Cinematica Moto in una dimensione

Moto in una dimensione

§  moto esclusivamente rettilineo

§  si trascurano le forze

§  oggetto in moto assimilabile ad una particella

[tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]

Cinematica

[studio del moto indipendentemente dalla causa]

spostamento intervallo di tempo

Δx Δt

x

_i

x

_f

t

_i

t

_f

O

P

Q

grafico posizione –tempo:

( )

i f

i f

x def

t t

x x

t v x

−

= − Δ

= Δ

velocità media:

pendenza della retta PQ non dipende dal percorso [v] = [L]/[T] ⇒ m/s

i x x

x ! = (

_f

−

_i

) ! Δ

i

f

t

t t = − Δ

i ! 0

)

(t

x = x

si dice LEGGE ORARIA

x(m)

t(s)

∑

∑

∑

∑

Δ

= Δ

= Δ

Δ

= Δ

= Δ

→ Δ

→

Δ n

n t n

n t n

n

n n n

n

t v x

x

t v x

x

n

n 0 lim0

lim v

(m/s)

t(s) Δt

_n

x(m) x(m)

esempio: moto di un ’ auto

grafico

posizione -tempo

grafico velocità -tempo

N.B. spostamento totale Δx:

area sotto la curva

[interpretazione geometrica]

s s m

m t

v_AB x 2.2 /

) 0 10 (

) 30 52

( =

−

= − Δ

= Δ

N.B. velocità media fra A e B:

pendenza della retta tra i punti A e B

t(s) x(m) A 0 30 B 10 52 C 20 38 D 30 0 E 40 -37 F 50 -53

s m

s m t

v x

/ 7 . 1

) 0 50 (

) 30 53 (

−

=

−

−

= − Δ

= Δ

esercizi velocità media

dt dx t

v x

t

x def

=

Δ

= Δ

→ Δ

lim

0

velocità istantanea:

pendenza della retta tangente in P dipende dal punto nel percorso

x

_i

O t P

Δt

₂

Δt

₃

Δt

₁

Q” Q’

Q

Quanto velocemente mi muovo in un dato istante di tempo ?

esempi:

auto che si muove in città:

pedone che cammina per strada:

la velocità istantanea è diversa

[ad esempio: semafori, strisce pedonali, ingorghi …]

s s m

m h

v km 8.3 /

60 60 30 10 30

3

× =

=

=

s m v = 2 /

N.B. v_x può essere positiva, negativa o nulla

2 2

lim

0

dt x d dt

dx dt

d

dt dv t

a v

^{x x}

t x def

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Δ =

= Δ

→ Δ

t v t

t

v

a v

^x

i f

x x

x def

i f

Δ

= Δ

−

= ( − ) accelerazione media:

variazione della velocità in Δt

[a] = [v]/[t]

= [L/T]/[T]= [L/T

²

] ⇒ m/s

²

accelerazione istantanea:

derivata prima della velocità

derivata seconda dello spostamento

N.B

. spostamento infinitesimo è segmentino di traiettoria velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria

accelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla traiettoria

quando la velocità varia nel tempo si dice che il corpo è accelerato

esempi:

velocità auto aumenta quando riparto da un semaforo diminuisce durante una frenata

⇒ accelerazione istantanea = pendenza grafico velocità tempo

N.B. il corpo umano reagisce alle accelerazioni (accelerometro) non alle velocità (non è un tachimetro) esempio: macchina 90 km/h

aereo 900 km/h non sento la velocità costante

ma le accelerazioni e decelerazioni

sulle montagne russe del Luna Park sento i veloci cambiamenti di velocità

v_x

a_x

t

t

accelerazione istantanea:

pendenza della tangente alla curva velocità-tempo

[ad ogni istante]

a_x>0

a_x=0

a_x<0

esempi

derivazione a istantanea

a partire da v(t)

Esempio:

Diagramma orario di un armadillo

Armadillo fermo

nella posizione x = -2m

Armadillo

che si muove

a partire dalla

posizione x = -5m

Esempio, ascensore - velocità:

