Esercizi di Cinematica

Esercizi di Cinematica

Esercizio 1

Data l’equazione del moto vettoriale di un punto materiale r = [Asen(wt)] i + [Bt²] j si chiede di

• determinare le dimensioni fisiche delle costanti positive A, B e w.

• calcolare i vettori velocità v ed accelerazione a nell’istante t* = π/2w;

• determinare il raggio di curvatura della traiettoria nella posizione occupata dal punto nell’istante t*;

• valutare se, sempre per t = t*, il modulo della velocità sta crescendo o sta calando.

Risoluzione:

• L’equazione del moto deve essere dimensionalmente omogenea, quindi [A] = [L], [w] =[T-1], [B] =[LT-2]

• v*= B π/w j, a*= [-Aw²sen(wt)]i + (2B)j

• R=|v|²/an, dove an è la componente dell’accelerazione perpendicolare alla velocità. In questo caso R= B²π²/(Aw⁴)

• La componente dell’accelerazione parallela alla velocità è data dalla derivata del modulo della velocità rispetto al tempo. In questo caso a_t=2B>0, quindi il modulo della velocità sta crescendo all’istante t*

Esercizio 2

Una particella con velocità iniziale v0 = -2√3i+3j (in m/s) subisce un’accelerazione costante di intensità a = 4.0 m/s², il cui vettore forma una angolo di 30° con il semiasse positivo delle x. Qual’è la velocità della particella (esprimere il risultato sia con i versori che con l’ampiezza e la direzione nel piano), per t = 6s?

Soluzione

v=(10√3i+15j)m/s |v|=22.9m/s α(6s)=40.9°

Esercizio 3

Un punto materiale, libero di muoversi lungo un asse x, è inizialmente fermo (a t=0) in x=0 m ed è soggetto ad una accelerazione pari a

( ) _o ( / )

a t = =x&& a sen π τt nell’intervallo di tempo ⁰< <^t τ , con ao =³m s^{/ 2} e τ =^{2, 5 s} e

( ) 0 per

a t = t>τ . Determinare la velocità e la posizione del punto per ^t=⁵τ . Soluzione

v(5τ^{)= 2a}0τ/π ^{=4.77 m/s} x(5τ^{)= 9}τ^2a0/π = 53.74 m

Esercizio 4

Il treno francese TGV, compie viaggi alla velocità media di 216 Km/h. Se affronta una curva a questa velocità e la massima accelerazione accettabile dai passeggeri è 0,05g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari? Se una curva ha un raggio di 1 Km, a quale valore deve essere ridotta la velocità del treno per rispettare il limite di accelerazione consentito?

Risoluzione

an=|v|²/R < amax
R>|v|²/amax=7.35 km

Se il raggio di curvatura è 1 km il treno deve avere velocità = 80.5 km/h

Esercizio 5

Un treno parte da una stazione e percorre un binario rettilineo mantenendo accelerazione costante per un tempo t1 pari a 4 min; viaggia poi a velocità costante per t₂ = 6 min, quindi rallenta con accelerazione costante per un tempo t3 = 2 minuti fino a fermarsi completamente. Nell’intervallo t₃ percorre un tratto di 1.44 Km. Qual è la tratta totale percorsa dal treno?

Soluzione Xtot=12.96 km

Esercizio 6

L’accelerazione di una particella vale a = -cos(t)i+2sen(3t)j+3e^-2t k.

Calcolare il valore della velocità vettoriale in funzione del tempo sapendo che per t=0 la velocità assume il valore: v = -i-j+k. Determinare infine l’espressione del vettore posizione sapendo che all’istante t=0 il punto si trova in P = (2,1,2)

Soluzione

v(t)= [-sin(t)-1]i+[-(2/3)cos(3t)-1/3]j+[-(3/2)e ^-2t+5/2]k

x(t)= [cos(t)+t+1]i+[-(2/9)sin(3t)-(1/3)t+1]j+[ (3/4)e ^-2t-(5/2)t+5/4]k

Esercizio 7

Dato un moto piano di equazioni:

x=ut

y= A cos (ωt)

con u e A costanti del moto, determinare:

1) l’equazione della traiettoria

2) Le ascisse dei punti in cui il modulo della velocità è minimo 3) Il raggio di curvatura in tali punti.

Soluzione

1) y=A cos(ω^{x/ u)} 2) x= ^{k (}π/ω) ^u 3) ρ= ^u2/(Α ω² )