , per n = 1, 2, 3, . . .

(a ampiezza, Φ fase iniziale, τ = ^2π _ω periodo, ν = ¹ _τ = _2π ^ω frequenza, ω frequenza angolare.) Infatti, posto a = p

c ² 1 + c ² 2 , risulta ^c _a

²

+ ^c _a

²

a c 1

a sin ωt

ϑ(t 2 ) − ϑ(t ¹ )

t 2 − t ¹ = ω (costante) indipendentemente dalla scelta di t 1 e t 2 .

14. Esercizio. Dimostrare che ogni dilatazione (o contrazione) verticale della funzione f (x) = e ^x `e equivalente a una traslazione orizzontale verso sinistra (o verso destra).

E = {x ∈ R | x = (−1) ⁿ + 4, n ∈ N } . 2.

x ∈ R | x = 2 + (−1) ⁿ

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