•  dopo la chiusura delle porte, l’ascensore comincia a salire (grafico sopra) e la velocità aumenta

•  Arrivata ad una valore massimo, la velocità rimane costante

•  All’avvicinarsi del piano la velocità comincia decrescere fino ad annullarsi

t x Δ

= Δ

v dt

dx

ist = v=

v dt

t t dx

ist

) ) (

( = v(t)=

v

Esempio, ascensore - accelerazione:

•  Nel tratto in cui la velocità aumenta,

l’accelerazione è diversa da zero e positiva

•  Quando la velocità rimane costante l’accelerazione è nulla

• Nel tratto in cui la velocità diminuisce, l’accelerazione è diversa da zero e negativa

) ( )

) ( ( ) (

₂

2

dt x d dt

t dx dt

d dt

t t d

a t

t a

a _ist = = = =

Δ

= Δ

v v

•  L’accelerazione è nulla.

Questa è la definizione !

•  La velocità è costante. E’ uguale al valore all’istante iniziale t=0 (ovvero v₀):

•  Lo spostamento è dato da una semplice formula, in cui s₀ è lo spostamento a t=0:

•  E’ un caso particolare delle formule precedenti. Disegnare le leggi orarie !

Il moto rettilineo uniforme è monodimensionale

0 ( = t ) a

0 0

) 0 ( )

( )

0 ( )

( )

( v v v v

v _{= = +} ∫ ₌

^x

₌

t x

x

t a t dt

t

t x

dt t x

t x t

s

t

0 0

0

) ( )

0 ( )

( )

( = = + ∫ v = + v

Moto rettilineo uniforme

Moto rettilineo uniform. accelerato

Moto unidimensionale: s = x i

L’accelerazione è costante

Velocità:

Spostamento:

) 0

(t a a a = _x =

s(t) = x(t) = x₀ +

v

^(t)dt

0 t

∫

= x₀+

v

0t +1 2a₀t²

v

^{(t) =}

v

x(t) =

v

0 + a_x (t)dt

0 t

∫

= v

0+ a₀t

Esempio: moto con a=cost

N.B. ci ricordiamo

interpretazione geometrica:

spostamento totale Δx è area sotto la curva v(t)

Δx = Δx_n

∑

n ^{= vnΔtn}

∑

n

Δx = lim

Δt_n→0 Δx_n

∑

n ^{= lim}_Δtn→0 ^vnΔtn

∑

n ^{vx = vx0}₂^{+ vx per ax costante}

Δx = v_x0Δt + 1

2(v_x − v_x0)Δt

= 1

2(v_x + v_x0)Δt

Velocità media coincide con media delle velocità !

SOLO per a = cost

Caso particolare: accelerazione costante

t v v t

t

v a v

a ^{x x}

i f

x x

x x

i

f ) 0

( −

− =

= −

=

t_i = 0, t_f = t v_xf = v_x, v_xi = v_x0

accelerazione media coincide con accelerazione istantanea

t a v

v

_x

=

_x0

+

_x

2

0 x

x x

v

v v +

= ^{(per ax} costante)

v t t v

v

x _x ^{x x})

( ⁰2+

= Δ

= Δ

t v v

x

x ( _{x x})

2 1

0

0 = +

− (per a_x costante)

t t a v

v x

x ( _{x x x} )

2 1

0 0

0 = + +

−

2 0

0 2

1 a t t

v x

x− = _x + _x (per a_x costante)

le equazioni precedenti valgono solo per a

_x

costante !!!

moto UNIFORMEMENTE accelerato

espressione che non contiene il tempo:

x x x x

x x x

x a

v x v

a v v v

v x

x 2

) (

) )(

2(

1 ^{2 2}₀

0 0

0 0

+ −

− = +

+

=

v

_x²

= v

₀²_x

+ 2 a

_x

( x − x

₀

)

t v

v t

v v t

v

x = _x Δ + _x − _x Δ = _x + _x Δ

Δ ( )

2 ) 1

2( 1

0 0

0

Δt vx

Equazioni

moto con accelerazione costante

t a v

v

_x

=

_x0

+

_x

t v v

x

x ( _{x x})

2 1

0

0 = +

−

2 0

0

2

1 a t t

v x

x − =

_x

+

_x

) (

2

₀

2 0

2

v a x x

v

_x

=

_x

+

_x

−

1.

2.

3.

4.

velocità in funzione del tempo

posizione in funzione di tempo e velocità

posizione in funzione di tempo

velocità in funzione di posizione

a

_x

, v

_x0

, x

₀

valori noti iniziali

se a

_x

= 0 v

_x0

=v

_x

v_x = v_{x 0} + a_xt = v_{x 0} x − x₀ = 1

2(v_{x 0}+ v_x)t = 1

2(2v_{x 0})t = v_{x 0}t x − x₀ = v_{x 0}t + 1

2 a_xt² = v_{x 0}t v_x² = v_{0 x}² + 2a_x(x − x₀) = v_{0 x}²

X

X X

moto rettilineo uniforme

Una Ferrari arriva da ferma alla velocità di 100 km/h in 3 s.

Supponendo che l’accelerazione sia costante, determinare:

1) il valore dell’accelerazione;

2) la velocità raggiunta dopo 2 secondi.

Svolgimento

Sappiamo che

v

(3 s) = 100 km/ora = 10

⁵

[m] /3600 [s] = 27.8 m/s Quindi

a = cost = v (3 s) [ms

^-1

] / 3 [s] = 27.8/3 [ms

^-2

] = 9.27 [ms

^-2

] La velocità dopo 2 secondi è:

v(2s) = a

_o

t = 9.27[ms

^-2

] 2[s] = 18.5 [m/s]

= 18.5(3600/10

³

) [km/h] = 68 km/h

Esempio 1:

La velocità di una particella in moto lungo l’asse x varia nel tempo secondo l’espressione

v_x

= (40 –5t

²

) m·s

^-1

con t in s.

Calcolare:

1) l’accelerazione media

nell’intervallo da t

i

= 0 a t

f

= 2.0 s;

2) l’accelerazione agli istanti t

_i

e t

_f

.

t_i = t_A = 0 s; t_f = t_B = 2.0 s v_xA = 40 – 5(0)² = 40 m·s^-1; v_xB = 40 – 5(2.0)² = 20 m·s^-1

L’accelerazione media nell’intervallo Δt = t_B – t_A è data da

Il segno meno è coerente con il fatto che la pendenza è negativa

2 -1 -

i f

s m 10 - s

2.0

s m 40) - (20 t - t

⋅ = ⋅

− = Δ =

= Δ ^{x xf xi}

x t

a v v v

[ ]

s m 20 s

0 2

; 0 0

s m 10 ) ) (

( )

(

2 -

2 -

⋅

=

=

⋅

−

=

=

=

- ) . ( a )

( a

dt t t t

a t

a _x dv^x

Esempio 2:

esercizi accelerazione costante

Corpi in caduta libera

Galileo: in assenza di attrito (aria) tutti i corpi

cadono con la stessa accelerazione ^,

indipendentemente dalla forma e dalla massa

1971- filmato fatto dagli astronauti sulla Luna:

http://www.history.nasa.gov/alsj/a15/a15v.1672206.mov

- Alt – Invio -

y

O

j g a ! !

−

=

accelerazione di gravità g = 9.8 m/s

²

valgono le equazioni cinematiche precedenti con

x → ^{y e a}

_y

→ ^-g

a v

Corpi in caduta libera nel vuoto:

r 

accelerazione costante

r 

velocità aumenta linearmente nel tempo

esempio: caduta libera

Calcolare posizione, velocità ed accelerazione di un corpo di massa M in caduta libera dopo 1,2,3,4,5 secondi

/

2

8 .

9 m s g

a = − = −

0 y

2 2

0

0

2

1 2

1 g t g t

t v y

y = + − = −

accelerazione spostamento

velocità v = v

₀

− gt = − gt

y g y

y g v

v

²

=

₀²

− 2 ( −

₀

) = − 2

g

9.8 m/s²

9.8 m/s²

9.8 m/s²

9.8 m/s²

9.8 m/s²

vale per ogni corpo, indipendentemente dalla massa !!!

esercizi cinematica in una dimensione

Moto in due dimensioni

§  moto in un piano (esempio: proiettile, satellite …)

§  si trascurano le forze

§  oggetto in moto assimilabile ad una particella

[tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]

traiettoria della particella

1

2 r

r r

j y i x r! ! !

!

! !

−

≡ Δ

+

= vettore posizione vettore spostamento nell’intervallo Δt

j y i

x

j y y i

x x

j y i x j

y i x r

!

!

!

!

!

!

!

! !

Δ + Δ

=

− +

−

=

+

− +

= Δ

) (

) (

) (

) (

1 2 1

2

1 1

2 2

dalla composizione di vettori:

N.B. il formalismo può essere facilmente esteso a 3 dimensioni:

k z j

y i

x r

k z j y i x

r! ! ! !

! !

! !

Δ + Δ

+ Δ

= Δ

+ +

=

P Q Q ’ Δr

velocità media

(indipendente dal percorso)

per componenti:

t v r

def

Δ

= Δ

!

dt r d t

v r

t def

!

! !

Δ =

= Δ

→ Δ

lim

0

velocità istantanea §  direzione tangente alla traiettoria

§  verso del moto

Velocità media e istantanea

t j i y

t x

t j y i

v x

!

!

!

!

Δ + Δ Δ

= Δ

Δ Δ +

= Δ

per componenti:

dt j i dy dt dx

j y i dt x v d

!

!

!

! !

+

=

= +

= ( )

dt v dy dt

v_x = dx, _y =

Accelerazione media e istantanea

t v t

v a v

^{f i}

def

Δ

= Δ Δ

= −

! !

!

ha stessa direzione di Δv

accelerazione media

dt v d t

a v

t def

!

! Δ =

= Δ

→ Δ

lim

0

accelerazione istantanea

a ≠ 0 se v cambia intensità o direzione

per componenti:

dt j i dv dt dv

j v i dt v a d

x y

y x

!

!

!

! !

+

=

= +

= ( )

dt a dv

dt

a_x = dv^x , _y = ^y

a

Moto in Due dimensioni con accelerazione costante

si generalizzano le leggi del moto

in una dimensione con accelerazione costante

costante j

a i

a a

j y i

x r

y

x

+ =

=

+

= ! !

!

!

! !

⇒

⎩⎨⎧

=

=

costante a

costante a

y x

applico le equazioni della cinematica separatamente per le componenti x ed y del vettore velocità

t a v

j v i v t v

a v

v v

t a v

v v

i yf

xf f

y yi

yf y

x xi

xf

x

! ! ! ! !

+

= +

⎪⎭ =

⎪ ⎬

⎫ +

=

=

+

=

= ⇒

analogamente per il vettore posizione

2 2

2

2 1 2

1 2 1

t a t

v r j y i x r

t a t

v y y

t a t

v x x

i i f

f f

y yi

i f

x xi

i

f ! ! ! ! ! !

+ +

= +

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

+ +

=

+ +

=

⇒

4

4

moto in due dimensioni con accelerazione costante:

equivale a due moti indipendenti nelle direzioni x ed y con accelerazioni costanti a

_x

ed a

_y

moto in x non influenza moto in y e viceversa

t v

t v x x

v v

v

x x x

) cos (

cos

0 0

0 0

0 0

0

θ θ

= +

=

=

=

2 0

0 2

0 0

0 0

0

2 ) 1 sin 2 (

1 sin

gt t

v gt

t v y y

gt v

gt v

v

y y y

−

=

− +

=

−

=

−

=

θ θ

g a

a

j g j

a i a a

y x

y x

−

=

=

−

= +

= 0

!

!

! !

Applicazione: moto del proiettile

[qualunque oggetto lanciato in aria]

Ipotesi:

§ 

accelerazione di gravità

g

costante

§ 

resistenza dell’aria trascurabile

⇓

r  moto orizzontale e verticale sono indipendenti

r la traiettoria è sempre una parabola [da dimostrare !!!]

velocità iniziale:

accelerazione:

applico le equazioni della cinematica monodimensionale:

moto orizzontale [rettilineo ed uniforme]:

moto verticale [caduta di un grave]:

g

NON ho accelerazione in x ⇒ v costante

0 0

0

0 0

0 0

sin cos

θ θ v

v

v v

j v i v v

y x

oy ox

=

=

+

= ! !

!

verifica indipendenza dei moti

due palle da golf

palla rossa: in caduta libera

palla gialla: lanciata orizzontalmente

raggiungono terra nello stesso tempo

⇒ moto verticale indipendente da moto orizzontale

palla lanciata verso l’alto da carrello in moto

con velocità costante v:

palla mantiene

velocità orizzontale iniziale

⇒   è sempre sopra carrello

⇒   atterra dentro il carrello

Esempi di indipendenza dei moti 1. pallina di gomma lasciata cadere

rimbalza ^e torna ^SEMPRE in mano ^,

anche se la persona è in moto

con velocità costante !!!

persona e palla hanno stessa velocità orizzontale

v!

2. ragazzo punta con fionda amico appeso a distanza d : se l’amico si lascia andare appena la fionda parte

viene SEMPRE colpito ^!!!

ragazzo e fionda

percorrono stessa distanza verticale

in tempo tempo t impiegato dalla fionda a percorrere distanza d

2

2 1 gt y −=

3. la pallina colpisce SEMPRE la lattina !!!

8   cerbottana spara pallina mirando lattina

8   lattina è rilasciata quando sparo pallina

pallina e lattina sono soggette a

stessa accelerazione g

⇒ tutte e due coprono

uguale traiettoria verticale [indipendente dalla massa]

Esperienza in Laboratorio

traiettoria del proiettile:

t v

t v

x= _0x =( ₀cosθ₀)

2 0

0 2

0 2

) 1 sin 2 (

1 gt v t gt

t v

y = _y − = θ −

risolvo rispetto a t:

2 0 0

2 0

0 0 0

0 0

) cos (

2 1 sin cos

cos

θ θ θ

θ

v g x v

v x y

v t x

−

=

=

2 2

0 2 2

0

0 2 cos x a x b x

v x g tg

y = − = −

θ θ

parabola

[completamente nota per v₀ e θ₀ noti]

2 0 0

2 0

0

2 1

2 1

t g t v

r

t g t

v r

r

!

!

!

!

!

!

!

+ +

=

+ +

=

y

O

x

v

₀

t r

½ gt

²

R h

posizione iniziale

spostamento in assenza di accelerazione

j g

g ! !

−

=

spostamento dovuto ad accelerazione

posizione del proiettile _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ = 0 + 0 + ² 2 1 at t

v r

r! ! ! !

Esempi di moto del proiettile

la traiettoria

dei corpi in volo

è di tipo parabolico

gittata R del proiettile [distanza orizzontale coperta]:

g v

g v v

t v

t v x

t t per R

x

x

0 0

2 0 0

0 0 0

1 0 0

0

1

cos sin

2 sin

)2 cos (

2 ) cos (

2

θ θ

θ θ

θ

=

=

=

=

=

=

g

R v ⁰

2

0 sin2θ

=

0 0

2 0

max = ^per θ = 45

g R v

y(m)

x(m)

v_i=50m/s

2 0 0

0 0

0 0

sin 2

1

sin sin ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

− ⎛

=

= g

g v g

v v h

y θ θ

θ

g h v

2

sin² ₀

2

0 θ

=

altezza h massima raggiunta dal proiettile:

h = altezza massima raggiunta

R = gittata

[distanza orizzontale coperta]

2 0

0 2

0

0 0

0

2 ) 1 sin 2 (

1

0 sin

gt t

v gt

t v h y

gt v

gt v

v

y y y

−

=

−

=

=

=

−

=

−

=

θ

θ g

t₁ v⁰sinθ⁰

⇒

=

0 0

2 0

max 90

2 =

= ^per θ

g h v

Le formule di traiettoria

gittata

quota massima

NON sono formule generali !!!

Valgono solo nelle condizioni y

_iniziale

=y(0) = 0

y

_finale

= y(0) = 0

g h v

2

sin² ₀

2

0 θ

=

g

R v ⁰

2

0 sin2θ

=

2 2

0 2 2

0

0 2 cos x a x b x

v x g tg

y = − = −

θ θ

Attenzione

applicazione: gittata e quota massima

Un proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/s ad un angolo di 40° rispetto al suolo.

a)  quale è la massima quota h raggiunta dal proiettile ? b)  quale è la gittata R del cannone ?

c)  quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata ?

[trascurare l’attrito]

h

R

a) quota h

s m m s m g

h v 13.2

/ 8 . 9 2

) 40 ( sin ) / 25 ( 2

sin

2 0 2 2 0

2 2

0 =

= ×

= θ

b) gittata R

s m m s m g

R v 62.8

/ 8 . 9

) 80 sin(

) / 25 ( 2

sin

2 0 2

0 2

0 = =

= θ

s m m

s m g

R v 63.8

/ 8 . 9

) / 25 ( )

2

sin( ²

45 0

2 0 max

0 0

=

=

=

θ =

θ

c) gittata massima per θ

₀

=45

⁰

esempio: lancio su un terrapieno

y

x

v

Un proiettile è lanciato verso un terrapieno di altezza h con velocità iniziale v₀ = 42.0 m/s e angolo di lancio θ₀ = 60° sopra il piano orizzontale. Il proiettile cade nel punto A, 5 s dopo il lancio. Calcolare: a) l’altezza del terrapieno, b) la

velocità del proiettile all’impatto, c) la massima altezza, H, che esso ha raggiunto sopra il livello del terreno. Si trascuri la resistenza dell’aria.

I dati del problema sono:

Ø  x₀ = y₀ = 0 Ø  t_f = 5 s Ø  θ ₀ = 60°

Ø  v_0.x= 42.0 cos(θ₀) = 21.0 m/s Ø  v_0.y= 42.0 sin(θ₀) = 36.4 m/s

Ø  y(t_f )= h ?

Utilizzando le equazioni del moto parabolico, calcolo i valori di x(t) e y(t) all’istante t=t_f

La massima quota H si ottiene quando la sua velocità verticale si annulla, per passare da ascendente (v_y>0) a discendente (v_y<0).

Calcolo il tempo t_H al quale v_y=0 e poi sostituisco il valore trovato nella y(t) poiché H=y(t_H)

vx(t_f) = v_0,x = 21.0 m / s ⇒ x(t_f) =v0,xt_f = 21⋅5 m⎡⎣ ⎤⎦ = 105 m

vy(t_f) = a_y t_f +v0,y= −g t_f +v0,y = −11.1m / s ⇒ y(t_f) = −1

2g t_f²+v0,yt_f = h = −9.83

2 ⋅5²+ 36.4⋅5 = 59.1 m

[ ] [ ]

[

^ms

]

^3.7

[ ]

^{s 36.4}

[

^ms

]

^3.7

^{[ ]}

^{s 67.4m}

83 . 2 9 1 2

) 1 (

s s 3.70

m 9.83

s m 36.4

0 )

(

1 2

2 2

, 0 2

2 - , -1

0 ,

0

=

⋅ +

⋅

⋅

−

= +

−

=

=

⇒

=

=

=

⇒

= +

−

=

−

− f

y f

H

y H

y H

H y

t gt

t y H

t g t

g t

v v v v

applicazione: lancio di gravi da aereo

[bomber, lancio di materiale di soccorso, …]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− +

= +

=

2 0

0

2 1 gt t

v y y

t v x x

y i f

x i f

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

⋅ +

=

−

⋅ +

=

2 2

2 1 2

0 1 0 1050

) / 115 ( 0

gt gt

t m

t s m x_f

moto orizzontale:

rettilineo ed uniforme

moto verticale:

uniformemente accelerato

y_f = -1050m

m s

s m x

s t

s s m t m

f (115 / ) 14.6 1679

6 . 14

3 . / 214

8 . 9

1050

2 ₂

2 2

=

×

=

=

× =

=

⇒ _{N.B. v}

_x

_{= v}

_x0

_{= 115m/s}

v

_y

= v

_y0

-g t= -g t

v

_x ^{è costante}

v

_y ^aumenta al passare del tempo

v_x0 = 115m/s

il proiettile è sempre sotto l’aereo!!!

calcolare: ^t

_volo

del grave, distanza x

_finale

esercizi cinematica in due dimensioni

Moto circolare uniforme

Ipotesi:

moto su una circonferenza con velocità costante in modulo

⇓

r ho accelerazione centripeta [v cambia di direzione]

r 

periodo

di rivoluzione:

r 

velocità angolare

:

in un periodo T:

r a_r v

2

=

v T ²πr

=

ω = θ₂ −θ₁

t₂ − t₁ = Δθ

Δt rad / s

0 0

3 . 2 57

1 = 360 ≅

=

= ^r θ ^rad π

s se

⇒

⋅

=

⋅

=

= v

T πr

ω ω

π

θ ^{2 2}

t s

dt rad

dθ θ ω

ω = / ⇒ =

r v = ω

3600

2 2

2 = = = =

= rad

r r r

r s s

se π π

θ π

radiante

r s = θ

r r

a v

²

2

ω

=

=

velocità angolare - notazione vettoriale ω è un vettore

| ω |= d θ

! dt v = !

ω × r !

modulo

ω applicato al centro della

circonferenza

ω applicato al in punto O’

asse rotazione (R=r sinφ)

prodotto vettore

[regola della mano destra]

r r ^Δθ

Δr

O

P v

_i

Q

v

_f

v

_i

v Δθ

_f

Δv

accelerazione media: ^{a v}

^f

_t ^v

ⁱ

^v _t

Δ

= Δ Δ

= −

! !

!

triangoli simili:

v v r

r! !

= Δ Δ

r v t

r r v t

a v

t

2

→0 Δ

→ Δ

= Δ Δ

= Δ

! !

! punta verso il centro della

circonferenza

[N.B. [a]=[v]

²

/L=[L/T]

²

/L=L/T

²

]

[infatti r è sempre ⊥ a v]

origine accelerazione centripeta

[interpretazione geometrica]

r a _r v

2

=

r a _r v

2

=

origine accelerazione centripeta

x_p y_p

j y i x

r !

_p

!

_p

! +

=

r j v x r i

v y

j v

i v

j v i v v

p p

y x

!

!

!

!

!

! !

) (

) (

) cos (

) sin (

+

−

=

+

−

=

+

=

θ θ

θ θ sin cos r y

r x

p p

=

=

r j i v

r v

j r v

i v r v

v

dt j dx r i v dt dy r v dt

v a d

x y

p p

!

!

!

!

!

!

! !

) sin (

) cos (

) (

) (

) (

) (

2 2

θ θ + −

−

=

+

−

=

+

−

=

=

θ θ φ θ

θ θ

a tg tg a

r v r

a v a a

x y

y x

=

=

=

= +

= +

=

cos sin

sin cos

2 2

2 2

2 2

⇒ θ = φ ⇒ a è diretta come r !!

applicazione: g-LOC

[g-induced loss of consciousness]

aereo che compie il cerchio della morte:

il corpo del pilota subisce una accelerazione centripeta

con la testa rivolta verso il centro di curvatura

4 cala la pressione sanguigna al cervello 4  perdita funzioni cerebrali

g a

g a

g g

a

c c c

4 4

3 2

>

=

−

=

→ pesantezza

→

perdita percezione colori / si restringe il campo visivo

→

cessa la visione / perdita di conoscenza

esempio:

qual è l’accelerazione centripeta a cui è sottoposto un pilota di F-22 che vola a velocità di 694 m/s percorrendo un arco di cerchio di raggio di curvatura r = 5.8 km ?

sebbene la velocità scalare sia costante,

esiste accelerazione centripeta causata da traiettoria circolare.

g s

m m s m r

a_c v 83.0 / 8.5

) 10 8 . 5 (

) / 649

( ₂

3 2 2

=

=

=

=

il pilota cade incosciente prima di avvertire il segnale di allarme !!!